光纤激光器产生广义四阶色散克尔孤子

Chunxiang Zhang, Xiangkun Ma, Ke Ma, Zhixiang Deng, Xiaogang Lu, Meihua Liao, Hailong Chen, Haiyang Lu, Zhenhong Wang, Dianyuan Fan, and Jun Liu, Generalized quartic dispersion Kerr soliton generation from a fiber laser, Opt. Express 32: 33861-33874 (2024).

传统的光孤子被认为广义非线性薛定谔方程的解，其中负二阶色散起主导作用，并与克尔非线性效应得到了平衡。这些传统光孤子的典型特征及其广泛应用得到了广泛的研究。然而，纯四次孤子起源于负四阶色散（即二阶色散值接近于零）与克尔非线性的平衡，这是大约三十年前通过解析提出的，近年来才通过实验得到验证。这些特殊的孤子都属于一个超级家族的成员（即广义色散克尔孤子），正如Tam等人提出的那样，它们是具有二阶和四阶色散以及克尔非线性的非线性薛定谔方程的脉冲状孤子解。此外，Tam等人还指出，适当的色散组合而不是单一的四阶或二阶色散可以提高孤子性能。在负二阶色散和四阶色散条件下，Karlsson等人推导出了一个双曲正割平方脉冲状解。然而，对于上述广义色散克尔孤子超级家族，在四阶色散占主导地位的条件下，它们可以简化为广义四阶色散克尔孤子。Qiang等人将这一思想扩展到具有负六阶色散的四维参数空间，可以相应地称为广义六阶色散孤子。纯四次孤子属于广义四阶色散克尔孤子，具有近零二阶色散和负四阶色散。

在保守光学系统中提出的上述广义色散克尔孤子实际上可以在激光器中产生，以满足许多重要应用的要求。例如，在耗散超快光纤激光器中，腔内二阶色散非常重要，应仔细设计以平衡克尔非线性、损耗和增益，以实现不同的稳定孤子状态，如传统孤子、拉伸孤子、耗散孤子和自相似子。到目前为止，对广义四阶色散克尔孤子激光器的研究主要局限于纯四次孤子的特殊情况，其特征是净二阶色散值为零。Runge等人通过设置净二阶和三阶色散为近零，使基于空间光调制器的四阶色散占主导地位，实现了第一个纯四次孤子光纤激光器。纯四次孤子的脉冲能量可以与脉冲持续时间倒数的三次方成正比，同时保持孤子光纤激光器的固有优势。自此，关于各种纯四次孤子态及其动力学的理论工作相当多，包括耗散纯四次孤子、纯四次孤子脉动动力学、纯四次孤子分子、矢量纯四次孤子、双折射管理纯四次孤子、纯四次孤子爬行和爆发动力学、纯四次耗散孤子共振和纯四次孤子坍缩动力学。

然而，广义四阶色散克尔孤子表明了一个更广义的四次孤子家族，值得给予相当的关注。更重要的是，具有其他参数的腔内二阶色散工程在广义四阶色散克尔孤子的产生和演化动力学中起着至关重要的作用。腔中适当的二阶色散管理有助于广义四阶色散克尔孤子的脉冲能量尺度和激光性能的提高。最近，Malheiro等人发现了在正或负四阶色散与零或负二阶色散相结合的情况下，锁模激光器分布式模型的四次孤子解，并原则上揭示了在具有光谱滤波效应的负四阶色散条件下，可以出现能量最大（391 nJ）和最窄（39 fs）的孤子。此外，在广义四阶色散克尔孤子激光平台中可以预期许多新的孤子动力学现象，为非线性光学和超快科学贡献了新的知识。然而，到目前为止，关于广义四阶色散克尔孤子激光器及其输出脉冲特性的实验研究非常罕见。因此，构建一种锁模光纤激光器，通过操纵腔内二阶和四阶色散，可以直接产生广义四阶色散克尔孤子，这是非常必要和重要的。在此基础上，研究人员研究了二阶色散对脉冲整形和时间-光谱特性的影响。此外，广义四阶色散克尔孤子的显著脉冲能量尺度潜力可以为孤子光纤激光器开辟广泛的应用领域，如医学成像、眼科和材料加工。特别地，具有平顶光谱的广义四阶色散克尔孤子的高能超短脉冲将有助于设计泵浦梳转换和光学频率梳以及超连续谱的产生。

实验中的广义四阶色散克尔孤子产生基于非线性偏振演化技术的被动锁模环形光纤激光器，如图1所示。使用1.6 m长的掺铒光纤（SM-ESF-7/125）作为增益介质，在1560 nm处的群速度色散为59.74 ps²/km。采用两个带有光纤尾纤的单模激光二极管作为泵浦源，最大输出功率为600 mW。来自两个激光二极管的泵浦光束通过两个980/1550 nm波分复用器（WDM）耦合到增益光纤中。使用偏振无关隔离器（PI-ISO）来保证单向运行。非线性偏振演化锁模机制通过一个光纤起偏器和两个三桨偏振控制器（PC1和PC2）实现。使用可编程光谱脉冲整形器（WS-01000B-X-S-1-AA-00）来设计腔内色散。采用50:50的输出耦合器（OC）输出一半的腔内功率到激光腔外。腔中的无源尾纤在1560 nm处的群速度色散为-21.4 ps²/km，总长度为24.1 m（包括5.2 m尾纤和约0.3 m的可编程光谱脉冲整形器中的自由空间距离）。总腔长估计约为25.7 m，对应于7.77 MHz的基频重复率，腔内光纤的净二阶色散约为-0.413 ps²。使用光谱分析仪和高速实时示波器以及快速光电探测器分别测量输出锁模脉冲的光谱和时间特性。频谱和单脉冲持续时间分别由频谱分析仪和自相关仪记录。

通过将适当的相位分布到光谱脉冲整形器中，可以操控激光腔的净二阶和三次色散。首先，将腔中的净二阶色散调整到近零（从-0.068 ps²到0.031 ps²），但具有主导的四阶色散（-2.96 ps⁴），通过精细地调整偏振控制器，可以很容易地实现广义四阶色散克尔孤子区的稳定锁模运转。值得注意的是，在这个实验参数空间中，由于净二阶色散值相对较小，广义四阶色散克尔孤子的输出特性与纯四次孤子状态下的输出特性相似。

图2(a)和(b)分别给出了在175 mW泵浦功率下锁模广义四阶色散克尔孤子的输出光谱和脉冲序列。净二阶色散和四阶色散分别设置为0.031 ps²和-2.96 ps⁴。在输出光谱中，观察到了明显的共振边带，但在中心部分有轻微的调制。这些轻微的调制可能反映了表现出潜在脉动行为的非均匀脉冲峰值强度。脉冲序列展示128.8 ns的间隔，对应于7.77 MHz的基频重复率。为了评估激光腔的线性色散参数，研究人员分析了图2(a)中光谱边带的位置。色散波的共振增强源于孤子与其发射的线性色散波在传播过程中周期性扰动和整形后的相长干涉。因此，满足以下关系的某些频率的激光分量将相长干涉以形成增强的边带，

其中，β_sol和β_lin分别表示孤子和线性波的传播常数，m为正整数。考虑到线性波在仅具有四阶色散的腔中传播，有以下线性波的传播常数：

纯四次孤子的传播常数为：

因此，m阶光谱共振满足：

对于纯四次孤子，两个连续边带中心频率的四次方之差由48π/(|β₄|L)给出，对于-2.96 ps⁴的腔内四阶色散值，该常数约为0.51×10² ps^-4。图2(c)展示了不同光谱边带位置测量的四次方随相应边带阶数的变化，表明相邻边带阶数的线性增量约为0.56×10² ps^-4，这与理论计算值0.51×10² ps^-4相符。图2(d)展示了测量的自相关迹，采用高斯拟合计算其半最大全宽脉冲宽度为2.38 ps。

此外，当进一步将泵浦功率增加到260 mW，并在保持负四阶色散主导的同时略微调整净二阶色散值时，通过调整偏振控制器，可以实现另一种具有典型平顶光谱的广义四阶色散克尔孤子态。图3(a)展示了输出的平顶光谱，该光谱分别在约0.110 ps²和-2.99 ps⁴的净二阶和四阶色散下测量。中心波长位于1560 nm左右，半最大全宽为6.31 nm。时间脉冲序列，如图3(b)所示，其相邻脉冲间隔为129.2 ns，对应于7.74 MHz的基频重复率。如图3(d)所示，频谱进一步证实了信噪比约为60 dB的基频重复率，表明工作状态相对稳定。图3(c)展示了作为相应边带阶数函数的光谱边带位置测量的四次方。两个连续边带位置的四次方之间的差是一个常数，约为1.0×10² ps^-4，是图2(c)中的1.78倍。通过理论分析，光谱平坦度计算为0.883。当进一步将泵浦功率增加到610 mW并仔细调整偏振控制器时，输出光谱的顶部变得更加平坦和平滑，没有观察到明显的低阶边带，如图4(a)所示。半最大全宽光谱宽度展宽至~8 nm。相应的光谱平坦度值增加到0.904。此外，图4(b)展示了锁模脉冲序列，如图4(c)所示，脉冲宽度缩短至1.115 ps。可以推断，泵浦强度可能直接影响边带位置及其共振强度。在强泵浦强度下，一阶边带的非线性相移不容忽视。因此，通过将每个边带累积的Kerr诱导的自相位调制视为β_solL−β_linL−ϕ_SPM+φ₀=2mπ来修改相长干涉条件，其中，φ_SPM是m阶边带的非线性相移，φ₀是光纤双折射效应引起的线性相移。当ϕ_SPM随着泵浦功率的增加而增加时，对于相同的相邻阶边带，Δω⁴将增加，这表明边带位置发生了偏移。因此，两个连续边带位置的四次方之差随着泵浦强度的增加而增加。同样值得注意的是，由于高阶边带的自相位调制相对较弱，其频移小于低阶边带，这与实验观察结果一致。此外，研究人员还测量了输出光谱的平坦度作为净二阶色散值的函数，如图4(d)所示。研究发现，在其他固定参数下，包括四阶色散值、泵浦功率和偏振控制器的方向，光谱平坦度在从负到正的一定范围内随着净腔内二阶色散而增加。当二阶色散超过0.225 ps²时，锁模脉冲变得不稳定。在这种情况下，需要调整偏振控制器的方向，以再次获得稳定的单脉冲锁模运转。基于之前的实验探索，可以在腔内二阶色散值为-1.775-0.7 ps²的光纤激光器中实现稳定的广义四阶色散克尔孤子运转。通过对偏振控制器进行更精细的操作，可以进一步扩展该参数范围。

此外，边带的光谱偏移和平坦度也与线性相位延迟偏置有关。在相同的泵浦功率以及相同的二阶和四阶色散参数下，共振边带的数量和强度会受到旋转偏振控制器桨叶引起的线性相位延迟偏置的影响。腔环路中的起偏器和内置的偏振控制器可以优化腔双折射和由此产生的波长相关损耗，这也自然起到了Lyot滤波器的作用。滤波器带宽可以随着偏振控制器的调节而改变。当滤波器的带宽减小到一定值时，可以对边带进行滤波。图4(a)描绘了一个典型现象，其中没有展示共振边带。

为了更深入地了解二阶色散和线性相位延迟偏置对输出光谱的内在影响，研究人员使用环形腔模型和Ginzburg-Landau方程进行了数值模拟：

其中，A是脉冲包络的慢变振幅。z和t分别对应于传播坐标和延迟时间。β₂（单模光纤和掺铒光纤为-21.4 ps²/km）和γ（单模光纤和掺铒光纤分别为为1.1和1.73 W^-1km^-1）分别是光纤的群速度色散和克尔非线性。考虑到掺铒增益光纤比总腔长短得多且这里的目的是研究腔内净二阶色散对广义四阶色散克尔孤子输出特性的影响，因此，对掺铒光纤和单模光纤采用了相似的色散系数。β₃（光纤中+0.12 ps³/km）和β₄（光纤中-2.2×10-3 ps⁴/km）分别是光纤的三阶色散和四阶色散。g₀是小信号增益，而Es表示掺铒光纤的饱和能量，这表示泵浦强度。g₀在掺铒光纤和单模光纤中分别设置为10 m^-1和0。α是光纤的损耗系数（0.2 dB/km）。为了解释掺铒光纤的有限增益带宽，将g乘以带宽为50 nm的洛伦兹曲线，对应于方程5中所示的角频率Ω。最后，可饱和吸收体由方程7表示的强度透射函数表征，其中，θ和φ分别取0.125π和0.625π。P是瞬时功率，ϕ_PC表示线性相位延迟，可以通过偏振控制器的方向进行调整。L（即25.4 m）是腔的总光纤长度。方程8是光谱脉冲整形器的相位分布，其中ω是角频率，ω₀表示中心频率，β_n（n=3）设置为-0.12 ps³/km，以补偿腔内三阶色散接近零，而β_n（n=2，4）根据需要变化。此外，还考虑了光谱脉冲整形器的插入损耗。

研究人员数值分析了广义四阶色散克尔孤子的时间和光谱演化，二阶色散值范围为-0.524-0.524 ps²，间隔为0.025 ps²，其他固定参数保持不变。研究发现，输出光谱的平坦度，随着净二阶色散值的增加而逐渐增加，而脉冲持续时间相应地减小，如图5(a)所示。如图5(b)所示，广义四阶色散克尔孤子的能量和峰值功率都随着净二阶色散的增加而增加，这表明通过适当设计正二阶色散和负四阶色散，具有潜在的能量提升能力。结果还可以支持理论猜想，即与负二阶色散或纯四次孤子情况下相比，正二阶色散与负四阶色散相结合具有更好的能量提升潜力。此外，研究人员还分析了线性相位延迟对边带光谱位置和强度的影响。通过在初始锁模状态的小角度内偏移一个偏振控制器（ϕ_PC），由于光谱滤波效应，边带的数量和共振峰随着线性相位延迟的减少而减少，如图6所示。此外，光谱边带位置向光谱的中心波长偏移。通过在保持线性相位延迟ϕ_PC=0.08π的同时调整泵浦强度，连续边带之间的光谱间距随着泵浦功率的增加而增加，这与实验观察一致。

Buryak等人已经证明，在允许存在具有振荡尾的孤子参数空间中可以出现多孤子束缚态。此外，在实验中，通过精细调整偏振控制器并应用适当的二阶和四阶色散，研究人员还实现了广义四阶色散克尔孤子范围内的多孤子束缚态。首先，在230 mW的泵浦功率下实现了时间间隔为2.1 ns的双孤子束缚态，同时分别保持了-3.2 ps⁴和0.283 ps²的净四阶色散和二阶色散。图8(a)和(b)展示了相应的光谱和时间特征。输出光谱非常稳定，具有与四阶色散相关的增强共振边带。振荡尾可以在等间距和不等间距的相邻孤子之间的相互作用中建立势垒。共振色散波的强度可以通过泵浦强度或腔内偏振条件来操控，这使得孤子相互作用更加复杂。然而，仍然可以将这种态归因于广义四阶色散克尔孤子的一个新的束缚态，该束缚态起源于色散波介导的长程孤子相互作用。

此外，通过调整二阶和四阶色散以及偏振控制器桨叶的位置（即线性腔内相位延迟偏置），研究人员还实现了具有不同孤子数和时间间隔的孤子束缚态。图9给出了在相同的260 mW泵浦功率下四种具有代表性的广义四阶色散克尔多孤子锁模态。图9(a)-(c)展示了在-3.47 ps⁴的四阶色散和0.36 ps²的净二阶色散下测量的间隔为9.6 ns的两个孤子束缚态的输出光谱和时间脉冲序列。如图9(d)所示，在净二阶色散降至0.283 ps²且其他参数保持不变的情况下，研究人员还获得了另一个时间间隔较小（1.3 ns）的双孤子束缚态，表明尾部束缚相互作用力在增强。假设二阶色散可以通过振荡尾部调节结合力。为了验证这一点，在相同的净二阶色散和四阶色散分别为0.283 ps²和-3.47 ps⁴的情况下，研究人员首先实现了单广义四阶色散克尔孤子态，然后固定偏振控制器的桨叶方向，并逐渐将净二阶色散降低到-0.068 ps²。在此过程中，单脉冲运转仍然保持不变。然后，通过逐渐将四阶色散降低到-1.84 ps⁴，单脉冲开始分裂成三孤子，如图9(e)所示。只需稍微调整偏振控制器，三孤子就可以演化成孤子束，如图9(f)所示，并且还能够恢复到稳定的单脉冲状态。孤子束态不是很稳定，可以通过增加净二阶色散来破坏，最终演变为两孤子束缚态。通过调整净二阶色散值，研究人员还实现了孤子束与大间隔孤子的共存。因此，色散共振波和由二阶色散和四阶色散之间的相互作用引起的时间振荡尾可能有助于弱耦合或强耦合的多孤子动力学现象。

图10(a)-(c)展示了在相同的260 mW泵浦功率，-1.48 ps⁴的四阶色散和-0.11 ps²的净二阶色散下，获得的另一种锁模态即六孤子束缚态的结果。值得注意的是，形成该束缚孤子的孤子相互作用机制不同于色散波介导的相互作用。输出孤子光谱中心附近存在强连续波分量。如图10(b)所示，在锁模脉冲序列中也可以分辨出强连续波分量。如图7(c)和(d)所示，不稳定连续波分量导致的全局相互作用对于形成稳定的谐波锁模孤子也至关重要。当四阶色散变为-3 ps⁴时，研究人员观察到多个束缚孤子与无束缚孤子共存，这有助于形成各种广义四阶色散克尔孤子态，如束缚孤子束和束缚孤子被动锁模。例如，图10(d)-(f)展示了腔中具有稳定不均匀间隔的十三孤子束缚态的光谱和脉冲序列。受检测系统分辨率的限制，无法分辨束缚孤子内两个孤子之间的时间间隔，如图10(f)中红色箭头所示的第10个和第11个束缚孤子，靠近的两个束缚孤子是在具有非常强束缚能的直接孤子相互作用下形成的。图10(d)中增强的共振边带和图10(f)中大多数束缚孤子之间的大间距表明，长程相互作用起源于色散波。在直接强相互作用或长程相互作用下，多孤子束缚态甚至可以演化成混沌但局域化的孤子束。最近的一项工作表明，通过四阶色散工程引起的振荡尾及其重叠程度，操纵孤子相互作用有助于混沌孤子束的相干控制操作。

总之，研究人员在锁模光纤激光器中实现了更常见的四次孤子族产生，即广义四阶色散克尔孤子，该激光器由商用光谱脉冲整形器进行色散工程。在此基础上，研究人员探索了它们的一般特征，发现时间和光谱特征与二阶和四阶色散以及泵浦功率和腔内双折射密切相关。数值和实验表明，在适当的二阶和四阶色散下，腔内相位延迟偏置和泵浦功率会对输出光谱的边带数量和平坦度产生影响。正二阶和负四阶色散结合可以促进广义四阶色散克尔孤子的能量提升。在中等泵浦功率下，通过二阶色散和四阶色散的相互作用，研究人员还观察到了丰富的广义四阶色散克尔多孤子态，如谐波锁模、多孤子束缚态和孤子束。这项研究为揭示广义四阶色散克尔孤子之间的内在相互作用机制、高能光纤激光器的设计及其在光信息存储和高容量光通信中的潜在应用提供见解。