我是奥数基础速成的作者钱老师，论坛上很多家长都关心幼儿教育的问题，特别是学前的，还没到上小学年龄的小朋友，都很鸡血，补这个、补那个。大家提出了一个问题，到底小朋友的数学该怎样启蒙？加减法应该怎么学？大家的问题很多，在这里我们做一个统一的讲座。
首先要明白，加减法什么时候可以学？很多人说幼儿园开始，小班、中班。这个实际上和小孩的大脑发育有关系的，不同的孩子发育曲线不一样，对数学的敏感程度也不一样。所以这个问题其实没有固定的答案，不能说小孩到了三岁或者四岁就一定可以开始学了，这个不是按照年龄来划分的。有些小孩三岁就可以，有些小孩到四岁甚至五岁才可以，没有固定标准。所以不要看到人家会算10以内加减了，就想为什么我家连数数都不能。这些是不必要的焦虑。小孩发育是有不一样的曲线的。但是基本上，到六岁一般都能理解加减的基本概念，都可以开始教。再早呢，究竟三岁四岁可以不可以？或者更早可以不可以？是没有固定标准的。
虽然什么时候开始没有固定的标准，但是怎么开始，还是有一套经过总结的经验的。怎么启蒙，怎么开始呢？可以从数数开始。简单地讲，是从数数开始，确切地讲是从对实物和数对应的认识开始。这是第一阶段开始的关键，其实数数这个事情，很小就可以开始了，可能小班，可能中班。在陪小朋友玩的过程中，我们可以借助一些物品，把数的概念慢慢引入。这是第一件可以做的事情。
我家小朋友是怎么开始引入的？就是给他一些小东西，比如小硬币，拿一个报一个数字，拿第二个报二，拿第三个报三。这样就把数字和实物对应起来。先让他过一遍，然后再来一遍，还是报一、报二、报三、报四，这样多来几次呢，他就对实物和数的对应有一个理解。除了用硬币，还可以用小的沙糖桔，一个个放到碗里，这也是一种方法。多用几种不同的东西后，他就会理解数字和实物的对应关系。
从对实物和数的对应有概念，到后面可以学加减法，当中还是有条鸿沟的。这条沟能不能跨过去，需要小孩明白两个关键概念。一个是多和少的概念，比如说，是两个多还是三个多的概念，这个很重要，是比较上的一个区分度，如果能掌握，那么第一个概念就有了。另一个概念是增加和减少，这不是一个静态的概念，这是个变化的概念。从少变到多，是增加的过程，从多变成少，是减少的过程。
这两个是首先要知道的概念，有了这两个概念，家长就可以开始教加减法了，小朋友学起来也会很快。如果对这两个概念不清楚，那么首先要把他们搞懂。这是从实物和数对应，跨越到学习加减法的关键所在。
另外，每个小朋友的接受能力是不一样的，这不是笨和聪明的问题，有的小朋友只是还没有建立这些概念。其实对概念的不理解到理解，是需要一个不断重复的过程的。幼儿数学，最关键的地方，就是要重复，从重复中让他找到规律，然后逐步理解领悟。无论是数数还是多少的比较，还是加减，重复对概念的建立都很有帮助，有些概念成人说一次就能理解，小孩子就可能需要重复10次20次，才能把概念巩固下来。所以大家不要觉得自己小孩没有数学天赋，有些家长说，我教了10遍，他还没有搞懂。这个时候，你心态要好，你要有耐心。所以幼儿数学教学和小学生甚至大人的教学，是天差地别的。需要更多的耐心，才能看到小朋友有一点点的进步，所以一定要有好的心态。
在对数的认识方面，一般数数的时候，很多家长就教到数10，其实10这个数字，是数数中的一个分水岭，再往下数，那么他对数的概念就会有不一样的认识。因为我们是十进制，就是到了10以后，不是有别的数字来数第11个数，而是保留住这个10，然后又从1、2、3、4、5……就是刚刚数过的数字开始，所以小朋友领悟到，数字增大的过程中，10是一个阶段性的标志。保留在这个地方，就能区分比10小和比10大的数字，这是天然的位值概念。
小朋友知道了10是一条分界线，10以后它又从1、2、3开始往上数，数到9，也就是19以后变20了，到了20再往上数，它又把“20”前面的2保持不变，后面的数字又从1、2、3开始往上增加，这个从小到大的排列顺序，就让小朋友自然建立了一个大小的关系，在他的脑海里形成一个数轴的概念。数轴的概念不用强行灌输，在数数的过程中，他自然就有这样一个概念。
我们在帮助小孩建立数和数之间相互关系的时候，往往通过实物来引导。比如用小硬币，2个硬币加上2个硬币，就是数一数4个硬币。也有不少家长，通过扳手指来教数和实物的对应关系。在初级阶段，这个方法挺不错的。但是有的小朋友用惯了扳手指的方法，导致每次计算都要找到实物对应才能计算。这个习惯就不大好。那么要不要教小孩扳手指头？在过渡阶段，扳手指的方法是可以用的，不是不能用，特别是在启蒙特别小的小孩的时候，扳手指和借助外面的实物，是一样的作用，而且扳手指更方便。但是根据我个人的理解，我后来实践中就没有用扳手指的方法，因为这会造成小朋友对实物的依赖，一旦形成，改起来就很难。所以我们当时是这样的，一旦小朋友有扳手指的倾向，我就对他说，扳手指不是百试百灵的，因为数字一大，手指头脚趾头加起来才20个，你没法扳的。然后他就心算了，脑子里有数字图的嘛，还是容易的。如果很早就教小朋友加减法，那么容易造成过渡期过长。如果晚一点教呢，过渡期反而短一点，更容易跳过。最好不要有这个阶段。
一旦理解了数和数之间的顺序关系，建立了大小、多少和加减的概念，小朋友就自己能推理出来几加几等于几。很多小朋友加减计算都没有问题，就是速度慢，可能要数一数、想一想。有人说多练练就快了，这个当然也可以。那么20以内加减的速度和准确性，究竟怎么提高？这里有两个思路，一个是反复练，错了纠正他，就这样通过反复练习、反复纠正，来提高速度和准确性。但也有家长说遇到瓶颈，不管怎么练，就是慢啊。我个人是不提倡这样做的，我提倡20以内加减法表背下来。自己做一张加减法表，把它背下来就可以了。乘法口诀表有人背错吗？没有的啊。你就把它当作一个和乘法口诀类似的、机械的记忆和反射途径，把它背下来。当然也不是机械地背，达到看到数字就想到答案的效果，就可以了，当中跳过用手、用脑的过程。这样速度和准确率肯定会提高。
再给大家介绍一个小的工具，除了把加法表背出来，还可以做或者买一种闪卡，flash card。闪卡就是题干比如“3+4=”在正面，背面就写答案“7”。这个卡有什么好处？如果小朋友在3秒钟之内没有反应过来，你就把闪卡翻过来给他看，让他记住。一次记不住，多来几次，他就记住答案了。这个就是利用闪卡来帮助记忆。
加减法我不提倡分多少以内，多少以内，如果能教，就一路教上去。大数比如100、1000、10000，尽早帮小朋友搭建数的框架，会对小孩的数学学习更有帮助，大数的概念怎么建立？还是从数数开始，因为一路数上去，从十几，二十几，一直到九十几。接下去就引入“百”的概念。100打头的“1”是固定的，然后后面两位又开始像1、2、3、4…直到100以内这样再数上去，数到199就变成200。这样慢慢往上增加的过程，就让小孩有个感觉，100的这个“1”可以有10个10这么多。这种不断往上提的概念，让他想到，数到999以后，又会变成什么呢？在999再往上数的时候，就可以引入一个“千”的概念。这个类比思维可以帮助小朋友建立个、十、百、千、万、十万、百万、千万的大数概念。
所以，第一个阶段如果是20以内加减法，那么第二个阶段，就是100、甚至100以上的加减法。从一般两位数到大数突破，100是很关键的。从9到10是个位到十位，从99到100呢，是十位到百位，这样会激发起小朋友的联想，是不是有更多的从百到千，千到万这样更大的数位的叫法。你教的时候，小朋友自然就更容易接受了。
20以内加减，基本可以背出来，可以练到反射。那么从20以内到100，还是有条小小的沟的，这条沟怎么去跨越呢？这里有个位置对齐的关键点，一般我们都用竖式。竖式最关键就是个位和个位对齐，十位和十位对齐。不同的位是不能错开相加减的。个位只能和个位相加减，十位只能和十位相加减。这样不进位、不退位的加减就搞定了，能够理解到这里就OK了。
接下去一个小步，就是加法进位和减法退位。实际上，在20以内，比如说7+7=14的时候，小朋友就已经用到进位的概念了，但是还没有想到把进位和上面的十位一起加起来，你在教100以内加法的时候，应该让小朋友意识到十位和十位相加，这个进上去的“1”应该和十位相加，只要能够理解这个关键点，这个进位加就完成了。减法也是一样的，小数减大数不够减，20以内也是有对应关系。4-7不够，14-7是7，不够减的时候去问十位借1，借1当10的概念，这是退位减的关键，如果小朋友能够理解借位这个退位减的概念，那么退位减这步骤也就过去了。实际上小小的鸿沟，也可以跨过去，因为和之前20以内非常相关。那是为什么在幼儿园学会20以内，小学数学就比较容易的道理。
训练100以内加减和20以内加减不一样，20以内训练的要求，因为是背出来的，肯定是在1、2秒之内就反应出来。但是100以内，如果遇到进退位的时候，还是有个计算的问题。那么100以内加减混合，什么标准比较合理呢？首先准确度高于速度，要求准确率在97%以上。在准确度保障下再要求速度，最好到99%的准确率下再要求速度。100以内加减法，理想的速度是100题在5分钟之内。当然小孩小的时候，只要准确率到了，速度慢慢练。小朋友的反应、握笔写字的速度，这些都不快，所以不能强求，但是准确性是第一位的。
如果100以内加减练好了，那么100以上的加减就不要停下来，而是应该继续往下教。因为只差一点点就可以把100以上的加减全部学会了。100以上的加减法，相比100以内加减法，也是有一条小小的鸿沟，这条沟在哪里呢？首先你要知道位值的概念，还是以前讲过的个位加个位，十位加十位，百位加百位，位和位对齐，不同位之间不可以混淆，这个关键点是要搞清楚的。第二就是，在大数加减里将会出现连续进位、连续退位的情况。连续进位比较容易理解，连续退位呢，许多小朋友容易搞错。
我在星球里分享过一个练习退位减法的EXCEL小工具，大家可以把那个工具下载下来去练习，这个练会了，那么大数的加减法也就过关了。大数加减怎么训练呢？可以在一个阶段里相对密集地训练一段时间，比如每天做50题。但并不需要长期天天练，可能练上两个星期，速度上去了，准确率也没有下降，那么就可以了。
加减法是计算的基础，如果加减法搞定了，后面就有几个事情可以去做，第一个可以推导乘法口诀，把乘法口诀背下来，然后教乘除法。我也写了专门的教材来教乘除法。有人问我为什么不开一个加减法班呢？因为加减法的学习，是个漫长的过程，需要更多的耐心来慢慢引导，不是花一个小时，两个小时讲课，小朋友就一定能够接受里面概念。所以幼儿加减法的学习，不适合通过上课解决，而是需要家长平时在生活中，慢慢帮助小朋友跨过一条一条的小沟，逐渐地学会加减法，这个过程是比较漫长的。
学完加减法后第二个发展方向，就是把数的概念扩充一下，因为数不光有正数，还有负数。数轴不光有零右面的部分，还有零左面的部分。另外还有一个分割的概念，就是比如1是不是可以平均分成10份？里面的每一份是不是还可以再平均分成10份？这里就可以引入一个小数的概念。平均分的概念有了，除法的概念也讲了，那么两者结合起来就可以讲分数。所以这些计算的概念都是环环相扣的。
另外，家长需要做一些规划，现在竞赛的准备提前了，如果要系统学习数学，计算的功底就一定要扎实。最好在1年级，最晚2年级把四则运算学会。所谓学会，就是不要求速度，但要准确地算出来，这是数学进一步往下学习的保障和要求。我自己儿子是在大班结束，升小学之前的那个暑假，就把四则运算全部学会的。这个其实不难，我们当时小班中班开始数数的，大班开始20以内加减，后来在小学开学前的那个暑假就把四则运算掌握了。我个人觉得学习计算，效率最高的时间应该是大班，而不是再往前，再往前可能效率不够。
有人问外面的幼儿思维班，要不要去参加？我个人是持否定意见的，不需要去参加。这些班都是花很多精力，教一些你不教，小孩过两年自己也会的东西。这些东西只要以后小朋友概念跟上，理解能力跟上，他自己就会懂的，所以没有必要去教。而且这些内容对将来的数学学习也没有很大的帮助，这些思维学不学，都不会影响今后的数学水平。但是提前学会四则运算，却是对将来的数学学习有好处的。因为这样，小朋友可以尽早系统地开始学习数学。到了初中，是否提前学习的小朋友之间，差距非常大。因为校内的代数系统，是到小学四、五年级才开始讲简易方程，才开始代数概念的引入，到初中就全部是代数的内容了。所以代数概念是在小学一二年级引入，还是到四五年级才开始学习，到后面熟练度差异会非常大。到初中大家就会发现，小学提早进入代数系统，对初中代数的熟练运用非常有帮助。所以现在一般的普娃，大家都在比拼提前量。
（互动问答见第二条的文章：幼儿数学加减启蒙互动问答）
讲座基本讲完了，大家可以关注我的微信公众号奥数基础速成，就是你教小孩现在是处于什么阶段，接下去应该做什么事情，要有个合理的规划，否则的话就是盲目教育，做很多没有用的事情。就比如现在所谓的幼儿思维训练，搞得如火如荼，实际上都是没有必要的。
希望大家从我这里学到一些有用的东西，在数学启蒙方面，特别在加减、计算这块能够有所收获。
谢谢，下次再见。
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