晚上好！2024年的第38周！
本周的啊哈数是：𝟖和𝟗。
你没看错，这周的啊哈数有两个。因为我们这周的主题是“成双成对”，所以这周我们准备的内容全是“成对”出现的。
数世界的好朋友
我们一生中会结交各种各样的朋友，通过家庭关系相识的人叫“亲戚”，通过一起学习认识的朋友叫“同学”，通过一起工作认识的朋友叫“同事”……
和我们一样，正整数之间也存在各种各样的关系。如果两个数彼此的真因数之和互为对方就可以算它们是一对好朋友，那么正整数世界里会有大量好朋友，很可能有无数多对好朋友。如果相差为2的质数就可以算是一对好朋友，那么正整数世界里也会有大量好朋友，也很可能有无数多对好朋友。可如果只有相差为1的乘方数算是一对好朋友，那么……这个世界里只会有唯一的一对好朋友：𝟖和𝟗。
亲和数
我们刚刚说的“真因数”是什么呢？一个数的真因数，指的是除它自己以外所有的因数。比如，220的所有真因数是1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110，它们加起来等于284。那284呢？它所有的真因数是1, 2, 4, 71, 142，它们加起来刚好又等于220。
这两个数很有缘分嘛！有没有点天生一对、命中注定的感觉？数学家也有同感，所以数学中还真给这样的数对起了名字，就叫“亲和数”（amicable numbers）。互为亲和数的数字对还有很多，比如1184和1210，再比如66928和66992。虽然我们已经找到了很多对亲和数，可目前还没有一种生成亲和数的万能公式，对亲和数的分布情况也了解甚少。我们甚至不知道，亲和数是否有无数多对。
孪生质数
数论是研究整数性质的一个数学分支。就像上面亲和数的例子，数论中还有很多未解之谜，说出来都是这么一句话：目前还不知道满足某种要求的例子是不是有无数多个。著名的孪生质数猜想（twin prime conjecture）也是如此。
我们已经知道，除了2和3以外，两个相邻的正整数不可能都是质数，因为相邻的两个正整数一定会包含一个偶数。但是，两个相邻的奇数是有可能都是质数的。例如，3和5都是质数，41和43都是质数，32411和32413都是质数。这样的一对质数就叫作“孪生质数”（twin prime）。
虽然质数越往后越稀疏，但孪生质数似乎一直都有。孪生质数真的有无数多对吗？这就是孪生质数猜想的内容。2013年，美籍华裔数学家张益唐在孪生质数猜想方面做出了突破性的贡献，他的研究成果表明，孪生质数猜想很可能是正确的。不过，孪生质数猜想本身仍未解决。
怎么搞的，数论里难道都是未解之谜吗！当然不是啦，下面这个有意思的猜想就翻身成功了，咱们一起来看一看。
卡特兰猜想
下面这个数列有什么特点，你能看出来吗？
4, 8, 9, 16, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 64, 64, 81, 81, 100, …
不难看出，它们都是某个正整数的n次方，其中n是大于1的正整数。我们姑且管这样的数叫作乘方数。在所有这些数中，只有8和9是相邻的，其余的都不相邻。
1844年，比利时数学家欧仁·卡特兰（Eugène Catalan）提出了卡特兰猜想（Catalan's conjecture）：8和9是唯一的一对相邻的乘方数。看起来这么一个简单的问题，竟然直到2002年才被罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库（Preda Mihăilescu）解决——卡特兰猜想是正确的。
所以，8和9成为了数世界独特的一对朋友，找遍全世界也找不到和他们关系一样的一对数字啦！
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