近年来，空天跨流域飞行器的研发蓬勃发展，微/纳机电系统技术日新月异，深空探测活动也取得了突破性进展。在这些新兴领域中，稀薄气体效应成为气动预测中的关键因素。计算流体力学（CFD）方法通过求解Navier-Stokes-Fourier（NSF）方程，能够准确模拟连续流域下的气体流动，但在稀薄流域中的适用性尚存疑虑。研究表明，当流场稀薄程度不高时，NSF方程的本构关系在主流区仍然适用；如果将无滑移边界条件替换为合适的滑移边界条件，可以将基于NSF方程的CFD计算范围扩展至滑移流域。因此，发展准确和可靠的滑移边界条件，对于滑移流域的精确计算和高效求解具有至关重要的意义。
近期，北京航空航天大学张俊教授团队基于分子动理论（kinetic theory）的分析，推导得到了介观CLL（Cercignani-Lampis-Lord）散射模型对应的宏观滑移边界条件，并确定了滑移系数的具体形式。该工作搭建了从介观气固相互作用模型到宏观滑移边界条件之间的桥梁，解决了介观和宏观气固界面模拟的匹配性问题，显著提升了宏观CFD方法在滑移流域的气动力/热预测精度。研究成果以“A theoretical derivation of slip boundary conditions based on the Cercignani–Lampis–Lord scattering model”为题发表在流体力学领域旗舰期刊Journal of Fluid Mechanics上。
滑移流域和边界条件简介
气体的稀薄效应通常用Knudsen数（Kn）来表征，其定义为分子平均自由程与宏观特征尺度之比。Kn数越大，稀薄效应越明显。根据Kn数的大小，可以将流动划分为连续流域（Kn<0.001）、滑移流域（0.001<kn<0.1）、过渡流域（0.1<kn<10）和自由分子流域（kn>10）。通常，在不同的流域，有不同的高效计算方法，如图1所示。以空天飞行为例，若飞行器机翼的特征长度为0.1米，根据大气密度数据的估算，飞行高度在52公里和85公里之间的气动问题处于滑移流域。
研究表明，在滑移流域，NSF方程的本构关系在主流区仍然有效，稀薄气体效应主要表现为壁面附近的速度滑移和温度跳跃现象。因此，如果能够获得合适的滑移边界条件，基于NSF方程的CFD方法可以有效扩展至滑移流域，从而在提高流场预测精度的同时，保持宏观方法较高的计算效率。因此，发展准确可靠的速度滑移和温度跳跃边界条件成为关键。
图1 气体流动流域的划分和控制方程、计算方法
滑移边界条件的理论建模
1879年，基于早期关于气体粘度理论的研究，Maxwell首次给出了速度滑移的定量描述。1898年，Smoluchowski沿用Maxwell的思路，推导出了壁面温度跳跃的公式。尽管这一结果并不完美，但它们仍然是目前最简单且最实用的滑移边界条件描述。在此基础上，后续学者发展了多种滑移边界条件，包括线性和非线性滑移边界条件，以及一阶、二阶及更高阶的滑移边界条件等。
如图2所示，气体在壁面处的宏观滑移边界条件依赖于介观层面的气固相互作用模型。目前，最常用的两种模型是Maxwell散射模型和CLL散射模型。Maxwell散射模型将气体分子的散射行为简化为漫反射与镜面反射的组合，并通过单一的适应系数表示漫反射部分的比例。由于该模型形式简单，因而在实际应用中得到广泛采用。相比之下，CLL散射模型引入了切向和法向方向的独立适应系数，能够更精确地反映实际物理特性。然而，由于CLL模型的表达形式复杂，目前大多数滑移边界条件仍基于Maxwell散射模型推导得到，而基于CLL散射模型的滑移边界条件较少，且现有的理论结果也尚不完全准确。为了实现更为精确的气动力/热预测，并为飞行器精细化设计提供支持，发展基于CLL散射模型的滑移边界条件具有重要意义。
图2 介观气固相互作用模型与宏观滑移边界条件
针对上述问题，北京航空航天大学张俊教授团队提出了一种有效的理论推导方法，得出了与介观气固相互作用模型一致匹配的宏观滑移边界条件，其具体推导思路如图3所示。首先，考虑到气体在Knudsen层内的质量、动量和能量输运与主流区存在显著差异，主要取决于气体分子与壁面的相互作用，因此，需要在Knudsen层内的分布函数中引入修正项。对于速度滑移问题和温度跳跃问题，修正项分别与分子的动量和能量相关。其次，考虑到Knudsen层内分子间碰撞对分布函数的影响，本工作对壁面和Knudsen层外缘的修正项进行了区分，并通过动量和能量守恒、以及基于线性化Boltzmann方程构造的高阶矩守恒，确定了修正项的未知系数，从而得出了Knudsen层内的分布函数。最后，通过对Knudsen层外缘的分布函数求矩，可以得到基于CLL散射模型的速度滑移系数和温度跳跃系数，如公式（1）所示。可以看到，速度滑移系数和温度跳跃系数与切向及法向的适应系数均相关，但速度滑移系数与法向适应系数的相关性较低，通常可以忽略不计。
图3 推导思路示意图
为了评估以上滑移系数表达式的准确性，本文将公式（1）的结果同Sharipov基于Boltzmann方程的数值解做了比较，如图4所示。与数值解相比，由公式（1）确定的速度滑移系数和温度跳跃系数的最大相对误差分别仅为1.1%和4.4%，是目前最精确的基于CLL散射模型的滑移系数理论预测公式。
图4 基于CLL散射模型的速度滑移系数和温度跳跃系数同Boltzmann方程数值解的比较
滑移边界条件的数值验证
本文进一步将以上推导得到的速度滑移边界条件和温度跳跃边界条件应用到CFD计算中，并与DSMC方法的数值结果进行了比较。CFD计算基于开源软件OpenFOAM中的rhoCentralFoam求解器，DSMC的计算基于开源软件SPARTA。首先采用不同的边界条件计算了高速库埃特流动，结果如图5所示，使用无滑移边界条件的计算结果与DSMC有显著偏差，基于本文推导的CLL滑移模型得到的速度剖面和温度剖面与DSMC结果基本一致。
图5 高速库埃特流动：采用不同边界条件计算得到的速度场及温度场同DSMC结果的比较，流场的全局Kn数为0.05，其中(a)(c)对应，(b)(d)对应
.
图6为二维高超声速圆柱绕流算例的计算结果，为便于比较，CFD采用无滑移边界条件和滑移边界条件计算的结果展示在每张图片的上部，DSMC的参考结果展示在下部。从结果可以看出使用公式（1）的滑移边界条件后，CFD得到的温度云图和DSMC具有很好的一致性，尤其是在圆柱的尾流区域。论文进一步比较了驻点热流的大小，结果表明，采用滑移边界后，驻点热流的预测也更为准确，最大误差仅为4%。
图6 二维圆柱绕流采用不同边界条件计算得到的速度场及温度场同DSMC结果的比较，流场的全局Kn数为0.01，其中(a)(b)对应，(c)(d)对应
.(a)(c)为无滑移计算结果，(b)(d)为CLL滑移计算结果。
值得注意的是，本文所发展的理论方法不仅适用于CLL散射模型，还可以推广到其他可以表示为具体散射核形式的气固相互作用模型。此外，该方法还可用于推导二阶及更高阶的滑移边界条件，相关研究工作值得在未来进一步探索。
该论文的第一作者为北京航空航天大学博士生栾鹏，通讯作者为北京航空航天大学张俊教授。论文的共同作者还包括北京航空航天大学博士生杨浩和马启涵。研究得到了国家自然科学基金项目面上项目、重大研究计划培育项目的资助。
原文链接：
https://doi.org/10.1017/jfm.2024.617
审核：力学家
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