Traffic flow theory 交通流理论
Time-Space Diagram 时空图
Flow and density 流量和密度
流量 （q） = 车辆通过固定点的速率（每小时车辆数），
\[ t_{measured}=平均值 \text{ } 测量 \text{ } 时间 \text{ } headway\）
N= number of vehicles occupying a highway segment of length {\displaystyle L} 𝑞= equivalent hourly flow L = length of roadwayk = density
测量交通速度并不像看起来那么简单；我们可以通过时间或空间平均单个车辆的速度，每种方法产生的结果都略有不同。
时间平均速度（\(\bar{v}_t\)）：等于车辆通过某个点的速度的算术平均值。
\[ \bar{v}_t = \frac{1}{N} \sum_{n=1}^{N} v_n \]
空间平均速度（\(\bar{v}_s\)）：定义为通过一个点在一定时间内的速度的调和平均值。它也等于在一段道路上的平均速度。
\[ \bar{v}_s = \frac{N}{\sum_{n=1}^{N} \frac{1}{v_n}} \]
将时间和空间平均速度联系起来：
时间平均速度与空间平均速度不同，时间平均速度是某点经过的平均速度，而空间平均速度是沿一段长度的平均速度。
两者之间的关系如下：
\[ \bar{v}_t = \bar{v}_s + \sigma^2_s / \bar{v}_s \]
时间平均速度高于空间平均速度，但差异随车辆速度的变异量而变化。在高速（自由流动）时，差异很小，而在拥堵时段，它们可能相差两倍。
车头时距（Headway）：
以下定义指的是毛间（brutto gap），与净间（netto gap）相对。净间指的是一辆车的后保险杠与下一辆车的前保险杠之间的距离或时间。
时间车头时距（\(h_t\)）：是指一辆车的前部到达公路上的某一点与下一辆车的前部到达同一地点的时间差（以秒为单位）。
车头间距（Space headway）是指一辆车的前部与下一辆车的前部之间的距离（以米为单位）。
平均车头间距（\(\bar{h}_s\)）等于空间平均速度乘以平均时间车头间距。
\[ \bar{h}_s = \bar{v}_s \cdot \bar{h}_t \] (5.2.5)
需要注意的是，密度和空间车头间距是有关联的：
\[ k = \frac{1}{\bar{h}_s} \]
Fundamental Diagram of Traffic Flow
Traffic Flow 的基本图
流量、密度和空间平均速度的变量在定义上相关为：
交通流基本图
流量、密度和空间平均速度这些变量在定义上是相关联的，如下所示：
\[ q = k \bar{v}_s \]
传统模型（抛物线形）
传统交通流基本图的特性：
当高速公路上的密度为零时，流量也为零，因为高速公路上没有车辆。
随着密度的增加，流量增加。
当密度达到最大拥堵密度（\( k_j \)）时，流量必须为零，因为车辆将首尾相连。
流量也会增加到一个最大值（\( q_m \)），超过该点的密度增加会导致流量减少。
速度是空间平均速度。
在密度 = 0 时，速度是自由流速度（\( v_f \)）。流量曲线的上半部分是未拥堵的，下半部分是拥堵的。
流量密度曲线的斜率给出速度。上升/运行 = 流量/密度 = 每小时车辆数/每公里车辆数 = 公里/小时
传统的交通流基本图
观察（三角形或截断三角形）
实际交通数据通常比理想化模型所示的要嘈杂得多。然而，我们倾向于看到的是，随着密度的增加，速度在达到某一点（容量）之前保持不变，然后如果受到下游交通的影响（排队溢出），速度开始下降。对于单个链接，流量和密度之间的关系因此更呈三角形而非抛物线形。当我们将多个链接汇总在一起时（例如，一个网络），我们会看到一个更呈抛物线形的图形。
微观和宏观模型
描述交通流的模型可以分为两类：微观和宏观。理想情况下，宏观模型是微观模型行为的汇总。
微观模型
微观模型预测汽车的以下行为（它们的速度和位置变化）作为前车行为的函数。
在微观基本图中的交通阶段（截断三角形）
宏观模型
宏观交通流理论涉及交通流、运行速度和密度。类比交通为一条流，它主要为有限访问道路开发（Leutzbach 1988）。基本关系“q=kv”（流量（q）等于密度（k）乘以速度（v））由基本图说明。许多实证研究已经量化了组成部分的二元关系（q vs. v，q vs. k，k vs. v），改进了参数估计和函数形式（Gerlough 和 Huber 1975, Pensaud 和 Hurdle 1991; Ross 1991; Hall, Hurdle 和 Banks 1992; Banks 1992; Gilchrist 和 Hall 1992; Disbro 和 Frame 1992）。
最广泛使用的模型是Greenshields模型，它假设速度和密度之间的关系是线性的。在高性能计算机出现之前，这些模型是最合适的，高性能计算机使得微观模型的使用成为可能。像流量和密度这样的宏观属性是个体（微观）决策的产物。然而，这些微观决策者受到他们周围环境的影响，即交通的宏观属性。
虽然交通流理论家将交通表示为一种流体，但排队分析本质上将交通视为一组离散的粒子。这两种表示并不一定不一致。右侧的图形显示了基本图中的相同4个阶段和排队输入输出图。这在下一节中将更详细地讨论。
示例
示例 1：时间平均速度和空间平均速度
给定五个观测到的速度（60公里/小时、35公里/小时、45公里/小时、20公里/小时和50公里/小时），时间平均速度和空间平均速度是多少？
解决方案
示例 2：计算交通流特征
已知40辆车在1分钟内通过一个给定点，并穿越了1公里的长度，流量、密度和时间车头间距是多少？
解决方案
时间车头间距为1.5秒。
示例 3：在路段上观测到的瞬时速度（以公里/小时表示）为66、62、45、79、32、51、56、60、53和49。中位速度（以公里/小时表示）是。
解决方案：中位速度是将一系列按升序排列的瞬时速度值中的中间值的速度。50%的速度值将大于中位数，50%将小于中位数。按升序排列的瞬时速度观测值为32、39、45、51、53、56、60、62、66、79。
中位速度 = (53 + 56) / 2 = 54.5 公里/小时。
思考问题
问题
微观交通流模拟个体车辆的行为，而宏观交通流模拟整体交通流的行为。从概念上讲，微观交通流似乎更准确，因为它基于驾驶员行为而不仅仅是流量特征。假设微观模拟可以校准以真正考虑驾驶员行为，模拟大型网络的主要缺点是什么？
解决方案
计算机能力。要使用微观模拟来模拟一个非常大的网络，需要评估的车辆数量非常庞大，这需要大量的计算机内存。目前的计算机在及时完成非常大的微观网络模拟方面存在问题，但也许未来的技术进步会解决这个问题。
示例问题
四辆车在X和Y两段之间以恒定速度行驶（相距280米），在某一时刻观察到它们的位置和速度。在X点的观察者在15秒内观察到四辆车通过X点。车辆的速度分别测量为88、80、90和72公里/小时。计算车辆的流量、密度、时间平均速度和空间平均速度。
答案
变量
\( d_n \) = 第n辆车的距离
\( t_n \) = 第n辆车的行驶时间
\( v_n \) = 第n辆车的速度（速度）
\( h_{t,nm} \) = 车辆n和m之间的时间车头间距
\( h_{s,nm} \) = 车辆n和m之间的空间（距离）车头间距
\( q \) = 固定点的流量（辆/小时）
\( N \) = 车辆数量
\( t_{measure} \) = 测量所用的时间（秒数）
\( t \) = 行驶时间
\( k \) = 密度（辆/公里）
\( L \) = 路段长度（公里）
\( v_t \) = 时间平均速度
\( v_s \) = 空间平均速度
\( v_f \) = 自由流（未拥堵速度）
\( k_j \) = 拥堵密度
\( q_m \) = 最大流量
关键词
时间-空间图
流量、速度、密度
车头间距（空间和时间）
空间平均速度、时间平均速度
微观、宏观
