单模光纤激光器中的椭圆余弦波及其孤子极限

Xiao Hu, Tu-Pei Chen, Seongwoo Yoo, Ding-Yuan Tang, Cnoidal waves and their soliton limits in single mode fiber lasers. Photonics Research 12(3): 543-551 (2024).

人们发现周期波解存在于不同的非线性动力学方程中。在固体物理学中，这种周期性的非线性波结构被称为布洛赫波，它在晶胞之间自洽地再现。虽然“布洛赫波”的使用强调了凝聚态中晶格周期调制平面波的性质，但“椭圆余弦波”是一个更常用的术语，它将解与流体、等离子体和光学中周期波结构的大量工作联系起来。光学中的例子包括微谐振器和光纤中的光传播。在微谐振器领域，这种周期性波结构也被称为“图灵滚”，由Lugiato-Lefever方程控制。在光纤中，这种平稳的周期性图案被称为椭圆余弦波，由非线性薛定谔方程描述。在非线性薛定谔方程近似下，虽然孤子用双曲正割函数进行解析表示，但椭圆余弦波用雅可比椭圆函数表示。

迄今为止，关于流体中椭圆余弦波的研究很多，但在光学领域并非如此，除了一些理论和/或数值研究。在各种实际物理系统中，光纤激光器通常被用作研究复杂非线性波动力学的平台。虽然激光器本质上是一个耗散系统，其动力学应由扩展的Ginzburg-Landau方程来描述，但在稳态激光运转下，激光增益始终与腔损耗平衡；此外，如果忽略增益带宽限制的影响，Ginzburg-Landau方程将简化为非线性薛定谔方程。因此，光纤激光器中的光传播可以模拟非线性薛定谔方程动力学的传播，这说明在某些激光运转条件下，光纤激光器可以形成非线性薛定定谔方程孤子和椭圆余弦波。非线性薛定谔方程的孤子和椭圆余弦波都由非线性和色散之间的平衡产生。虽然光纤激光器中的孤子形成得到了广泛的实验研究，但还没有关于光纤激光器中椭圆余弦波的实验研究。从物理上讲，椭圆余弦波桥接了非线性系统的连续波和孤子状态之间的间隙。为了全面了解光纤激光器的动力学，研究其中形成的椭圆余弦波的性质和特征非常重要。

实验中，研究人员使用了由40 GHz光电探测器、33 GHz带宽实时示波器和光谱分析仪组成的高速检测系统进行时间和频率分辨测量。实验装置示意图，如图2所示。腔中使用的所有光纤尾纤组件（ISO、WDM、OC）都经过特殊选择，使其具有可忽略的偏振相关损耗且其功能与偏振无关；因此，在实验装置中不会发生传统的锁模过程。在这里，即使没有任何锁模元件或外部调制器，简单的光纤环形激光器仍可以作为产生周期性非线性波的灵活平台。此外，通过仔细管理腔的非线性和色散，可以研究正常和反常腔色散状态下椭圆余弦波的形成及其孤子极限。

为了证明椭圆余弦波的存在，研究人员构建了具有3 m掺铒光纤、12 m单模光纤的实验装置，如图2所示。除了用于微调腔条件（如腔非线性和腔失谐）的偏振控制器外，光纤激光器中不存在其他偏振选择性元件或任何可饱和吸收体。由于所有腔内组件都是偏振无关的，因此，激光器中不会发生非线性偏振旋转锁模。通过微调偏振控制器叶片的取向，可以改变有效的腔内双折射，从而不仅可以改变激光振荡波长，还可以改变腔内光功率。实验上，通过适当设置腔内偏振控制器，甚至可以实现光纤激光器的多波长振荡。

首先，通过注入20 dBm的较低泵浦功率，在相对较低的非线性状态下操作激光器。实验中，在弱非线性下，激光总是显示连续波发射。当缓慢地将泵浦功率增加到22 dBm时，得到了一种周期为50 ps的周期性波形，如图3（a1）所示。一旦形成，周期性图案在腔内保持静止，如图4所示。图3（a2）是图3（a1）的相应光谱。从这种状态开始，如果缓慢地改变腔内偏振控制器叶片，也可以获得其他周期性波发射状态，如图3（b1）（周期为33 ps的周期波）和图3（c）（周期为4 ns的周期波）所示。在低非线性状态下工作，激光器的光谱具有窄带（3-dB带宽测量约为4 nm），如图3（a2）和3（b2）所示的光谱所示，没有观察到Kelly边带。从图3（a1）所示的状态开始，如果泵浦强度进一步增加到24 dBm，周期波就会演变成图5所示的状况。如图5（a）（t=0 s时测量的状态）和图5（b）（t=120 s时测量的情况）所示，脉冲串在腔内仍是静态的且保持与以前相同的脉冲重复率。然而，随着腔内功率的增加，周期波的每个峰值都明显变窄，如图5（c）所示。研究人员通过实验测量了脉冲的自相关迹，假设为孤子脉冲形状，其脉冲宽度为8 ps。图5（d）显示了状态的光谱。与图3（a2）所示相比，它明显变宽了，同时，光谱上也出现了由箭头S1标记的弱凯利边带。Kelly边带是由激光器中孤子和色散波之间的干涉形成的，这是激光器孤子运转的独特特征。光谱上出现如此弱的凯利边带表明，获得的周期性脉冲正在接近孤子极限。尽管脉冲表现出一些孤子特性，即宽光谱带宽和弱Kelly边带，但它们不是非线性薛定谔方程类型的粒子状孤子，因为它们在腔内是静态的。实验观察到的周期性脉冲随腔内功率的演变（图4-5）也得到了图6和图7所示数值模拟的验证。图6（a）-6（f）显示了在净反常色散区域中不同周期（从20 GHz到5 GHz）的椭圆余弦波的形成，图6（g）是图6（b）所示情况的光谱。光谱显示出明显的频率梳，其频率分离与椭圆余弦波的脉冲重复率很好地匹配。值得注意的是，受光谱分析仪分辨率的限制，在测量的椭圆余弦波光谱上只能看到频率梳的包络。从数值上发现，即使在弱非线性下，椭圆余弦波模式在腔内也可以保持稳定，例如，在所有三种情况下，增益系数为50 km^-1 。从图6（a）所示的状态开始，如果研究人员增加腔内功率，椭圆余弦波脉冲会变得越来越窄，最终在增益系数为80 km^-1时，它们会演变成一串明亮的脉冲。然而，在所有状态下，脉冲的周期保持不变，如图7所示，与图4和图5所示的实验观察结果一致。

实验上，从图5所示的状态开始，如果继续将泵浦强度增加到27 dBm，周期性脉冲最终将演变为非线性薛定谔方程孤子，其特征是具有明显的粒子状特征；例如，它们不是保持静止，而是开始在腔内移动，如图8（a）（在t=0 s时测量的孤子图案）和图8（b）（在相同的时间窗口但在t=120 s时测量的孤波图案）所示。此外，如图8（c）所示，在脉冲上还观察到传统非线性薛定谔方程孤子的其他特征，例如显著的光谱展宽和强Kelly边带。孤子在腔内随机分布，同时相互碰撞。如图1所示，观测到的周期波的特征与非线性薛定谔方程的椭圆余弦波的特征非常一致。需要强调的是，光纤激光器的上述特征与腔长、有效色散和双折射等具体腔参数无关，一旦激光器工作条件设置得当，它总是会发生，这表明这是系统的固有特征。

在大多数情况下，光纤激光器可以支持多波长振荡。双波长激光发射状态的典型光谱，如图9所示，其中与图5（d）的情况类似，椭圆余弦波的中心波长（图9中用蓝色虚线标记）仍以1588 nm为中心；此外，通过稍微改变腔内偏振控制器叶片，还出现了另一个中心波长为1575 nm的激光振荡（图9中用绿色虚线标记）。这两个组共存于同一腔体中并相互作用。由于它们的非相干相互作用，形成了一种双波长畴结构，如图10（a）所示，由红色实线标记。应该强调的是，畴的形成不会影响椭圆余弦波的形成，例如，如图10（a）所示，在腔中的一个畴区域内仍然形成周期性脉冲串。这种域状态被证明是三次Ginzburg–Landau方程的解。最初，椭圆余弦波仅在一个域中形成，脉冲在该域中是静态的。然而，当缓慢地将泵浦强度从22 dBm增加到27 dBm时，脉冲最终开始超出域，表明它们不再与其他脉冲绑定，而是成为自由的非线性薛定谔方程孤子，如图10（b）所示。最后，孤子填满了整个腔，如图10（c）所示。注意，在图3-5中观察到了相同的椭圆余弦波演化过程。唯一的区别是，在以前的情况下，周期性边界由整个腔长定义，但在这里，它由域的壁重新定义。域中椭圆余弦波的出现可以提供额外的自由度来微调脉冲串的特性，例如它们的占空比，这可能有利于它们在光通信和超快激光器领域的应用。

在非线性薛定谔方程近似下，不仅可以支持周期椭圆余弦波解；还可以支持另一组特殊的解，即“椭圆余弦波背景上的孤子”。研究人员通过实验验证了这种结构，如图11所示。事实上，“椭圆余弦波背景上的孤子”的结果可以解释为系统中孤子和椭圆余弦波共存的情况。具体来说，在图11所示的状态下，中心波长为𝜆1的激光振荡中的一个上形成了亮孤子，同时，在中心波长为𝜆2的另一个激光振荡中形成了椭圆余弦波。由于𝜆1处的有效激光增益远大于𝜆2处的增益，因此，由于强烈的能量局域化，在𝜆1处形成了孤子，而在𝜆2只形成了椭圆余弦波。形成的孤子和椭圆余弦波具有不同的速度，因为它们具有不同的中心波长，因此，如果将孤子用作示波器触发器，则看起来多个明亮的孤子骑在噪声背景上，如图11（a）和11（c）所示。然而，当用椭圆余弦波背景触发示波迹时，其椭圆余弦波特征变得清晰。它将显示腔内静态的周期性脉冲模式，如图11（b）所示，这与文献中的理论预测非常吻合。图11（c）的插图显示了周期约为63 ps的周期椭圆余弦波背景的放大图。这一结果再次表明，适当设计的光纤激光器可以成为非线性薛定谔方程大量非线性波解实验研究的理想非线性试验台。

实验中，研究人员还通过选择3 m掺铒光纤、5 m单模光纤和9 m双包层光纤，在净法向腔色散状态下操作光纤激光器，对椭圆余弦波进行了研究，因此，平均净腔色散选择为6.58 ps²∕km。首先，通过注入23 dBm的弱泵浦功率在低非线性状态下操作激光器，并获得具有两个不同周期的椭圆余弦波的稳定形成，例如T1=2.5 ns，T2=4 ns，如图12（a）和图12（c）所示。图12（b）和图12（d）分别是图12（a）和12（c）的相应光谱。在光谱上可以观察到两个宽的光谱边带（由箭头S1和S2标记），它们由腔内激光束的周期性功率变化引起，不是凯里边带。

与净反常色散区中形成的椭圆余弦波的演变类似，当通过将泵浦功率从23 dBm增加到28 dBm来缓慢增加腔内功率时，如图12（a）所示的椭圆余弦波的每个脉冲都变窄了；然而，如图13所示，它们不是将脉冲转化为一串亮脉冲，而是转化为一串典型脉冲宽度约为数百皮秒的暗脉冲。从这种孤子极限状态开始，如果继续将泵浦功率增加到30 dBm，周期性暗脉冲最终可以转化为一系列典型脉冲宽度约为几皮秒的黑孤子。然而，值得注意的是，最窄的脉冲宽度也受到净腔色散的限制；例如，在大的腔色散下，可获得的最窄脉冲宽度通常在数百皮秒左右。在这种情况下，进一步增加泵浦强度将导致暗脉冲分裂，而不是脉冲宽度的连续变窄。

为了配合实验观测，研究人员还数值研究了椭圆余弦波的形成及其在净正腔色散区的孤子极限。同样，模拟基于3 m掺铒光纤、5 m单模光纤和12 m色散补偿光纤的光纤激光腔配置，因此，平均净腔色散为6.1 ps²/km。有趣的是，在正常色散状态下，椭圆余弦波结构也可以在弱腔非线性下稳定形成，如图14（a）所示。从余弦波状态开始，当通过增加增益系数来增加腔内功率时，余弦波的峰值变窄。当增益系数为100 km^-1时，椭圆余弦波演变成一串暗脉冲，而不是亮脉冲，如图14（d）所示。图14（e）是图14（a）所示椭圆余弦波状态的光谱。同样，梳频率之间的间隔与椭圆余弦波脉冲的重复率很好地匹配。随着增益系数的增加，椭圆余弦波的这种演变再次与图13所示的实验观测结果非常一致。值得注意的是，无论是从图5还是图13所示的状态，如果腔内功率持续增加，椭圆余弦波脉冲都会转化为粒子状的亮孤子或暗孤子。此后，它们的行为遵循非线性薛定谔方程孤子定理。由于超短暗孤子的产生在许多现实物理系统中仍是一项具有挑战性的任务，因此，所提出的暗孤子形成方法可能是另一种方法的优越替代方案，具有在宽范围内可控暗脉冲宽度的优点。

显然，与净腔色散的符号无关，在适当的激光运转条件下，光纤激光器中很容易形成椭圆余弦波，随着腔非线性的增加，它们可能会演变为孤子极限，甚至演变为非线性薛定谔方程孤子状态。尽管具有强能量局域化的椭圆余弦波看起来与锁模孤子光纤激光器中经常观察到的谐波锁模状态非常相似，但它们是两种不同的状态。椭圆余弦波态是非线性薛定谔方程的平稳周期解；在这种状态下，腔中的所有脉冲都是相互耦合的，因此，它们在腔中或畴中是静态的，而处于谐波锁模状态的孤子则不是相互耦合的。与理论预测一致，椭圆余弦波和孤子都是不同非线性强度下非线性薛定谔方程的稳定解。实验中，研究人员展示了这两种状态之间的进化路线。这一结果也解释了为什么即使腔中没有可饱和吸收体或锁模器，光纤激光器中仍可以获得周期性脉冲串和非线性薛定谔方程孤子。因此，这个发现为产生稳定的周期性光脉冲串和在宽范围内光学控制光脉冲的周期和形状提供了一种新方法。这项技术不仅可以对超快激光器产生影响，还可以对这些特征至关重要的其他领域产生影响，例如宽带频率梳、超连续谱产生和用于集成光子学新应用的片上高能脉冲。

尽管非线性薛定谔方程可以揭示大量保守的周期性非线性波变体（包括椭圆余弦波及其周期孤子极限），但为了研究飞秒光纤激光器中的光传播，必须从支持高阶平稳周期解（如“高阶椭圆余弦光”）的高阶非线性薛定谔方程开始探索非线性波传播。与标准非线性薛定定谔方程支持的保守非线性结构的情况相比，高阶效应的影响揭示了这种周期性波结构上不寻常的脉冲轮廓，例如，具有“纯方波”或“方波顶部的亮孤子”脉冲轮廓。最后，如果激光的有效增益带宽限制效应不再可忽略，系统的耗散特性将发挥主导作用，预计该系统中甚至可能形成复杂的周期性波结构。鉴于在有源光纤腔中形成的非线性周期波易于实现且稳定，对系统的特征进行全面研究具有基础和实际意义。