今天星期四，小数点茶馆开讲。
这周，我们讲了很多关于“衍生”的话题。今天，我们来聊聊搞数学的人在工作学习之余还搞出来了什么“副产品”。
无聊中发现的好玩儿的数学
“无聊产物”这个话题我们可不是第一次说了，毕竟咱茶馆最喜欢的就是挖掘一些“花边”数学故事和大家分享。
我们总说：“数学家是世界上最闲的一群人”。为什么这么说呢？因为数学家的思维“惯性”使得他们在遇到任何事情时都会习惯性地思考。即使是在闲得无聊的时候，他们也能折腾出来不少名堂，而且愿意为这些无聊中的小发现花时间思考和研究。就算是生活中那些最鸡毛蒜皮的小事情，有时也能衍生出一篇论文。
比如说吧，数学系学生上课无聊，用撕下来的纸条瞎折一折的，就发明了折变体，并且成立了折变体联盟；在比如，数学家们本来要用离散模型模拟液体流动，结果搞出了一个零玩家游戏；还有呢，有数学家在数学会议上百无聊赖地涂鸦，无意间找出了螺旋图形中隐藏的神秘直线；还有数学家做家务叠衣服的时候，把衣服翻过去倒过来，弄着弄着就弄出了经典的排序问题……
马丁·加德纳在《科学美国人》的专栏中介绍折变体
这些东西有个共同的特点：乍一看没用，实际上可能也确实没用，但它们都很好玩儿！有人喜欢唱歌跳舞，有人喜欢电子游戏，有人喜欢手工制作，而有些人喜欢研究这些“没用”的数学问题，因为这些活动都可以让人放松，让人开心，这就是它最大的作用。
数学的一大分支——娱乐数学
不必因为喜欢好玩没用的数学而觉得丢人。这可是数学里一个真实存在的分支——娱乐数学（recreational mathematics）。而娱乐数学的鼻祖，正是《爱丽丝漫游奇境》的作者刘易斯·卡罗尔（别忘了，他本人可是牛津大学的数学老师，点这里回顾我们之前介绍的文章）。
研究娱乐数学毫不掉价，它可是有正经学术期刊的。1968年创办的《娱乐数学期刊》（Journal of Recreational Mathematics）可以算是娱乐数学圈里影响力最大的杂志，里面的内容真是无奇不有。
就拿第30卷第2期的杂志说吧，杂志开篇刊登的“论文”，竟是一位中学老师参照苏斯博士（Dr. Seuss）的故事《戴帽子的猫》（The Cat in the Hat）写的一篇讲解分形几何学的诗歌。
发表于《娱乐数学期刊》的分形诗歌节选
这一期杂志出版时正值千禧年，于是幻方大师埃德·夏因曼（Ed Shineman）精心构造了一个菱形幻方，刊登在了杂志的第112页。幻方的正中间写着大大的“2001”，每条线上的4个数之和也是2001，而且对称位置上的4个数之和（包括正中间的小菱形内的4个数）也都是2001。
别的杂志里花一整页的篇幅印个这玩意儿似乎不成体统，但在《娱乐数学期刊》里绝对是“千年难遇”的神来之笔。
不过，《娱乐数学期刊》并不是历史最悠久的娱乐数学杂志。早在1939年，一本叫作《顿悟》（Eureka）的杂志就在剑桥大学的一个神秘数学团体里悄悄传播开了。
阿基米德的Eureka
1935年，剑桥大学的数学爱好者们创立了“阿基米德协会”（The Archimedeans）。任何喜欢数学、希望与数学爱好者社交的剑桥学生都可以加入。该协会会定期举办讲座、社交活动，至今已经有超过2000名成员，是剑桥大学规模虽大的社团之一。
阿基米德协会的标志
《顿悟》杂志就是阿基米德协会创办的，供协会成员免费阅读。这本杂志目前一共出了66期，最近一期是2020年10月出的。咱们的老朋友埃尔德什、马丁·加德纳、哈代、康威……个顶个的都是数学界名人，他们可都在《顿悟》上写过东西哦！
《顿悟》杂志里充满了各种娱乐数学的内容。这些内容有多不正经呢？随便举个例子吧。1983年《顿悟》出了第43期杂志，里面的趣题栏目的第3题是两个找数列规律的题。
（1）15145, 202315, 2081855, 6152118, 69225, ...
（2）32, 17, 41, 18, 52, ...
你能猜着答案吗？提示：这不是什么特别严肃的数学数列，多少有点恶趣味的意思。
第1题的答案是19924。这一串数是1, 2, 3, 4, 5, ...的英文单词one, two, three, four, five的数字编码。例如，o是第15个字母，n是第14个字母，e是第5个字母，所以one就是15145，也就是数列的第一个数。第2题的答案是98。这些两位数的十位数字依次是π=3.14159265...里的数字，个位数字依次是e=2.7182818...里的数字。
同一期杂志里还有一篇标题很“吸睛”的文章：《三个人的尼姆游戏——一份概述和一次免费喝酒机会》。尼姆游戏（Nim），就是我们平时说的捡石子游戏。地上有若干堆石子，两人轮流从其中一堆石子中取走任意数量的石子（可以全部取走，但不能不取）。取走最后一颗石子的玩家获胜。可以证明，在这个游戏中，先行动者和后行动者必然有一个人有必胜策略。但是，究竟是谁有必胜策略，要看游戏的初始局面。初始时石子的堆数变了，或者各堆的石子数变了，有必胜策略的那个人可能也会发生变化。
《顿悟》的这篇文章里，则考虑了游戏有三个人玩儿的情况。游戏规则不变：取走最后一颗石子的玩家获胜，其余玩家全都算输。作者举了一个简单的例子：初始时只有两堆石子，一堆只有1颗石子，另一堆里有2颗石子。作者把这种初始局面记作Ⅰ+Ⅱ。作者做了一些分析：
第一个玩家能赢吗？不行，因为她第一步没法获胜，而游戏根本坚持不到第二轮。
第二个玩家能赢吗？有的情况下确实能赢，但如果第一个玩家把局面变成了Ⅰ+Ⅰ，第二个玩家就赢不了了。
第三个玩家能赢吗？那得看第二个玩家是不是已经提前赢了呀！
所以，对于Ⅰ+Ⅱ这种情况，谁都没有必胜策略。换句话说，任意两个玩家都能合伙陷害剩下的那个玩家，让他没法获胜。
……
作者进行了一番更细致的分析后，提出了7个问题。作者在文章最后写道：
……
（6）证明或推翻：如果 G + H = Ⅲ，则要么 G = Ⅲ 并且 H = ０，要么与之相反。
（7）（最简单的一题）证明或推翻：如果 G ∼ ∞ 并且 H ∼ ∞，则 G + H ≁ 2。这个复活节学期里，作者会找一天晚上，邀请所有能解决前六个问题中的一个或多个问题的学生出来喝酒（当然，问题得是自己独立解决的才行），费用由作者承担。（如果你只能解决第七个问题，那你也来吧——我会付第一轮的酒钱。）
P. S. 第8题 这篇文章里有一处假话，请找出来。
这篇文章的作者是当时正在剑桥大学念书的吉姆·普罗普（Jim Propp）。他现在已经是美国数学学会会士和马萨诸塞大学洛厄尔分校的数学教授了。直到现在，普罗普的个人简历里也没忘记写上《三个人的尼姆游戏——一份概述和一次免费喝酒机会》。这是他人生中发表的第一篇“论文”。
吉姆·普罗普（Jim Propp）
娱乐数学娱乐在哪
写了这么多“无聊”的数学家在“无聊”之下产出的“无聊”产物，又说了这么多“娱乐数学”，你体会到“娱乐数学”的娱乐性在哪了吗？
这些数学都从看似简单的问题出发，展开了有启发性的思考，最终落脚到了有趣的结论。数学讲究的从来就不是“有没有用”，而是“有没有趣”。
还记得哈代的好搭档李特尔伍德吧，他曾经受邀给阿基米德协会做演讲，并在演讲后受到启发，构思了他的名作《一个数学家的杂集》（A Mathematician's Miscellany）。他在书中说道，这本书里都是非常轻量级的数学问题，但绝不是无趣的问题。如果任何一个读者觉得他选择的话题廉价或者无趣，那都是他的失败。他认为，一个有趣的数学笑话胜过十篇无趣的论文。
《一个数学家的杂集》摘抄
看，数学家可不是真的喜欢研究无聊的事情，他们眼里，那些值得思考的问题都是有趣的。让那些真正“无聊”的刻意、单调、机械、死板的内容靠边站，与其研究那些，还不如搞点有趣的娱乐数学呢！
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