画图法解应用题究竟有没有必要专门花时间学？(文章很长，请耐心读完)
教育
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2024-09-29 09:30
福建
风云老师精选文章：
1，高考中涉及新概念新定义的压轴题会对中小学数学学习提出哪些考验
2，小学数学究竟该学什么？培优的大方向究竟在哪里？
3，职业数学家出的一份小学数学试卷(不断更新中，已更新至21题)
4，中学数学究竟该学什么？中学数学培优的大方向在哪里？
前几天看到有支持小学奥数的自媒体，拿画图法解应用题作为例子，认为学画图法非常有益，对画图法解应用题非常推崇，甚至建议大人：“别总结什么快捷公式给他们，就带着他们一点点画图分析，让他们多感受这种“难度经过图示过程变得简单”的过程。经过几年的漫漫熏陶，才有可能到高年级养成良好的分析习惯。”
另外我注意到市面上有一套中英文版《新加坡数学建模》在数学鸡娃圈也非常非常流行，很多大v推荐！![]()
这套书的最大卖点和主要内容就是用画图法解较复杂的应用题。下面是这套书用画图法解题的例子：
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要想回答这个问题，需要了解一些数学历史，其实在数学史上就有用画图法表示各种代数和数量关系的事情，做这个事情的正是伟大的伊斯兰数学家，代数学之父——花剌子米。![]()
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今天的我们看来，这两个等式太简单了，无非就是用到去括号法则，合并同类型，最多再加上下面这些非常非常简单的运算法则：![]()
但是一千年前的花剌子米，他并不懂得总结这些简单的运算法则，他更不懂什么去括号法则，也不知道用字母或者其他符号表示已知数未知数，他甚至连+-符号，等号，括号都不会用。所以，前面这两个等式，在花剌子米的《代数学》中，是用纯文字描述的：![]()
既然没有代数符号的语言，也不懂得去括号法则，那么花剌子米是用什么方法让读者相信这两个等式是对的呢？一起看看花剌子米是怎么用画图法证明这两个等式的，过程非常繁琐：
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今天在我们看来非常简单的等式，花剌子米却要用画图法如此费劲的解说，因为花剌子米所处的是代数的拓荒时代，没有任何数学符号可用，他们只能用这种最原始的说理方式。所以在花剌子米那个时代，数学是极少数人才有资格学习的一门非常艰深繁琐非常晦涩难懂的学问呢。普通人看看下面这些绕口的句子估计就直接晕了：
但现在不一样了，所有人都要接受数学教育，数学成了普及教育，每个人都要学9年义务教育阶段的数学，今天的一个初中毕业生，如果他数学学的很好，那么他穿越到花剌子米的时代，他就是那个时代最顶尖的数学家。为什么现代的数学教育可以面向所有人而且会如此高效呢？因为现代的数学教育一开始就让孩子学习最先进的计数方法和计算方法——以印度阿拉伯数字为数码的现代十进位值制和竖式计算，一开始就教孩子使用+-号等号，括号。后面到了四年级又会教孩子五大运算定律以及各种运算法则，五年级教孩子简单的代数和简易方程。有了这些基本的语言数学变得简单多了，简洁多了。所以现在的孩子学数学比一千年前的人们学数学轻松多了。现在的初中生学一元二次方程只需学一种类型的方程，用一种方法配方法通杀。但是在花剌子米的时代，方程系数必须是正的，所以花剌子米的《代数学》中将一元二次方程分成五六种类型，分门别类地求解，其中三种方程的解法甚至还需要用到几何论证：![]()
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如果你现在还按照以前的这种方式学一元二次方程，那简直就是找死！
初等数学的历史，从古埃及纸草书，古巴比伦泥板算起，到一两百年前定型，有整整三千年的历史。而今天中小学数学教育的目的，就是要将这三千年的初等数学，沉淀压缩成最精华的内容，传授给中小学生。
所以，搞中小学数学教育一定要懂的区分，哪些内容是数学体系精华的内容，而哪些内容仅仅是数学历史的专题。比如以印度阿拉伯数字为数码的现代十进位值制和竖式计算才是最精华的内容，历史上的那些罗马数字埃及数字，那些稀奇古怪的加减乘除法，仅仅是历史专题，根本不值得专门学习，只需简单了解即可。简单了解这些历史专题之后，学生就能体会到现代十进位值制和竖式计算的巨大优越性。再比如解一元二次方程用现代的代数符号语言用配方法才是最通用最高效的解法，花剌子米的《代数学》中分门别类用三种不同的几何方法论证的做法仅仅是历史专题，根本不值得专门学习，只需简单了解即可，简单了解这些历史专题之后，学生就能体会到代数符号语言和配方法的巨大优势。同样的道理，解应用题，古代人使用的试错法，鸡兔同笼的抬腿法，这些也都是历史专题内容，根本不必要专门学，现代的学生学解应用题，简单的，直接用加减乘除算术方法一两步搞定，复杂点的直接上方程就好了。
画图法，同样也是一种数学历史专题，在那些没有数学符号的年代，人们只能用画图的方法笨拙地表达各种代数和数量关系。其实画图法的底层逻辑，本质上就是我们今天非常熟悉的五大运算定律，各种运算法则，等式两边同时加减乘除等式不变法则，未知量符号化，去括号法则，等等
这些底层逻辑，绝大部分的内容小学生都熟悉了，去括号法则初一也学了。既然今天的学生都已经有这些底层逻辑了，再去专门学画图法就非常非常低效了。像那个自媒体所宣称的要“几年的漫漫熏陶”，或者像《新加坡数学建模》那样拿几本书专门训练画图法解应用题，这都是非常愚蠢的。如果你的孩子按照这个自媒体的建议，或者按照《新加坡数学建模》这套书的篇幅来训练画图法的话，还有一个严重的弊端，等到孩子正式接触方程方法的时候，他很有可能会抗拒或抵触抽象的方程方法，因为他太熟悉画图法这种直观形象的方法解应用题，这已经是他的思维“舒适区”了。还有人认为训练画图法解应用题能养成画图习惯？你发现没有，有很多中小学数学老师都会建议学生：“不会做的题目先画个图”。这说明用画图直观地表达数量关系一直都是许多人的思维“舒适区”，是他们做数学题的精神安慰剂。但是很多非几何的数学题，画图是没用的，画图只会浪费时间，不会做是因为你没掌握好相关的数学知识，与画不画图无关的！从文字到符号，从直观几何到抽象代数，从实数到复数，从辅助线几何到三角几何解析几何向量几何，从平面几何到立体几何，数学学习和进步就是一个不断突破自己思维“舒适区”的过程。老是赖在自己思维“舒适区”的学生，是学不好数学的。
这个问题，其实非常考验一个数学老师对中小学数学体系框架的整体把握。你注意到没有小学教材中根本没有专门讲画图法解应用题，但是运算定律，运算法则，代数和简易方程却要专门花章节学，到了初一还要专门学一元一次方程，学移项，合并同类项，学去括号法则，学二元一次方程组，三元一次方程组。小学阶段你可能未必看得懂。但是到了初中，你就会发现，用方程法解应用题，比应用题本身重要多了，而代数和方程本身又比方程法解应用题重要多了！因为再往后，到初二初三到高中，方程和代数成了最核心的根基，最基本的语言了，数学学习一天都离不开代数和方程！至于那些可以用方程法秒杀的应用题，已经渐渐隐退了，扬弃了。至于什么抬腿法解应用题，画图法解应用题，那更是消失的无影无踪了。
我发现很多小学数学老师，尤其是很青睐小学奥数的那些培训老师，对中小学数学体系的框架，都缺乏一个基本的认识，没有半点大局眼光，因此往往会在数学题海中迷失方向，看到字谜题殊不知这些其实都只是中小学数学体系中的犄角旮旯的东西做数学教育，哪怕是做小学数学教育，也非常考验你对中小学数学体系框架的整体把握，而这种整体把握是需要你有数学专业背景的，也需要对初等数学历史发展有个基本的了解。![]()
著名数学历史学家卡茨写的《数学史介绍》是数学史的国际通用教材，有将近1000页。这么厚的专著你一定以为是专门写给数学史专业的学生读的吧？错了，作者在前言中就开宗明义，这本书首先是写给数学老师的，包括中小学数学老师和大学数学老师：![]()
建了一个读者群，仅限《中小学数学要义》和《数学学习没有捷径》读者入群，关于这两本书有任何问题都可以在群里交流，已经在其他读者群的读者就不要重复进群了，群满200之后请加微信fengyun_19等待拉群
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1，在没有培训的时代，该如何规划中小学数学学习呢？该如何规避一些典型误区？
2，学数学自学提前学，该选择什么样的教材，该选择什么样的课外书？？？
3，数学学习方法论
4，究竟什么才是数学学习的最重要的基本功？？？？？
5，写给数学牛蛙的一些建议
6，为什么你的孩子从小就学不好数学？写给数学差生和家长的一些建议。
7，小学的加减乘除计算训练对中考高考究竟有多少影响？
8，小学数学的几何这一块究竟该怎么学，风云老师为你划重点和核心！
9，小学数学中有哪些内容其实并不重要？
因为这九篇文章的主要内容已经融入到新书《数学学习没有捷径》中了，想读这些付费文章直接买书看就好了。关于这本新书的常见问题和试读，请看文章《《数学学习没有捷径》试读和读者问答》
