高三上二次月考数学分析。
说明：若音频与文字版不一致的，以文字版为准。
一、主要的经验教训。
1二次月考最大收获，选择与填空注意整体思维，整体代换，期中考试最大收获，数形结合，借助图像。
2一要思路自信，二要计算自信。不要一味惯性思维，多选D项未见得都难，大胆尝试，思路验证，如11题建系法向量可求。
3如何更好地赚大题的分？注意分步争分。如大题含参问题，分参求导可得2分，考试不一定都会，都追求做完做对，只要把能拿的分都拿起来就行。能蹭一分是一分！
4换元是高考计算必备的基本功。
5问题逻辑+材料逻辑的呼应倾向，暗示提醒，选择简便算法最优路径，省时好解正确率高。
6将转化思维用到极致；如17题求二面角正弦值的最小值→转化为求二面角余弦值的最大值→转化为求两个面法向量夹角的余弦值的最大值→转化为数量积公式求法向量夹角余弦值的最大值→转化为与平面内的两条相交向量垂直积为零求法向量→转化为一个面的两条相交向量是常数，而另一个面的两条相交向量中的一条AQ是含入倍的向量→转化为利用已知角的正弦值做垂线，求出P点的坐标，利用已知条件Q为动点，通过向量PQ=入倍向量PC，得到含入倍的向量AQ，利用同一平面的两条相交向量AB与AQ求出第二条法向量。
7就地建系比引入新轴建系往往更容易计算，建系前一般先证两两垂直得2分。
8考点方法积累：高考数学求最值的几种方式主要有：函数法、不等式法、配方法、换元法、判别式法以及导数法。
9通过导数来研究原函数，一切的出发点和落脚点都要落实到原函数身上。这就是问题从哪里来的到哪里去，拨开迷雾，把握本质。不要被庞杂的表象所迷惑，要始终扭住那根线，始终把握源头，条分缕析，清楚通透。
10不管是研究函数还是研究导数，大脑里要有图。若函数单调递增，我们要有单调递增的图。如果是单调递增，那函数最小值要代入定义域的最小值，最大值要代入定义域最大值，若图像从x轴下方过x轴，不是确定的显零点，那就有可能出现隐零点问题。如果图像先减后增，那有极小值，先增后减，那有极大值。要数形结合，大脑里有图，四通八达有回路，思路才更清晰，心里才更亮堂，答题才更顺手。
附个人分析录音：
二、老师帮我分析。
这份卷子整体做的比较认真。选择第八题，主要考察的分段函数，单调性，求参数，取值范围，这道题相对常规，并且经典。
第10题考察的函数与三角函数结合，图像问题考察周期奇偶性对称中心零点问题等。
第11题考察了立体几何，此题需要将图像绘制正确，来大概判断d选项。
第14题主要考查了函数图像问题，根据题目切点来翻译条件，得到x1与x2相加和相乘问题。
16题主要考查了函数证明题以及不等式相关问题，可以构造新的函数求解参数取值范围。
17题立体几何求二面角正弦值，此题可用直角坐标系建造来求解，需要回顾特定公式。
18题第二问讨论恒成立问题与不等式相关，可相减构造函数求导判断单调性等方法来确定最大值。
19题数列问题为新定义问题。
根据题目一步一步分析求解一二问，主要考察了等差数列等比数列通项公式以及前n项和。
三、逐题分析。
8
宏观思路一句话：紧扣已知条件“分段函数在R上是单调函数”，利用第二个分段函数，代入特殊值9和100，推出分段函数的同一单调递增性；再利用第一个分段函求导，利用函数单调递增，得到导数大于等于0的关系式，通过参数分离恒成立，解得参数取值范围的一个端点值；并且分段函数在交点处保持同样的单调性（依据单调性联立两个分段函数列出不等式求出取值范围的第二个端点值）。
因为两个分段函数的单调性是同样的，求一个得两个，所以找一个好求单调性的去解就可以。通过观察，发现分段函数x>4时的第二个分段函数，代入特殊值9和100，就能看出它是单调递增的函数。该题第一步，我们用第二个分段函数求出了两个分段函数单调性，那么依据两个分段函数都有用的原则，第一个分段函求导，利用函数单调递增，得到导数大于等于0的关系式，利用参数分离恒成立，解得参数取值范围的一个端点值。此处用到两个细节，一是导数研究函数，通过求导与0做比较，可以研究原函数的单调性。反推，已知原函数的单调性，求导可推与0的关系。二是计算过程运用含参函数的恒成立问题+基本不等式求出一个端点值。③第三步，利用两个分段函数的连接点，符合函数整体单调递增的特征，把上下两个分段函数用<联立起来，通过解不等式得到参数取值范围的另一个端点值。微观细节突破啥？①整理函数，整体代入，三角恒等转换，倾向思维角名次三统一，搭桥原理有两角和差公式，二倍角公式，辅助角公式，再次强调不忘定义域如影随形。②代入函数，知道代入什么，代入哪里，计算沉稳，细腻清楚。③问题导向，利用原理。函数f（x）=2√3sinwxcoswx+2cos^2wx-1（0<w<1）（二倍角公式：sin2α = 2sinαcosα，cos2α = 2cos²α - 1）=2(cosπ/6sinx+sinπ/6cosx) =2sin(x+π/6) =2cos(x-π/3）拓展②y=sinx+√3cosx=2(1/2sinx+√3/2cosx)=2(cosπ/3sinx+sinπ/3cosx) =2(sinπ/6sinx+cosπ/6cosx)=2sin(x+π/3) =2cos(x-π/6)，如图正弦图像在π/3处取得最大值，即为2wx+π/6=π/2且x=π/3，解得w=1/2，故原函数整理为f（x）=2sin（x+π/6）。A.f（x）的最小正周期为2π。（周期T=2π/w，2sin（x+π/6）的w=1，故为2π。
将x=2x+（5/6）π代入函数f（x）=2sin（x+π/6），整理得f（2x+（5/6）π）=2sin[2x+（5/6）π+π/6]=2sin（2x+π）=-2sin2x，符合正弦函数是奇函数的特征，还是个奇函数。C.选项考察三角函数中正弦函数的对称性，对称中心位于(kπ,0)，即在每一个整数倍的π上，函数图像穿越x轴，表明在此点上，正弦函数具有中心对称性。
我们通过将x=-π/6代入新函数sin（2x+π/3）=0，结合图像，函数图像与x轴的交点即对称中心。这就是以终为始，依据原理来解题。具体解答：y=f（x+π/6）cosx的图像关于点（-π/6，√3/2）对称。将x=-π/6代入新函数，新函数y=f（x+π/6）cosx）=2sin（x+π/6+π/6）cosx），得f（x）=2sin（x+π/3）cosxsinxcosπ/3+cosxsinπ/3）cosx（两角和公式）=1/2sin2x+√3/2+√3/2cos2x，[sinxcosx=1/2sin2x，是因为二倍角公式sin2α = 2sinαcosa；√3cos^2x=√3/2+√3/2cos2x是因为二倍角公式：cos2x=2cos²x -1，即cos²x=(cos2x+1)/2]所以：√3*cos²x=√3*(cos2x+1)/2=(√3)/2 *(cos2x+1)]（辅助角公式，该问思考倾向大方向角度统一为2x），将x=-π/6代入函数sin（2x+π/3）+√3/2=√3/2，将x=-π/6代入括号里面sin（2x+π/3）=0，数形结合，结合图像，sin正弦函数的对称点是0，x=0或者=π，2π，3π，这里sin（2x+π/3）=0，可以理解为关于这个点对称成立。D.若y=f（tx）（t∈R，t>0）在[0，π]上有且仅有三个零点，则t∈[17/6，23/6）。D选项和C选项是一个问题的两个方面，C选项，是说正弦函数图像与x轴的交点是函数的对称中心。这个对称中心，也就是函数的0点。观察函数y=f（tx）=2sin（tx+π/6），因为是0点，所以（tx+π/6）=kπ，因为x∈[0，π]，所以（tx+π/6）∈[π/6，tπ+π/6），kπ是0点，即kπ=0，π，2π，3π，因为左端点值是π/6，故只能取π，2π，3π，不能取4π，即3π≤tπ+π/6<4π，解不等式得t∈[17/6，23/6）。三角函数中正弦函数的零点即x=kπ，则（tx+π/6）=kπ，因为x∈[0，π]，所以（tx+π/6）∈[π/6，tπ+π/6），据函数定义域区间，找三个零点π，2π，3π，解不等式3π≤tπ+π/6<4π得解。该题是一道立体几何+空间向量综合题。高中阶段考查立体几何，往往就是立体几何+空间向量综合考量。立体几何+空间向量综合考查的问题，删繁就简，化难为易，立体变平面，即化整为零，研究截面，另加上点空间想象能力。难点突破D选项，一用建系坐标法，二是可以将A1B1上的P点假设成三等分点，然后证明MND1过P点即证。逆推：要证线面平行，先证线线平行；要证线线平行，找正方形对角线的特殊性质。顺证两步推：一步，正方形对角线互相垂直且平分，二步，从线线平行到线面平行得证。逆推：要证线线垂直，可证与平行线垂直；要证平行线垂直，先证两向量积为零，要证向量积为零，可用建系法。顺证三步走，一步建系写点线，二步向量乘积为零，得到两向量垂直，三步由线线垂直到线与平行线垂直。逆推：要证线面角，先证线面垂直，再找直角三角形中线面角之外的直角和另一个角的度数，最后用直角减另一角等于线面角。顺证三步走：一步由线线垂直到线面垂直（一条线垂直于一个平面的两条相交直线，则垂直于这个平面）。二步正方体三条对角线相等，三条对角线组成的三角形为等边三角形 ，三个内角均为60度。三步据线面角定义（直角三角形斜边与平面内直线所夹锐角，即过不平行于平面的直线上一点作平面的垂线，这条垂线与平面的交点与原直线与平面的交点的连线与原直线构成的夹角的余角），求线面角，已知BD丄平面AA1C1C，而A1D与BD所成角为π/3，AD1∥MN，则直线MN与平面AA 1C1C所成角为π/6（已知平面外直角边与斜边所成的角是π/3，则这条斜边与平面内直角边所夹角π/6为二面角，这就是考查逆向思维，不给你正面的东西，给你反面，让你再求正面，这就是逆向思维）。要证平面MND1经过棱A1B1的三等分点，先假设经过的三等分点为靠近A1的P点，然后通过设坐标，证明D1P丄平面MND1的法向量，从而证明P∈平面MND1得证。顺证三步走：一步建系点线法向量。二步设三等分点P，并连接平面内点D1成向量D1P。三步向量D1P与该平面法向量之积等于零，也就证明了P点属于该平面得证。宏观思路一句话：问题导向求x+y，不必拘泥于俗套（先求出x与y的具体值，然后再相加），而是整体代换，将x+y看作一个整体，换元为t。第一步配凑，第二步基本不等式，第三步一元二次方程求值，第四步，验证增根，确定结果。观察等式特殊情况，走一步看三步，紧扣所求x+y，常数移项后利用配凑法，等式两边乘以x+y。④第四步，验证增根，确定结果。据已知条件验证增根。平时答题就要有分步意识。正如文科答题分点作答一样，理科答题要有分步作答的意识。记住，文科大题分点作答，理科大题分步作答。配凑法，将右侧常数项8移到左面去，然后等式两边同乘以x+y，则左边变成了（x+y）[（x+y）-8]，右边变成了（1/x+4/y）（x+y）=1+y/x+（4x）/y+4=5+y/x+（4x）/y≥5+2√4（基本不等式）≥9，则原式为（x+y）[（x+y）-8]≥9，问题导向求x+y，设x+y=t，换元t（t-8）≥9，t（t-8）-9≥0，t^2-8t-9≥0，（t-9）（t+1）≥0，t≤-1或t≥9，据已知x>0，y＞0，所以最小值=9。宏观思路一句话：用点斜式直线方程和公切线定义（斜率部分相等，截距部分相等）列出等式方程组，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，整理需解答的算式，代入消元与1的转换，灵活化简求值。
第一步求两函数各自切线。第二步通过公切线定义即斜率相等，截距相等，列出等式方程组。第三步化简，化简主要是二元变一元。第四步整理所求算式，代入二元变一元，加上活用相同的分子分母相除化1法求值。由题意得f（x）=lnx的导数为f'（x）=1/x,点P（x1，y1）即（x1，lnx1），切线方程为y-lnx1=1/x1（x-x1）→y=1/x1x+lnx1-1；同理Q（x2，y2），即（x2，e^x2），切线方程为y-e^x2=e^x2（x-x2）→y=e^x2+e^x2（1-x2）；化简到用含x2的式子代替x1，以达到消元x1，仅留x2一元的目的。①式1/x1=e^x2→x1=1/（e^x2）=e^-x2，两边取对数→lnx1=-x2③式；②式lnx1-1=e^x2（1-x2，将③式中的lnx1=-x2代入②式，①式中的x1=e^-x2代入②式得：-x2-1=1/x1（1-x2），→x1=（x2-1）/（x2+1）；④第四步，整理要求的算式，利用前面消元的结果，代入+化1通分，转化为一元求解。（x1-1）（x2+1）=[（x2-1）/（x2+1）-（x2+1）/（x2+1）]（x2+1）=x2-1-x2-1=-2。启示：问题逻辑+材料逻辑的呼应倾向，暗示提醒，选择简便算法最优路径，省时好解正确率高。1）问题逻辑：函数关于y轴上的点对称，数形结合，大脑里有图。f（x）+f（-x）=-2，两个函数y值相加=中间值对称点y值的2倍。2）问题逻辑：参数最值恒成立，通用先试简便算法参数分离，不行再分类讨论。①不等式两边同乘除一个式子，先判式子正负，再判不等式符号。②函数换元后新元也有取值范围，函数定义域如影随形别忘了。③若函数在取值范围内单调递减，自变量取最小值时函数值最大；参数分离恒成立>函数最大值，求函数最大值，代入自变量最小值得解。④讨论等号能不能取到？求函数最大值，代入自变量最小值无限接近2，得函数最大值无限接近-2，而取不到-2。故参数a能取到-2，故参数a≥-2。⑤强调计算。根据题目的具体情况，及时分解因式，或整体换元，或指幂对倒转化趋同，向同构方向转化计算，简单化简整理。2）宏观思路一句话：将转化思维用到极致；求二面角正弦值的最小值→转化为求二面角余弦值的最大值→转化为求两个面法向量夹角的余弦值的最大值→转化为数量积公式求法向量夹角余弦值的最大值→转化为与平面内的两条相交向量垂直积为零求法向量→转化为一个面的两条相交向量是常数，而另一个面的两条相交向量中的一条AQ是含入倍的向量→转化为利用已知角的正弦值做垂线，求出P点的坐标，利用已知条件Q为动点，通过向量PQ=入倍向量PC，得到含入倍的向量AQ，利用同一平面的两条相交向量AB与AQ求出第二条法向量。①建一个好算的系，问题材料瞻前顾后，就地建系比引入新轴建系往往更容易计算，建系前一般先证两两垂直得2分。②利用已知条件倒推，明白已知条件的指向作用。如该题给你正弦值的目的是为了求P点的坐标；给你动点Q，是为了利用向量PQ=入倍向量PC，根据PC→PQ→Q点坐标；利用二面角的正弦值求最小值。给你已知条件正弦值是3/5，可以先做垂线，根据距离得P点坐标，然后建系点线法向量计算。③该题取最值的方法，一个法向量是常数，另一个法向量是含入倍的法向量，将二面角转化为两个法向量的夹角，得到二面角cos⊙=cos两法向量夹角，然后利用数量积公式求法向量的夹角，得到含二次函数的计算式，依据余弦值最大，也就是正弦值最小的原理，先求余弦值的最大值，再求正弦值的最小值。高考要有应对计算量大的能力，相信自己的感觉，如解到二次函数时，相信二次函数求最值方向是对的，然后安心往下继续去做，先换元，再配方。突破计算量大的问题，一定要沉稳计算，不要急躁，平心静气，化整为零，各个击破，在思路清晰的前提下，按部就班地尝试，大胆尝试，不行，就换一种思维计算，从写规范，防误判，不跳步，不跨步开始，一步步慢慢来，终究会做对的。高考数学求最值的几种方式主要有：函数法、不等式法、配方法、换元法、判别式法以及导数法。函数法：通过构造函数模型，利用函数的性质（如单调性、极值等）求最值。不等式法：利用基本不等式（如均值不等式）进行变形和推导，求得最值。配方法：将二次函数或二次式通过配方转化为顶点式，直接读出最值。换元法：通过换元简化表达式，再利用其他方法求最值。判别式法：在方程有解的前提下，利用判别式求最值。导数法：对函数求导，找到导数为0的点（即极值点），再判断最值。（2）宏观思路一句话：这个题难度不大，先把f（x）＜e^x代入原式，再参数分离，求导，讨论单调性，求最值就可以了。关于取最值是该题的出发点与落脚点，即取g(x)这个原函数的最值，这是目的，其他的都是手段。从g(x)求导，到导数分子h(x)求导，到特殊值代入找隐零点x0，到代入隐零点求隐零点的函数值，到设隐零点函数∮（x）并求导，都是为了求g(x)这个原函数的最值。始终不忘本来目的，不要做着做着迷糊了，大方向始终清晰，每一步为了干啥达到什么目的要始终明白。既要明白宏观思路，又要专注当下步骤及细节突破。分母恒正，分子求导大于0，函数单调递增，代入定义域内最小值得函数最小值，定义域开区间最小值为1，取不到1，代入特殊值3/2到，小于0，再代入特殊值2，大于0，则函数存在隐零点x0，定义域内x0前后先减后增，则x0为最小值，这样就将最小值转化为求隐零点x0的值。隐零点x0代入原函数，得到一个化简的式子，即参数小于整体的这个式子就行。对得到的隐零点结果表达式所在函数定义域内求导，单增，则代入隐零点区间最小值到原函数，取最小值，得解。关键词：三步走（记步骤），套公式（记套路），脑有图（记。①既能将x0代入原函数，转换成隐零点x0的函数，也可以将x代入含x0的函数，扩展转换为普通的函数式。② g（x 0）是代入隐零点的函数值，它在隐零点定义域内函数∮（x）的范围内。③通过导数研究函数的单调性，即增减性。导0正负函增减。将导数看作是一种工具，用在求原函数的单调性上。④求导时，我们可以把整体求导转换为部分求导，比如分母>0时，我们就单独研究分子，分子的正负，就是整个导数的正负，通过部分代表整体。⑤我们要数形结合，大脑里有图，有图才能更好理解，在理解的基础上，大脑里一定要有图，有图，更形象，更直观，更易记，更深刻。通过导数研究函数，研究原函数是目的，求导是手段，是工具。
一阶导二阶导三阶导，最终是看一阶导，回归到一阶导，研究原函数。
整体到部分，整体求导到分子或分母部分求导，部分代表的是整体，最终还是回归到整体求导，研究原函数。
求导以后，若分母恒正，那就单纯看分子，研究分子部分求导，也就是研究整个函数求导，分子求导就代表原函数求导。
通过导数来研究原函数，一切的出发点和落脚点都要落实到原函数身上。这就是问题从哪里来的到哪里去，拨开迷雾，把握本质。不要被庞杂的表象所迷惑，要始终扭住那根线，始终把握源头，条分缕析，清楚通透。
不管是研究函数还是研究导数，大脑里要有图。若函数单调递增，我们要有单调递增的图。如果是单调递增，那函数最小值要代入定义域的最小值，最大值要代入定义域最大值，若图像从x轴下方过x轴，不是确定的显零点，那就有可能出现隐零点问题。如果图像先减后增，那有极小值，先增后减，那有极大值。要数形结合，大脑里有图，四通八达有回路，思路才更清晰，心里才更亮堂，答题才更顺手。
新定义题，首在翻译条件，明白术语含义，充分理解题意。1）宏观思路一句话：紧扣已知条件和新定义二阶等差数列的含义，计算过程运用等差数列通项公式及求和公式，计算出二阶等差数列的通项公式。①利用一阶等差数列，二阶等差数列的定义和已知条件，写出一阶等差数列的首项和公差。②写出一阶等差数列的通项公式，即相邻两项的差。附等差数列通项公式an=a 1+（n- 1）d。③写出二阶等差数列的通项公式。据二阶等差数列定义写出展开式，代入具体数列求值，再用等差数列求和公式化简。第一问，紧扣问题逻辑，求二阶等差数列{an}的通项公式，（虽然这里{an}没有标注阿拉伯数字括号（2）即{an（2）}，但是已经注明了二阶等差数列），也是属于二阶等差数列的，就像中国数字二和阿拉伯数字2，表意是一致的）。然后从材料逻辑出发，分析已知条件，a1=2，a2=6，二阶等差数列an（2）=2。通过二阶等差数列和一阶等差数列的定义，我们可以求出二阶等差数列的首项是a2-a1=6-2=4。转化二阶等差数列an项的2为公差。因为二阶等差数列通项an=一阶等差数列的an+1-an，也就是公差。知道了首项，知道了公差，套用等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d。然后根据二阶等差数列的定义，写出二阶等差数列的展开式，那就等于a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1），然后代入具体的数列1，2，3，…n求值（这里首项写a1，而不与前面举例an=an+1-an似的写a1=a2-a1。这样写，表述下标同前一项即转化为an=an-an-1，a1=a1-a0，比第一项下标同后一项更清楚首项第1项，这样两种表述，项数是相同的，前a1，最后一项是an=an-an-1，若第一项为a2-a1，则最后一项为an+1-an。高中数学是很灵活的，就像函数x=x+1代入函数解析式一样，就是把函数解析式中所有的的x替换为x+1，思维相通）。求解过程的计算是一个等差数列求和，结果=n^2+n。第一问所求{an}的通项公式，就这么求出来了。
这就是紧扣问题围绕问题求通项公式，从材料逻辑出发，分析a1、a2和二阶等差数列通项的已知条件等材料逻辑，运用等差数列通项公式和求和公式等知识逻辑。三大逻辑都用到了，围绕并紧扣问题逻辑，从材料逻辑出发，运用了知识逻辑。
2）宏观思路一句话：紧扣问题，数列{an}为二阶等差数列，写出数列{an}的表达式，是一个关于n的二次多项式；{bn}为一阶等比数列，根据等比数列的通项公式写出{bn}的表达式，问题导向写出{bnan}表达式；问题导向，从{an}是二阶等差数列二次多项式到证{nan}是三阶等差数列三次多项式，且通过计算得出（bnan）（3）是结果6r的常数列，即公比为1的等比数列，得证。①第一步，证明{ an}为二阶等差数列，并得出an是关于n的二次多项式的结论。第二步，写出bn是一阶等比数列，并依据所求问题整理{bnan}表达式。第三步证明{bnan}是三阶等比数列。从{an}是二阶等差数列二次多项式到证{nan}是三阶等差数列三次多项式，且通过计算得出（bnan）（3）是结果6r的常数列，即公比为1的等比数列，得证。第二问，紧扣并围绕问题逻辑，求{bnan}是三阶等比数列。
紧扣并围绕问题逻辑求{bnan}是三阶等比数列，这个要记住，这是中心，这是皇帝。然后看材料逻辑，已知an是二阶等差数列，bn是一阶等比数列。在这个基础上，求{bnan}是三阶等比数列。
那么我们就从材料逻辑出发，先证an是二阶等差数列，通过an是二阶等差数列的二次多项式，求出nan是三阶等差数列的三次多项式。因为通过前面证出来了an是二阶等差数列的2次多项式，那么na n在n的平方的基础上，乘了n，变成了n的三次方，即3次多项式。nan是三次多项式，设这个三次多项式是cn。通过cn的一阶等差数列，二阶等差数列，三阶等差数列。根据新定义各阶等差数列含义，代入通项的式子计算。
{nan}是三阶等差数列，然后求{bnan}是三阶等比数列，计算出三阶等差数列cn是6r的常数，根据等差数列的定义，三阶等差数列是常数，那么（bnan）（3）是常数，就证明三阶等比数列是一个常数，等比数列是常数列的公比为1，所以这个三阶数列{bnan}是三阶等比数列，它是公比为1的常数列。
这一问，围绕并紧扣问题逻辑，求{bnan}为三阶等比数列，从材料逻辑出发，an是二阶等差数列，bn是一阶等比数列。时刻不忘紧扣问题，从材料逻辑出发，运用知识逻辑，an是二次多项式，nan是三次多项式，那么设nan为cn，通过新定义计算cn（1）的一阶等差数列，cn（2）的二阶等差数列，cn（3）的三级等差数列，通过an+1-an的新定义解出cn（3）的数列是6r，得出了{bnan}是常数列，也就是公比为1的等比数列，得证。
3宏观思路一句话：紧扣已知条件与求解问题，从dn整理，到dn的前n项和Sn，再到Tn放缩。
①求dn通项公式。通过dn的已知条件，利用新定义一阶等差an=an+1-an同构化简，用待定系数法求解系数，得dn通项公式。②求Sn的数值。已知dn的前n项和为Sn，代入n=1，2，3，…… n，n+1，模拟过程，可知裂项相消，只剩一首一尾，化简计算出Sn的数值。③求Tn的数值，通过放缩得证结论。据已知条件Tn=√（sn- 1），然后放缩为<n/3^n，然后代入数列具体数写出{n/3^n}数值列表，通过错位相减及等比数列求和公式，计算结果，最后二次放缩得证。第3问，围绕并紧扣问题逻辑，求Tn<3/4，那么从材料逻辑出发，已知d=（-8n^2+18n-1）/9^n，d的关系式是个已知条件，又知道{dn}数列的前n项和是Sn，Tn又等于√（Sn-1），这么三个条件，一波三折，包含前后衔接的三个方面，那就三步走，文科总分总，理科三步走。
这三步，先求dn，然后求Sn，再求Tn。这个思路是清晰的，已知dn，又知dn的前n项和是Sn，还知Tn=√Sn-1，三个已知条件三步走，最终求Tn<3/4。
我们通过看材料逻辑，就像文科题的材料分层一样，分解步骤，明确思路。分三步走，先求dn，怎么求dn呢？给了一个dn的算式，根据这个算式利用一二阶等差数列新定义dn=前一阶的an+1-an进行同构和待定系数法求dn的通项公式，已知dn=（-8n^2+18n-1）/9^n，比葫芦画瓢进行同构，我们可以把它设定为an+1减an的形式，结构上一样，写完了以后，整理后面这个式子，得到9的n+1次方分之分子上类似一坨，再和前面比对一下，用待定系数法求通项公式嘛。后面是9的n+1次方分之上面一坨，前面是9的n次方分之上面类似一坨。我们把前面9的n次方分之上面一坨的分子分母同乘以9，就变成与后面相同的结构了，它们应该是相同的系数，通过相同系数，用待定系数法求出系数来了。这样也就求出了dn的通项公式。再重复一下做法，dn的通项公式求法是同构an+1-an的形式，然后用待定系数法来求，求完了之后，dn通项公式就出来了。
然后通过dn求Sn，代入1、2，3，…n，n+1，求dn的前项和。这里为什么要算到n+1，而不是算到n？就是为了和前面9的n+1次方下标保持一致。
我们发现在求Sn的时候，代入1，2，3，4…n+1到dn的通项中，来求前n项和，用到了裂项相消，除了第一项和最后一项保留，其余的全消了。为什么呢？你看看啊，前面是9的n+1次方分之上面一坨，减去9的n次方分之上面一坨，那么任两项之间前加后减，再加再减，中间相同的项都相消了，只剩一头一尾，即9的n+1次方分之上面一坨这一头，和减去n=1时的那一项这一尾。这样就求出Sn来了。
求出了Sn，再求Tn，Tn等于根号下sn- 1，通过一次放缩，后面式子分子+1，分子+1变大了，所以前面小于后面，即Tn<n/3^n。
这是一个等差×等比数列，求和可用错位相减。于是，我们下写一项，乘以分母的公比1/3，这样上下错位相减，错位相减计算过程，首尾不变，于是抄上首项1/3，尾项n/3^（n+1），中间部分分子都是1，即3的二次方分之一，3的三次方分之一，3的四次方分之一，以此类推到3的n次方分之一。这样从第一项到倒数第二项用等比数列求和，最后那一项用不上，照抄。计算结束后，要明白给谁算的结果，可门自己这个时候，算出来的是什么？是Tn，然后继续围绕问题，就像写作文反复扣题一样，二次放缩得证Tn<3/4。
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上面答案倒数第6行，答案笔下误，应为Cn（2）=Cn+1（1）-Cn（1），
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高三开学考数学19压轴题数列概率方差综合题核心思路，12234！一引理（平均数除以数列某常数与任选≥该常数的概率比较）：bm/ak>P（Ⅹ≥ak），平均数/某常数>从数列中任选≥该常数的概率。平均数/某常数：bm/ak，一次放缩：分子从ak算起起，ak前的消去，分子减少，分母不变；二次放缩：分子从最小项算起×项数，分子减少，分母不变。正好符合概率公式的定义，要求的符合要求的项数除以总数。①P（X）为从递增正项等差数列{an}的前m项中等可能选一个数的随机变量。②P（Z）为方差的分子数列，又称为“离均差平方和”数列{cn}的前m项中等可能选一个数的随机变量cm=（X-bm）^2。②b递增正项等差平均数列，a1/1，（a1+a2）/2，…（an-1+an）/n。即bn=（a1+a2+…+an）/n。③c为方差的分子数列，又称为“离均差平方和”数列。（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（an-bm）^2。即（X-bm）^2。由从数列中任选≥本数的概率乘以本数，<数列平均数→从数列中任选≥本数的概率，<数列平均数除以本数。P（Z≥4）→平均数/4→（c1+c2+…+cm）/m×1/4=（X-bm）^2/m×1/4。（X-bm）^2/m=D（X），该题D（X）=1。举一反三之三：
2024高考数学压轴19题第三问解析之二。
以终为始，通过结论倒推。
该题主要思路有两个：第一个思想是概率的分母已知，倒推分子是个什么数？第二个思路是运用归纳法，由个别到一般，总结需删去的（i，j）出现的规律。
当m=1时，删去哪些数？当m=2时，删去哪些数？当m=3时，删去哪些数？总结出m+1+C（m+1，2）+C（m，2）。
三个式子相加的元素来源和含义是什么？
拆分答案元素分析：
1）m+1。
m+1：同一行（根据数列4m+2的新定义，四项组成一个等差数列一行，多出两项单独一行，行数=m+1）。取相连的两个数的组合，能取到m+1种。即2024年10月6日所发公号文章第一种思路的取值范围，p=s的情况。
如m=1时，取第一行的（1，2）与第二行的（5，6），计m+1种；
m=2，取第一行的（1，2），第二行的（5，6），第三行的（9，10），计m+1种。
m=3，取第一行的（1，2），第二行的（5，6），第三行的（9，10），第四行的（13，14）。是m+1种。
所选的（i，j）数的规律，就是归纳法，找规律。
m+1就是指同一行的连续两数，有m+1个。这里所取的数与m的关系是m+1。
2）C（m+1，2）。
C（m+1，2）指所选（i，j）数，是跨行前奇后偶的情况。
设上面一行为4a+1，4a+2，下面的一行是4B+1，4B+2。因为（i<j），所以a<B≥1，符合这种情况的（i，j）数是C（m+1 ，2）。
如当m=1，共两行。
∵0≤a<B≤1，所以当a=0、B=1时，取4a+1=1（a=0），4B+2=6（B=1），即取（1，6）一种。即C（m+1，2）为C（2，2）=1种情况。
当m=2，共三行。
∵0≤a<B≤2，所以当a=0、B=1时，4a+1=1，4B+2=6；当a=0、B=2时，4a+1=1，4B+2=10；当a=1、B=2时，4a+1=5，4B+2=10。即取（1，6），（1，10），（5，10）三种，即C（m+1，2）为C（3，2）=3。
当m=3时，共四行。
∵0≤a<B≤3，当a=0、B=1时，4a+1=1，4B+2=6；当a=0、B=2时，4a+1=1，4B+2=10；当a=0、B=3时，4a+1=1，4B+2=14；当a=1、B=2时，4a+1=5，4B+2=10；当a=1、B=3时，4a+1=5，4B+2=14；当a=2、B=3时，4a+1=9，4B+2=14。即取（1，6），（1，10），（1，14），（5，10），（5，14），（9，14）6种，即C（m+1，2）为C（4，2）=6。
3）C（m，2）。
C（m，2）的情况是：总共m+1行，因为隔一行取，故抽象记为用得着的，即能用的是m行！
第一个数取4a+2，第二个数必须是隔一行取4B+1，（因为前面数小，后面数大，所以要取得这样的数，0≤a<B≤m且B≠1，m≥2，必须是隔一行，并且第一个数最小是2）隔一行的这一行去除以后，它就是m，然后取两个数组合起来。因为必须隔一行，所以m=1不可取，得从m≥2开始。
如当m=2，共三行，隔一行取，用得着的是m行。
∵0≤a<B≤m且m≥2，当a=0、B=2时，4a+2=2，4B+1=9。即取（2，9）共1种情况，即C（m，2）=C（2，2）=1。
如当m=3，共四行，隔一行取，用得着的是m行。
∵0≤a<B≤m且m≥2，当a=0、B=2时，4a+2=2，4B+1=9；当a=0、B=3时，4a+2=2，4B+1=13；当a=1、B=3时，4a+2=6，4B+1=13。即取（2，9），（2，13），（6，13）三种，即此时C（m，2）=C（3，2）=3。
综上所述，概率中的分子为：m+1+C（m+1，2）+C（m，2）。下一步，势如破竹，分子除分母，放缩大于1/8即可。
与2024年10月6日所发公号文章研究的该题比对分析，2024高考数学压轴19题第三问解析两种方法探究，求同找本质。
两相比较，从取值范围0≤p≤s≤m与0≤p<s≤m中思考。
①p=s所选（i，j）两数组合是同一行连续的两个数，这样的情况是m+1行的m+1种情况。
②p<s，先奇后偶，所选（i，j）两数组合是跨行的两个数，这样的情况是C（m+1，2），即从m+1行中选两个先奇后偶的数进行组合。
③p<s，先偶后奇，所选（i，j）两数组合是隔行的两个数，这样的情况是C（m，2），即从m行中选两个先偶后奇的数。隔行C（m，2）。
以上分类讨论三种情况，是符合条件的总数。分类用加法，三者相加，就是概率的分子。
打通两种方法的联系。
梳理提炼，1234提要分析。
一是概率比较知分母。
C（4m+2，2），m为行数，至少6数，为4数一行+2=6数。
二是概率比较找分子。
分类加法记算式：
m+1+C（m+1，2）+C（m，2）。
三是分子三类咋理解？
（i，j）同行：m+1种，
（i，j）跨行，先奇后偶：C（m+1，2）种。
（i，j）隔行，先偶后奇：C（m，2）种。
四是设值推数明范围。
设（i，j）两数同行m+1种，即4p+1，4p+2或4s+1，4s+2。
跨行奇偶C（m+1，2），即4p+1，4s+2。
隔行偶奇C（m，2），即4p+2，4s+1。
从取值范围0≤p≤s≤m与0≤p<s≤m中思考。
①p=s所选（i，j）两数组合是同一行连续的两个数，这样的情况是m+1行的m+1种情况。
②p<s，先奇后偶，所选（i，j）两数组合是跨行的两个数，这样的情况是C（m+1，2），即从m+1行中选两个先奇后偶的数进行组合。
③p<s，0≤p<s≤m，m≥2。先偶后奇，所选（i，j）两数组合是隔行的两个数，这样的情况是C（m，2），即从m行中选两个先偶后奇的数，本来是m+1行，为什么要算作m行，因为间隔的那一行不出现（i，j）的任何一数，也就是实际上出现（i，j）数的行数还是m行。故隔行C（m，2）。
附试卷答题卡参考答案：
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