梁是工程领域中常用的承载结构，因此，对其动态响应进行准确预测具有重要意义。然而，梁的动态响应的理论研究大多基于刚塑性材料假设，即仅考虑响应的几何非线性。而对于实际应用中常见的弹塑性梁，由于其响应同时涉及几何非线性和材料非线性，理论分析十分复杂，通常需要采用数值模拟或实验方法进行研究，成本很高。量纲分析通过将物理问题的特点与物理量的量纲相结合，能够有效地简化问题，揭示复杂物理现象的主导机制。通过量纲分析的手段，可以识别冲击载荷下影响梁响应的关键因素。目前对于纯弹性或刚塑性梁动力学的无量纲数研究较为完善，而弹塑性梁的相关研究集中于输出参数的无量纲化，不能实现响应预测。因此，对于弹塑性梁动力学问题，识别仅由输入参数组成的主导无量纲数对其响应预测有重要意义。
针对上述问题，清华大学邱信明教授团队基于能量守恒原理和量纲分析方法，提出了主导弹塑性梁动态响应的核心无量纲数（无量纲载荷强度）。该核心无量纲数由输入的几何、材料、载荷参数决定，可用于预测结构响应的关键参数，如弹塑性能量比等。通过该无量纲数，可以将弹塑性梁的变形机制分为三类：(1)弹性变形主导 (2)弹塑性变形耦合 (3)塑性变形主导。此外，结合该无量纲数与无量纲刚度，可以直接预测弹塑性梁的无量纲挠度。这项研究成果以Predicting the dynamic response of elastic-plastic beams by dimensional analysis为题发表在冲击动力学领域旗舰期刊International Journal of Impact Engineering上。
对于特定的物理问题，根据PI定理，可以分析得到一系列基本无量纲因子。而为了确定系统的核心无量纲数以及明确无量纲输入量与输出量的关系，还需要根据物理问题的特点将上述无量纲因子按幂律关系进行组合。根据能量守恒原理，可以将弹塑性梁动力学问题的基本无量纲因子结合起来，从而得到一个综合考虑了几何、材料和载荷影响的核心无量纲数ξ（文章中定义为无量纲载荷强度， Dimensionless Load Intensity）。该无量纲数ξ由输入参数决定，可用于预测弹塑性梁的动态响应。
其中，p是脉冲载荷幅值，l 和h分别是梁长和梁厚，E 和Y 分别是杨氏模量和屈服应力。该无量纲数ξ的形式与弹塑性薄板动态响应的核心无量纲数形式相似。
图1 (a)-(c)弹塑性梁在阶跃载荷下的能量变化；能量比随无量纲载荷强度的变化：(d)简支梁 (e)固支梁
如图1所示，(a)-(c)给出了不同阶跃载荷强度下弹塑性梁的能量变化，其对应的无量纲载荷强度ξ依次递增。定义能量比R为峰值塑性能和峰值弹性能的比值，并绘制简支梁、固支梁的能量比R随无量纲载荷强度ξ的变化曲线，发现改变几何、材料、载荷参数，能量比R均与无量纲数ξ呈线性关系，并给出了相应的拟合公式。类似地，图2也展示了不同载荷强度下弹塑性梁的挠度及挠度比随无量纲载荷强度的变化规律。因此，对于弹塑性梁受冲击载荷的问题，明确输入参数后，即可以通过无量纲载荷强度ξ先验地预测结构响应中弹性与塑性的占比。
图2 (a)-(c)弹塑性梁在阶跃载荷下的中心挠度变化；挠度比随无量纲载荷强度的变化：(d)简支梁 (e)固支梁
此外，弹塑性简支梁的初始塑性铰位置和初始塑性时刻随无量纲载荷强度的变化如图3所示，结果表明无量纲数ξ能够预测弹塑性梁的初始塑性行为。
图3 弹塑性梁的初始塑性铰位置和时刻随无量纲载荷强度的变化
图4 弹塑性梁的三种变形机制：(a) 能量比及初始塑性铰位置随无量纲载荷强度的变化；(b)三种机制下的初始塑性铰
根据不同无量纲载荷强度ξ下弹塑性梁的能量比与初始塑性铰位置，可以将弹塑性梁的核心变形机制分为三类(如图4所示)，并由此界定三种冲击载荷强度范围：
(1)低强度载荷( 0< ξ<1 )：弹性变形主导，初始塑性铰位于梁中心；
(2)中等强度载荷( 1≤ξ≤30 )：弹塑性变形耦合，初始塑性铰位置从梁中心向两端移动；
(3)高强度载荷( ξ >30 )：塑性变形主导，初始塑性铰靠近梁端部。
图5 弹塑性梁在阶跃载荷下的无量纲挠度预测
通过无量纲载荷强度ξ，能够准确预测弹塑性梁动态响应中的弹塑性占比。分析表明，对于弹塑性梁的无量纲挠度的预测还需要结合无量纲刚度β。因此，绘制了无量纲载荷强度-无量纲刚度-无量纲挠度的三维曲面，基于曲面能够直接预测阶跃载荷作用下弹塑性梁的中心挠度（如图5(a)(b)所示）。此外，由于弹性无量纲载荷、塑性无量纲载荷
与弹塑性无量纲刚度β和无量纲载荷强度ξ满足下列转换关系，该无量纲曲面可以退化至纯弹性（图5(c)(e)所示）或刚塑性（图5(d)(f)所示）情况下的无量纲载荷-挠度曲线。
图6 不同截面梁的无量纲数验证
图7 不同载荷形式的无量纲数验证
此外，该研究还系统地给出了适用于不同截面梁及不同载荷形式的核心无量纲数并通过有限元模型进行验证，如图6、图7所示。这些无量纲数均与结构的弹塑性响应密切相关，为跨尺度实验提供了分析工具。
图8 弹塑性与刚塑性模型的差异：(a)最终挠度；(b)初始塑性铰位置
最后，基于无量纲载荷强度ξ，分析了弹塑性梁动态响应中弹性效应的影响。从梁的最终挠度及变形模式两方面评估了刚塑性材料假设的适用性，如图8所示，结果表明，ξ>5时刚塑性梁最终挠度的理论解能够满足工程应用的精度要求，但刚塑性材料假设无法准确预测梁的变形模式。
清华大学航天航空学院博士生谢皓如为论文第一作者，邱信明教授为论文通讯作者，论文共同作者还包括清华大学博士生黄晓润、冯永杰。该研究得到了国家自然科学基金的资助。
原文链接：
https://doi.org/10.1016/j.ijimpeng.2024.105041
审核：力学家
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