你知道吗？
数学是一个严谨的学科，严谨到，连“模糊”这么一个不严谨的界限都要用数学语言来描述出来。模糊数学就是数学里这样一个分支：用数学方法去研究和处理“模糊”，也就是那些没法用确切界限区分的状态。
康托尔的集合论
在说模糊数学之前，我们不得不先提一个人：德国数学家格奥尔格·康托尔（Georg Cantor），集合论的创立者，没有之一。因为不同于那些在数学家的交流和探索过程中逐渐成形并发展出来的数学理论，集合论是单独一个人在单独的一篇论文中创立的。
1874年，康托尔发表了名篇——《论所有实代数数的集合的一个性质》（On a Property of the Collection of All Real Algebraic Numbers）。根据康托尔的定义，集合就是一些确定性的、互不相同的物件组成的一个整体，其中每个物件都叫作这个集合里的一个元素。
例如，“地球表面的大洋”就构成了一个集合，它里面一共有4个元素，分别是太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋。如果我们用字母A代表这个集合，那就可以记作：
A = {太平洋, 大西洋, 印度洋, 北冰洋}
集合可以准确地描述很多数学现象，是搭建整座数学大厦的有力工具。大数学家大卫·希尔伯特，也是我们小数点的常客了，曾经这样说：“没有人可以将我们从康托尔创造的伊甸园中驱逐出去”。
扎德的推广
还记得吗？数学家最喜欢干什么？一起回答，一、二、三——推广！没错，数学家们沉迷于对数学概念的推广，他们弄出了第−1个斐波那契数，推出了0.5的阶乘，还研究过五维空间中的球面能不能打结。
你可能想了，康托尔提出的集合，这个概念那么自然，那么利落，没什么可推广的吧？恐怕你还是小瞧数学家的能耐了。这不，有个人就大胆地叫板康托尔的理论，从此数学里不再是非此即彼，而是允许存在一种模糊的状态。康托尔说，某个事物要么属于这个集合，要么不属于这个集合。这位呢，给“属于关系”加了个程度之分。也就是说，允许一个元素“特别”属于这个集合，或者“比较”属于这个集合，或者“很难”属于这个集合……这就是“模糊集合”（fuzzy set）。
这位大神是谁呢？他就是卢特菲·扎德（Lotfi Zadeh）。我们说康托尔是集合论的创立者没有之一，那扎德就是模糊数学的创立者没有之一，因为模糊集合的理论也是他单独一个人在单独的一篇论文里建立的！这篇论文发表于1965年，标题就是《模糊集合》（Fuzzy Sets）。
扎德出生于阿塞拜疆，在伊朗长大，23岁时搬到了美国。在他的眼中，世界并不是非黑即白的，中间还有大量的灰色地带。他不会问一件事情对还是不对，而会问一件事情在多大程度上是对的。在《模糊集合》中，扎德写道：
由所有动物构成的集合里面显然有小狗、小马、小鸟等等，显然没有石头、液体、植物等等。但是，海星和细菌怎么办？
传统意义上，“比1大得多的所有实数”“所有漂亮的女性”“所有很高的男性”都不能算集合，但在生活中却扮演着重要的角色。扎德把这种定义不太明确的集合称作“模糊集合”。扎德规定，模糊集合里的每个元素都附带一个0到1之间的数，表示它属于该集合的程度，0表示完全不属于，1表示完全属于，值越大就表示越属于这个集合。如果用字母A来表示所有看了让人想哭的迪士尼影片，那么它大致是：
A = {(小鹿斑比, 1), (狮子王, 1), (小飞象, 0.4), (飞屋环游记, 0.4), (玩具总动员, 0.4), (小美人鱼, 0.2)}
什么是一个好的推广
我们说数学家喜欢推广，可是推广绝不是为了推广而瞎推广，只有“好的”的推广才有研究意义。什么是好的推广，那就是在你推广之后，这个数学概念的性质依然非常优秀，比如推广后比较系统地保留了这个概念原本的数学性质。
就拿集合说吧，它本身是有一套自己的运算逻辑，可以进行交集、并集运算。而扎德的推广，就完整地保留了集合的运算体系，并且精确地定义了模糊集合的交集和并集如何运算。
扎德规定，如果有两个模糊集合，那么每个元素属于交集的程度就取它在两个集合中的属于程度的较小值。例如，集合A和集合B分别是甲、乙两个人爱吃的水果构成的集合：
A = {(葡萄, 1), (草莓, 1), (香蕉, 0.6), (橙子, 0.5), (苹果, 0.2)}
B = {(苹果, 1), (香蕉, 0.9), (葡萄, 0.8), (西瓜, 0.8), (樱桃, 0.1)}
那么他们都爱吃的水果构成的集合就是：
A∩B = {(葡萄, 0.8), (香蕉, 0.6), (苹果, 0.2)}
类似地，如果有两个模糊集合，那么每个元素属于并集的程度就取它在两个集合中的属于程度的较大值。因此，甲、乙两个人中，至少有一个人爱吃的水果构成的集合就是：
A∪B = {(葡萄, 1), (草莓, 1), (苹果, 1), (香蕉, 0.9), (西瓜, 0.8), (橙子, 0.5), (樱桃, 0.1)}
不仅如此，模糊集合的交集和并集也和集合一样满足交换律、结合律。
如果我们用a和b来表示数的话，那么我们有这样的运算规律：
a×b=b×a（乘法交换律）
a+b=b+a（加法交换律）
类似地，如果我们用A和B来表示集合的话，那么我们有这样的运算规律：
A∩B=B∩A（交集的交换律）
A∪B=B∪A（并集的交换律）
如果我们用a、b、c来表示数的话，那么我们有这样的运算规律：
(a×b)×c=a×(b×c)（乘法结合律）
(a+b)+c=a+(b+c)（加法结合律）
类似地，如果我们用A、B、C来表示集合的话，那么我们有这样的运算规律：
(A∩B)∩C=A∩(B∩C)（交集的结合律）
(A∪B)∪C=A∪(B∪C)（并集的结合律）
在扎德的推广中，集合之间的这些运算规律同样成立。这是因为，如果对多个模糊集合取交集，不管按照什么顺序进行运算，本质上都是取各个元素在所有集合中的属于程度的最小值；类似地，如果对多个模糊集合取并集，不管按照什么顺序进行运算，本质上都是取各个元素在所有集合中的属于程度的最大值。
集合也有分配律
交集和并集还满足分配律。如果集合A是“1到15当中的所有奇数”，集合B是“1到20当中的所有3的倍数”，集合C是“5到9之间的数”，那么三个集合分别是：
A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15}
B = {3, 6, 9, 12, 15, 18}
C = {5, 6, 7, 8, 9}
让我们算一算A∩(B∪C)是什么：
B∪C = {3, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 15, 18}
A∩(B∪C) = {3, 5, 7, 9}
让我们算一算(A∩B)∪(A∩C)是什么：
A∩B = {3, 9}
A∩C = {5, 7, 9}
(A∩B)∪(A∩C) = {3, 5, 7, 9}
发现了吗？A∩(B∪C)和(A∩B)∪(A∩C)的结果完全相同！事实上，对于任意集合A、B、C来说，这个规律都是成立的。正如乘法对加法有分配律一样，交集对并集也是有分配律的：
a×(b+c) = (a×b)+(a×c)（乘法对加法的分配律）
A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)（交集对并集的分配律）
其实，这背后的原因还是挺直观的。如果集合A是“商场里所有在打折的商品”，集合B是“商场里所有好看的东西”，集合C是“商场里所有实用的东西”，再假设你想去买好看的或者有用的打折商品。你会发现，A∩(B∪C)和(A∩B)∪(A∩C)都等于你想去买的商品构成的集合。
有趣的是，如果你算一算A∪(B∩C)和(A∪B)∩(A∪C)的结果，你会发现它们也是一样的。换句话说，和数与数的运算不同的是，在集合与集合的运算中，不但交集对并集有分配律，并集对交集也有分配律！
a+(b×c) ≠ (a+b)×(a+c)（加法对乘法没有分配律）
A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)（并集对交集也有分配律）
在扎德的推广中，集合之间的这些运算规律将会同样成立，不信的话你可以自己试一试。这个规律背后的原因也不难解释：如果a、b、c是三个0到1之间的数，那么为了拿a去跟b、c中的较大者比谁更小，可以提前让a跟b比谁更小，以及让a跟c比谁更小，再从中取一个较大者；类似地，为了拿a去跟b、c中的较小者比谁更大，可以提前让a跟b比谁更大，以及让a跟c比谁更大，再从中取一个较小者。
模糊数学的大厦
扎德还把子集、补集、凸集等概念推广到了模糊集合中，并且证明了集合原有的诸多性质仍然成立。以模糊集合为基础，扎德又建立了模糊数（fuzzy number）、模糊逻辑（fuzzy logic）、模糊算法（fuzzy algorithm）、模糊概率（fuzzy probability）等理论。如果说现代数学是用康托尔的集合论搭起的数学大厦，那么扎德所做的工作，就是用模糊集合论搭建了一座模糊数学（fuzzy mathematics）的大厦。
模糊数学并不仅仅是一个数学游戏，它有着真实的应用，而且应用场景连扎德自己都没料到。在1994年的一次访谈中，扎德提到，早在1965年的那篇论文发表的时候，他就已经预想过，在经济学、心理学、语言学、社会学等领域中，模糊数学应该都能派上用场。但实际情况让他大跌眼镜——模糊数学最早的应用，竟然是给各种消费品叠加“智能”属性。早期人工智能技术还不成熟，机器总是按照一个固定的流程办事，没法随机应变，灵活变通。此时，模糊数学提供了一个很好的模型。工程师们利用模糊数学，让机器也学会了模棱两可。摄像机、微波炉等设备变得更聪明了，因为它们都有了一双可以识别模糊的“眼睛”。
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