力学系统的拓扑模态由于具备鲁棒性和模态形状的可调性受到广泛的关注。力学系统的拓扑性质研究普遍基于经典的离散模型——弹簧质量系统。相比于离散拓扑系统，连续介质系统普遍存在于自然界和工业领域，其拓扑力学性质更加丰富和具有广泛的理论意义和应用价值。然而，连续介质系统拓扑性质的理论求解相当困难，长期以来，人们都采用惯性或刚度调制的超材料和数值计算方法来近似分析连续介质系统的拓扑性质。此外，构建具备精确解析解的连续拓扑系统，为定量揭示和应用连续体的各类拓扑相提供了非常重要的平台。在自然界和工程领域中广泛存在着由均质的弹性梁连结而成的格栅结构，例如动物和植物体中的多孔结构、桥梁结构、建筑物框架、微纳米多孔材料等，它们是典型的连续介质系统，这类连续介质格栅结构的拓扑动力学至今尚未被揭示和精确刻画。
北京大学王建祥教授团队首次揭示了一系列连续介质格栅结构的拓扑动力学性质（包括弹性支座上的连续梁、桥式刚架、正方形格栅刚架、Kagome格栅刚架等），构建了一套理论框架，发现了一个刻画这类结构拓扑动力学性质的定理，证明其存在无穷多个拓扑模态，并给出了频率的解析计算公式。这一成果以“The topological dynamics of continuum lattice grid structures”为题发表于Journal of the Mechanics and Physics of Solids。
研究团队首先揭示了具有周期性排列简支支承的连续梁系统的拓扑模态（图1(a)），与文献中的材料特性受周期空间调制的拓扑结构相比，这种材料性质均匀的结构更易制造，更具广泛性，所提出的理论方法也更加简洁。研究团队发现这种连续梁系统的自然频率虽然遍布整个频谱，但其动力学矩阵却具备类似于离散系统的简洁矩阵形式。
接着，研究团队通过提出理论框架严格地证明该连续梁系统具有无穷多个存在于带隙内的拓扑态（图1(b)），并给出了拓扑相变的解析判据。拓扑边界态的存在性和计算频率的公式由一个定理给出。拓扑边界态的能量局域在系统的边界上（图1(c)），并向体内呈指数衰减。最后得到了各个频带的拓扑相位的解析表达式，并引入了一个与体带的拓扑相以及“特征值交叉”现象（图1(d)）相关的、用来决定拓扑边界态（而不是界面态）存在性的拓扑指标。
图1 具备拓扑性质的连续梁系统。(a) 拓扑连续梁结构。(b) 动力学矩阵的特征值—频率谱，其中箭头所指处对应拓扑态存在的频率。 (c) 简并的拓扑边界态。(d) 连续梁频率谱中的“特征值交叉”现象。
该理论框架可以直接用来揭示一系列格栅结构的拓扑动力学，包含桥式刚架（图2(a)）、置于弹性基础或弹性支座上的连续梁结构的拓扑边界态，以及正方形格栅刚架（图2(b)）、Kagome格栅刚架（图2(c)）的高阶拓扑角态。该理论可以精确且解析地给出这些格栅结构拓扑模态的频率，适用于从低频到高频的所有频段。
图2 具备拓扑性质的格栅结构。(a) 桥式刚架结构。(b) 正方形格栅刚架结构。(c) Kagome格栅刚架结构。
揭示格栅结构的拓扑性质不仅为设计具有拓扑力学性质的连续体结构提供了新的见解，在连续介质系统拓扑动力学的严格理论分析方面取得了进展，而且在结构的波动与振动控制、健康监测和安全性评估、能量俘获等领域具有潜在应用价值。
北京大学工学院博士研究生孙艺萌为论文的第一作者，博士研究生邢家诚为论文的第二作者，论文合作者还包括北京航空航天大学的邵丽华教授，北京大学王建祥教授为通讯作者。论文工作得到国家自然科学基金以及北京自然科学基金的资助。
原文链接：
https://doi.org/10.1016/j.jmps.2024.105935
审核：力学家
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