材料断裂是工程构件失效的主要方式之一，常因其突发性而导致严重的安全事故，因此科学家和工程师一直致力于这一研究领域。然而，由于不同的材料常常表现出不同的断裂方式，相同的材料在不同应力状态下也有不同的断裂行为。过去400多年，固体力学领域人们提出过上百种断裂模型，然而没有一种断裂理论能够解释各种材料的断裂行为，这使得研究人员或工程师往往需要根据经验选择不同的断裂准则来预测不同材料的断裂行为。我们认为，断裂的物理规律对于不同材料应该是一致的，就像公路上行驶的汽车应该按照相同的交通规则行驶，不能每辆车都有自己独特的交通规则。因此，应该存在一个方程形式一致的统一断裂准则，其中描述材料性能的参数因材料不同变化而变化，为此，寻求一个合理的统一断裂准则具有重要意义。
鉴于此背景，中国科学院金属研究所张哲峰研究员团队前期提出一个统一拉伸断裂准则—椭圆准则，该准则是经过大量实验数据基础上猜想出来的，而其具体方程形式需要进一步理论推导和实验验证。本研究通过多项式力学分析，并结合金属玻璃剪切失稳计算模拟，确认椭圆方程是统一断裂准则的唯一形式，该成果以Mathematical equation of unified fracture criterion为题发表于期刊Journal of Materials Science & Technology (IF=11.2)，并被选为封面文章。
断裂准则研究的先驱是著名物理学家伽利略，1638年他在《两门新科学》中首次对材料破坏需要满足的应力条件进行了讨论，并提出了著名的最大正应力准则。随着人们对断裂认识的加深，以及对各种断裂行为的总结，新的断裂准则不断被提出，其中最著名的包括最大切应力准则和Mohr-Coulomb准则等。2003年，张哲峰在对比金属玻璃拉伸-压缩断裂强度和剪切角度时发现：大多数金属玻璃的压缩剪切断裂角小于45°，而拉伸剪切断裂角通常大于50°；并且压缩强度总是略高于拉伸强度。金属玻璃这种拉-压强度和断裂剪切角度不对称行为说明剪切面上正应力对剪切断裂具有重要影响，然而现有的经典断裂准则都无法很好地预测金属玻璃的强度与断裂行为（Phys. Rev. Lett., 91 (2003) 045505）。
2005年，通过同时考虑断裂面上正应力和切应力对材料断裂的影响，张哲峰提出了一个新的断裂准则，由于方程形式是一个椭圆方程，，因此称之为“椭圆准则”。该准则不仅可以定量地描述各种金属玻璃材料拉伸断裂行为以及剪切与拉伸正断的转变，还从一个新的角度揭示了不同类型金属材料的强度差别与剪切变形机制。更惊喜的是通过提出一个新的参数—断裂方式因子：
，将材料力学教科书过去400多年提出的四个经典断裂准则（最大正应力准则、Tresca准则、Mohr-Coulomb准则、von Mises准则）统一起来，这样不同材料的拉伸断裂行为可以统一地用椭圆准则进行描述和预测，因此被称为“统一拉伸断裂准则”，如图1。此项研究结果以标题形式（Unified tensile fracture criterion）发表在Phys. Rev. Lett. 94 (2005) 094301。
图1 椭圆准则统一描述和预测不同材料的拉伸断裂行为。不同材料的椭圆准则方程形状不同，因此拉伸断裂临界点不同，导致拉伸断裂行为，即断裂强度和断裂角度的不同
进一步总结可以发现，这些著名的断裂准则都是多项式形式的方程，如图2。最大正应力准则和Tresca准则是无穷高阶的方程，Mohr-Coulomb准则是一阶方程，椭圆准则是二阶方程。然而，多项式方程形式有无限多种，为什么这些已经提出来的准则是合理的，或者是最优的，是否有可能存在更合理的断裂准则，这是驱动这项研究的科学问题。
图2 简略总结断裂准则的发展过程，给出不同准则曲线形式示意图。可以看出，哪个断裂准则更符合基本物理规律，以及是否还有新的更合理的断裂准则仍然需要进一步分析
众所周知，材料的断裂是由断裂面上正应力和切应力共同控制的，但是断裂瞬间正应力和切应力的方程形式并不知道，即f (σ, τ)未知，这是本研究需要解决的科学问题，如图3。
图3 材料断裂和统一断裂准则示意图：(a) 材料断裂是断裂面上正应力和切应力共同决定的；(b) 统一断裂准则必须包含两个最基本的断裂形式，即纯剪切和解理断裂，也就是图中曲线两个端点，问题在于两点之间有无数条曲线，哪一条曲线最合理是需要解决的科学问题
考虑到工程应用的方便性以及多项式方程的灵活性，绝大多数断裂准则都是多项式形式。因此，从多项式的一般形式出发，以二阶断裂准则为例，展示其方程形式的确定过程。首先假设二阶方程的一般形式为：
其中Bi是未知参数. 考虑到切应力方向不影响材料失效的临界应力大小，利用此条件可得：
在纯剪切条件下，材料剪切失效出现在最大剪应力平面，此时的Mohr应力圆与断裂准则方程相切，利用该条件可以得到：
最后，分别考虑材料的纯剪切破环和解理断裂，即图3所示的曲线两个端点，可以推导出：
其中τ0和σ0分别是剪切强度和解理强度。结合方程(1)-(5)可以唯一确定统一断裂准则方程中的参数，可以得到断裂准则方程，如下：
可以看出二阶失效准则刚好是一个椭圆方程。同样的思路，可以确定不同阶断裂准则的方程形式。进一步通过分子动力学模拟了不同应力状态下金属玻璃的失效，用于与理论推导结果对比，如图4和5，对比结果发现二阶失效准则，即椭圆方程是最合理的统一断裂准则。
图4 分子动力学模拟结果：(a) 金属玻璃原子模型，通过三轴外加应力的变化来控制断裂面上正、切应力的组合；(b) 不同应力状态下金属玻璃的剪切应变云图，据此可以确定失效面；(c) 加载过程的应力应变曲线，据此可以得到金属玻璃失效的临界应力，结合失效截面角度就可以计算出断裂面上的正应力和切应力。
图5 理论推导确定的断裂准则与模拟结果对比，发现二阶(2-O)断裂准则与模拟结果最吻合，同时可以看出越高阶的断裂准则越往右上角外凸，三阶断裂准则与模拟结果已经有一定偏差，更高阶的方程形式偏差会更大。
本研究通过理论推导和分子动力学模拟探讨了统一断裂准则的确定方法。结果表明：二阶断裂准则是多项式范围内统一断裂准则的最佳选择。本研究采用的创新方法包括：从方程的一般形式出发推导断裂准则，通过归纳材料断裂的基本规律来唯一确定方程形式。在模拟方面，通过三轴加载下的分子动力学模拟研究了金属玻璃在复杂应力状态下的失效行为，获得了不同剪切失稳状态的数据点。进一步，验证了二阶失效准则预测材料在复杂应力状态下失效的适用性。统一断裂准则的确定，对不同材料在复杂应力状态的断裂预测提供了有力支撑，有望应用于不同材料体系，以及复杂应力状态工程构件的断裂问题。
论文第一作者为中国科学院金属研究所李孝滔副研究员、通讯作者为中国科学院金属研究所张哲峰研究员，其他共同作者包括中国科学院金属研究所屈瑞涛（现为西北工业大学教授）、刘睿副研究员和张振军研究员。该研究工作得到了国家自然科学创新研究群体基金的资助。
原文链接：
https://doi.org/10.1016/j.jmst.2024.01.016
审核：力学家
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