早上好！2024年的第34周！
本周的啊哈数是：6。
没想着吧，又是6。今年第19周的啊哈数也是6，不过不要紧，别忘了咱们“啊哈数”栏目的口号：“每周带你重新认识一个数”。今天，我们就带你从另一个角度重新认识一次6：它是最小的可以拆分成两个分数立方之和的整数。
用分数构造整数
两个分数相加，当然可能得出整数。比如，1⁄3+2⁄3=1，3⁄5+12⁄5=3。为了让讨论更有意义，这里我们只考虑分子、分母都是正整数的分数（比如1⁄√2就不在讨论范围），并且这个分数不能约分成整数（比如6⁄3就不算了）。
那两个分数的平方之和呢？有可能正好是个整数吗？答案也是肯定的，你可以先自己想一个这样的例子。
你想出来了吗？是怎么构造的呢？其实，两个分数的平方之和，不但有可能是整数，而且这样的例子有无穷多个。这是因为，勾股数有无穷多组，利用每一组勾股数都可以构造出平方和是整数的一对分数。例如，下面是两组勾股数。
3² + 4² = 5²
5² + 12² = 13²
把等号右边的数除到等号左边来，就会得到两组平方和是整数的分数：
(3⁄5)² + (4⁄5)² = 1
(5⁄13)² + (12⁄13)² = 1
这个问题也不一定非要用勾股数得来。比如下面这两组答案：
(1⁄5)² + (7⁄5)² = 2
(1⁄5)² + (18⁄5)² = 13
好，平方和的情况已经讨论完了。接下来，如果让你用数学家的思维来继续思考，你打算接着研究什么呢？没错，当然是立方和啦！两个分数的立方之和，有可能正好是个整数吗？
这一回，我们没法借用刚才的勾股数大法了。由于a³ + b³ = c³没有正整数解（如果有的话，费马最终定理就错了！），因此两个分数的立方之和不可能等于1。那么有可能等于其他整数吗？
数学家诱捕器
恭喜你，你已经完成了一次数学家的思考过程。可不是我们乱拔高，这个问题虽然看似简单，历史上可确实算得上是个数学家“诱捕器”，成功吸引到一大票数学家。
首先是瑞士大数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler），他证明了两个分数的立方之和不可能等于2，随后又证明了两个分数的立方之和不可能等于4。你看，即使是欧拉大神，也只能一个数一个数地去排除，这可不是什么随随便便就有通用解的问题。
同一时期另一位法国数学家阿德里安-马里·勒让德（Adrien-Marie Legendre，眼熟吧，参见我们的旧文：勒让德常数），在1798年的著作中指出，两个分数的立方之和也不可能等于3、5、6。
1836年，美国数学家威廉·伦哈特（William Lenhart）利用自己研究得出的一些公式，找到了大量的正整数，它们能分成两个分数的立方之和。他列出的头两个解是：
(13⁄3)³ + (14⁄3)³ = 183
(11⁄3)³ + (16⁄3)³ = 201
450英镑奖金
看起来又是一个数学家们攻克数学难题的平凡故事，不过这回结局却有反转：上面的几位数学家中，有一位的结论后来被证明是错误的。是谁呢？答案是，拿破仑时期数学巨擘“3L”之一——勒让德。1865年，法国数学家加布里埃尔·拉梅（Gabriel Lamé）发现，6其实可以表示成两个分数的立方之和，其中一种方案如下：
(37⁄21)³ + (17⁄21)³ = 6
1995年英国《星期日电讯报》（The Sunday Telegraph）的新年特辑中出了一道题，并给出450英镑的奖金，问的就是A³/B³ + C³/D³ = 6有没有超过100的整数解（不能有除了1以外的公因数）。这个问题立刻在网上流传起来。结果不难猜，奖金成功被一位数学家领走。他给出的答案：
A = 792220572662549608190252926112121617686087939438245665806051608621113641830336450448115419524772568639
C = 67795980510382142472326399266506183877357337513870737934706199386093375292356829747318557796585767361
B = D = 436066841882071117095002459324085167366543342937477344818646196279385305441506861017701946929489111120
你没看错，每个数都超过100位！再举一个夹在这个答案和37⁄21、17⁄21这组答案之间的例子，数也不小，超过50位：
A = 1498088000358117387964077872464225368637808093957571271237
C = 1659187585671832817045260251600163696204266708036135112763
B,D = 1097408669115641639274297227729214734500292503382977739220
实际上，数学家已经证明，这样的组合不仅存在，而且有无穷多组！如果两个分数的立方之和正好是个整数，那么这个整数最小就是6。所以勒让德当时怎么会觉得6不可分成两个分数的立方和呢！
这周，我们的主题就是“出乎意料的反转”。数学虽然是一门严谨的学科，但数学中也充满戏剧性，经常不按常理出牌哦！
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