从遗嘱分羊问题到埃及分数和不定方程

文摘教育 2024-02-15 13:16 上海

趣味数学故事里有这样一个题：一位老人得了重病,临终前, 他把三个儿子叫到床前, 立下一份遗嘱, 规定：三个儿子可以分掉他的17只羊；老大应得总数的2分之1；老二应得总数的3分之1；老三应得总数的9分之1。他们不能把羊杀掉或者卖掉, 怎样分配才能是三个儿子都满意? 想一想,三个儿子各应分得几只羊?

这个数学趣味故事的后半段（答案）是这样的，好心的邻居借给他们1只羊。这样，一共18只羊，按照遗嘱就可以进行分配了：老大分得18只的二分之一，也就是9只；老二分得18只的三分之一，也就是6只；老三分得18只的九分之一，也就是2只，这样剩下18-9-6-2=1只，然后把这只剩下的羊还给邻居，就完成了遗嘱分配。

但是这个故事的数据未必只能是有17只羊，分配的比例也不一定要用1/2、1/3和1/9。1/2+1/3+1/9=17/18，而17和18只差1，所以只要向邻居借一只羊就可以完成遗嘱分配。17/18+1/18=1，本质上这题的数据上的巧合只是满足了等式1/2+1/3+1/9+1/18=1，类似1/2，1/3，1/9, 1/18之类的分子为1，分母为正整数的真分数就叫做埃及分数。比如我们可以找到另外一组4个类似的埃及分数的和为1, 1/2+1/4+1/6+1/12=1，那么这题的数据就可以换为总共要分11只羊，而分配比例是1/2，1/4和1/6，依然只要问邻居借1只羊就可以解决遗嘱分配问题。

大家是否好奇以上两组遗嘱分羊的数据是怎么找到的？因为在传统的小学奥数里有一个分数拆分的知识点，比如1=1/2+1/2，而对其中的一个1/2再进行埃及分数拆分，1/2=1*(1+2)/(2*(1+2))=1/(2*(1+2))+2/(2*(1+2))=1/6+1/3，分子分母同时乘以2的两个因数1和2的和，再拆分为两个同分母的分数的和，再分子分母约分后得到两个埃及分数之和，这样就得到1/2+1/3+1/6=1, 如果继续对1/6进行拆分，1/6=1/(6*(1+2))+2/(6*(1+2))=1/18+1/9, 所以就得到了第一组遗嘱分羊题的数据1/2+1/3+1/9+1/18=1。如果在1/2+1/3+1/6=1的基础上，我们继续把1/3拆成两个埃及分数之和就可以得到1/3=1/12+1/4，于是我们就得到了遗嘱分羊的第二组数据1/2+1/4+1/6+1/12=1。

古埃及人也用多个不同的埃及分数的和表示一个真分数，比如2/5=1/3+1/15, 而这种拆分有时候不是唯一的，进一步确认埃及分数的拆分的完整解，需要用到奥数的另外一个知识点，解不定方程。比如解不定方程2/5=1/a+1/b , (其中a，b是正整数）。

对于不定方程2/5=1/a+1/b，只要变形为合适的形式(2a-5)(2b-5)=25, 要么2a-5=1,2b-5=25，要么2a-5=5, 2b-5=5，或者是2a-5=25, 2b-5=1，这样对应于埃及分数的拆分确实只有1/3+1/15这种拆法。

（时间关系，今天就写到这里，希望对大家的学习提高有帮助。关注下方钱老师的公众号“奥数基础速成”。）

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