《陈继裕记》，心路经历;
捕捉随笔，借鉴回忆。
用小学知识辅助解决高中奥数问题。
高三上开学考数学压轴19题。
复杂问题简单化，由浅入深，深入浅出，由具体到抽象。
①an数列：正向递增等差数列。特值代入尝试：1、2、3、4、5。
上面数列平均数bm=15/5=3计算，后面备用。
②bn数列：正向递增等差平均数数列。
承上an数列举例：1，1.5，2，2.5，3。（由1/1，（1+2）/2，（1+2+3）/3，（1+2+3+4）/4，（1+2+3+4+5）/5）。
③Cn数列：方差分子即“离均差平方和”数列。
承上an、bn数列举例：（1-3）^2，（2-3）^2，（3-3）^2，（4-3）^2，（5-3）^2
即：4，1，0，1，4。
上数列方差计算。
（1-3）^2+（2-3）^2+（3-3）^2+（4-3）^2+（5-3）^2=4+1+0+1+4=10。
上式D（X）=10/5=2。而该题第三问条件D（X）=1，不好取特殊值，就比葫芦画瓢，从原理本身理解。
④引理证明：bm/an≥P（X≥an）比值式，即：bm≥an*P（X≥an）乘积式。
P（X）（X≥3）=（5-3+1）/5=0.6，从具体到抽象，从具体数字到设字母表述数的代数式拓展通式：（m-k+1）/m（m为研究数列总数，k为选定数，分子为符合条件的数，分母为总数，比值为概率。
代入上面具体数值验证并深刻理解引理。
bm=3，an=3，P（X≥3），则比值式bm/an≥P（X≥3）=3/3>0.6，即乘积式bm≥an*P（X≥3），为3>3x0.6=1.8。
⑤P（Z≥4）在该题中表示为数列{cm}的前m项中等可能地选取一个数的随机变量；[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m=D（X）（其中bm=（a1+a2+…+am）/m为平均数）。
这一问，就像函数中的隐零点一样，不好找具体数值举例，我们就比葫芦画瓢。
根据引理bm/an≥P（X≥an），变形为P（X≥an）≤bm/an。
则P（Z≥4）≤bm/4就是P（Z≥4）≤（c1+c2+…+cm）/m•1/4（因为这里的P（Z）指的就是c数列的随机变量，bm代指的是c数列的平均数）=[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m•1/4（=D（X）•1/4=1/4。
这样，从问题结论出发，要证明P（|X-bm|≥2），结合前面给出并要用到的方差D（X）=1的已知条件，构造设定数列{ck}，记数列ck=（ak-bm）^2≥0，也回应了这个条件。
难点引理突破一句话：数列中≥某数随机变量的概率<平均数除以该数，如P（Z≥4）<bm/4，题中方差就是复合转化cm数列（c1+c2+…+cm）的平均数（c1+c2+…+cm）/m=[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m=D（X）=1。
微观细节突破啥？因为数列cm≥4中任取一数的随机变量P（Z≥4）<bm/4（原理），故将cm=（a数列任选一项随机变量X-bm）^2即（am-bm）^2≥4的数列中任选一项的随机变量Z，<bm/4（这里的bm/4指cm/m•1/4（平均数除以数列中≥某数即乘以该数倒数的等量变形）=（c1+c2+…+cm）/m•1/4=[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m•1/4=D（X）•1/4=1/4。（蓝色字体均为cm的表达式）。建议以上内容反复读数遍，琢磨琢磨。
通常思路三步走。
第一问，问题导向！求an的数列，符合bn是等于含an式子的正向递增数列。第一问三步走，设证答！第一是设，设an=n；第二是证，验证bn+1-bn等于正数定值成立；第三是答，回扣问题。
第二问，三步走，分分总。第一步拆分，求证an数列写出P（X≥ak）的值。an数列可以通过前面bn的递增数列导出an+1-an等于正数定值，得出an是正向递增数列，然后通过符合条件的项数除以总数=概率，求出P（X≥ak）的值。特值试验，1~5个数中，P（X≥2），为2到5中的4个数÷5=4/5，即（5-2+1）/5，由特殊到一般总结为P（X≥ak）=（m-k+1）/m，总数-前面临界数+该相等的本身这个数，即为符合条件的数。
第二步拆分，计算bm/ak的值。拆解扩展，求同（（m-k+1）/m）去异消去分母ak，转化化简用放缩。展开整理bm/ak，通过两步放缩，一箭双雕，既可以求出bm /ak的值，又与P（X≥ak）的值紧密联系与比较。
关于两步放缩，分母前后都是相同的，只看分子。第一步是所有项之和≥从任意项ak加到最后am，当ak=1时取等。第二步是从任意项ak加到最后am≥最小项ak×符合条件的项数（m-k+1），当k=m时取等。在这两个放缩过程中，k=1与k=m不能同时取等。故只能是大于号。即bm/ak>P（X≥ak）。该问解答三步走，分分总，分步计算总结比较。
第三问三步走，证设转。第一步证引理，第二步设数列，第三转原理。
证设转！
先证原理。把前问的结论作为条件和原理使用，结合后面问题，转化应用。
证引理的方法同前面一样，分分总。第一步。通过符合条件的项数除以总项数等于概率，得出一个数值。第二步，通过展开所给的式子进行两步放缩。联系前面第一步所解的数值进行转化比较，得证。
然后设符合条件的数列。从结论出发，要证明P（|X-bm|≥2），结合前面给出并要用到的方差D（X）=1的已知条件，构造设定数列{ck}，记数列ck=（ak-bm）^2≥0。从中c1，c2…cm中，等可能地选择一个数，记为随机变量Z，则Z=（X-bm）^2，且P（Z≥4），也就是开根号等于P（|X-bm|≥2）。
第三步，应用引理☆☆☆c•P（X≥c）≤bm打通已知求解的堵点，两下合拢，c•P（X≥c）≤bm，即P（X≥c）≤bm/c计算求证结论：P（Z≥4）≤（c1+c2+…+cm）/4m=[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m•1/4（前记的数列ck=（ak-bm）^2≥0）=D（X）•1/4=1/4。
第三问，证设转三步走，得解。
注意，元素分解后，概念要清晰。X是an的随机变量，bm是平均数，（X-bm）^2/m就是方差，同时要明白，an 、bn、cn三者之间的关系。bn=（a1+a2+…+an）/n，cn=（an-bm）^2。
总结一下该题的思路：知求原理两边凑。从前往后推，正推已知标全，从后往前推，倒推排定等转。思路清晰三步走，第一问设证答。第二问分分总。第三问证设转。
解答数学大题首先要审清题意，注意元素拆解及含义要清晰，前后每一步的推理要明白，每一小步都是通透的，不能卡壳。若有思路不通，步骤推理不理解，哪里不通攻哪里，直到完全明白为止。
该题的元素：①数列an，bn，cn三者之间的关系。bn=（a1+a2+…+an）/n，cn=（an-bm）^2；②该题中m为数列截取研究的最后1项；③k为要研究的任选1项；④数列{bn}是公差为d的等差数列；⑤数列{an}是公差为2d的等差数列；⑥数列{cm}是（ak-bm）^2的数列；⑦数列an与数列bn的关系是bn=（a1+a2+…+an）/n，b1=a1/1=a1；P为概率；P（X）在该题中表示为数列{an}的前m项中等可能地选取一个数的随机变量；P（Z≥4）在该题中表示为数列{cm}的前m项中等可能地选取一个数的随机变量；[（a1-bm）^2+（a2-bm）^2+…+（am-bm）^2]/m=D（X）（其中bm=（a1+a2+…+am）/m为平均数）。
由此可见，代入特殊值试一试，然后由数字到代数式，赋予不同字母不同含义。用小学的知识辅助解决高中奥数问题，由个别到一般，由具体到抽象，由浅入深，将复杂问题简单化，由易到难，大道至简。
不好代入特殊值的，就根据原理比葫芦画瓢，人家怎么说的我们就怎么办。
学习体会：一天做十道题全对意义不大，一天做一道难题做会了，有所收获。
学习要逢山开路、遇河搭桥，学会探索未知、创新创造。探索未知，创新创造是艰难而痛苦的，但是会获得成长。不要停留在舒适区，要进入学习区。
学习就是要经历千难万苦，知难而进，攻坚克难，披荆斩棘，劈波斩浪，踏破荆棘成坦途。
