比失明更糟的是，看得见却没有远见。
——海伦·凯勒
原文来源：https://terrytao.wordpress.com/career-advice/
作者：陶哲轩
译者：戴童
01
享受你的工作
简而言之，先生，钻研你最爱的事。
——莎士比亚，《驯悍记》
想在数学领域有所建树，需要付出艰辛的努力。如果你不喜欢自己所做的事，就不能从自己的工作中获得满足感，也就很难持续投入成功所需的巨大精力。
总的来说，选择自己喜欢的数学领域，比仅仅因为某个领域很流行就一头扎进去，要好得多。同理，一个人应当将工作的满足感建立在现实成就之上，比如推动自己所在专业领域的知识进步、加深对某个领域的理解并成功地将自己的理解传达给他人。
相反，像戏剧性地解决了一个重大的未解问题，或者获得同行的广泛认可，都属于少见的运气，很难带来满足感。名利双收的“白日梦”能让人沉醉一时，却撑不起推动数学发展所必须的耐心和长期努力。抱有不切实际的高期望，往往只会带来挫败感。
热情是可以“传染”的。你应该参加讲座和会议，一个原因就是帮助自己了解相关领域（或相近领域）正在发生哪些激动人心的大事，不断仰望自己所在的领域，甚至整个数学领域的更高目标。一场精彩的讲座能不断激发你对数学的兴趣和创造力。
02
前瞻思考
比失明更糟的是，看得见却没有远见。
——海伦·凯勒
人们很容易陷入工作的细节中，忘记了所做之事的初衷。因此，我们要不时地停下来，回想一下自己为何追求“那个”目标，这是很有好处的。
举个例子，如果你出于某种原因正在尝试证明一个引理，不妨花点儿时间问问自己：
如果引理得证，它将怎么被应用？ 引理的哪些特性对你来说最重要？ 一个较弱的引理是否就足够了？ 是否有更简洁的引理表述方式？ 如果在实践中很难得到引理的某个假设，那么是否应该试着省略这个假设？
通常，一个引理在被真正证明之前，它的表述尚不清晰、明确，但即使细节尚未完善，仅从了解引理的形式出发，这些问题你多多少少也应该能答上来一点儿。在投入大量时间尝试证明引理之前，这些问题能帮助你将引理优化到最佳形式，让你更高效地进行研究。
同样的原则也适用于规模比引理更小的问题，例如证明一个小论点或完成冗长的计算时；也适用于比引理规模更大的问题，例如证明一个定理、解决一个问题或追求一个更大的研究目标。
03
享受你的工作
不要过早痴迷于某一个“大问题”或“大理论”
数以百万计的人渴望永生，却不知道在雨天的周日下午如何打发时间。
——苏珊·厄茨，《空中的愤怒》
在数学领域，有一个特别危险的职业陷阱：你可能因为过度专注某个领域的一个难题（或某种宏大的“统一理论”），而忽略了其他数学活动（甚至“数学”以外的人生）；但实际上，无论在数学知识储备上还是职业生涯规划上，你都还没有真正准备好将如此多的研究时间投入这类项目中。
如果一个人尚未了解自己手中工具的局限性，或者还没有对自己的工作产生“适当”的怀疑态度，那这种情况就更危险了。结局可能相当难堪：一个人自豪地宣布自己在一个众所周知的大问题上取得了重大突破，但很快被其他人在论文中挑出了严重缺陷（大多因为一种方法被延申到自身已知的极限之外，或者撞到了专家们已知极限以外的障碍），最后不得不撤稿。
一个人开始忽视其他工作（如撰写、发表自己“较小”的研究成果），把全部希望寄托在解决一个“大问题”或创建一种革命性的新理论这类“巨大回报”上，想借此弥补自己职业生涯停滞不前的窘况，这是一个危险信号。他/她应该重新找到平衡。虽然历史上确实有几个重大问题就是以这种方式被解决的，但这种痴迷的心态只有在数学家已具备以下条件时，才可能奏效：
2.职业生涯相对稳定（如取得了终身教职）。
如果你还不具备上述两点优势，而且在如何解决一个重大问题的想法中仍包含大量的猜测，或者，你的“大理论”还没有明确且引人注目的应用领域，那我强烈建议你采取一种更平衡、更耐心、更灵活的方法：你当然可以始终记挂着这些“大问题”和“大理论”，并偶尔找时间琢磨它们，但你还是要把大部分时间花在更可行的计划上——先摘“矮枝上的果实”。你将为自己的经验、能力和可信度上打下基础，当你准备好迎接更雄心勃勃的项目时，这些东西都会派上用场。
04
如何发表知名未解问题的证明
如果你确实认为自己解决了一个大问题，我建议先你对自己的成果保持“极度怀疑”，在向任何人展示这一结果之前，你要十分谨慎。过去，有太多数学家急着大肆宣扬自己证明了某个知名问题，结果不久后，人们就在他们的证明中发现了严重错误。这样做会损害自己的名誉。我建议你就自己的论文问自己以下几个问题：
1.这其中关键的新想法或见解是什么？它与之前别人尝试过的方法有何不同？这个想法是否在论文的引言中得到了强调？（正如我的一位同事喜欢问的：“实质性内容在哪儿？”）
2.这篇论文中的论点与其他人在该问题上已取得的部分成果或尝试有何关联？相关步骤与此前其他论文中的步骤是否有明确的相似之处？新成果是否就“此前的方法为什么没能成功”这一问题提供了启示？论文中是否讨论了这一点？
3.这个新想法最简单、最简短、最清晰的新应用是什么？与之相关，论文中提出的第一个不平凡的、此前方法无法证明的新论述是什么？这条“概念证明”在论文中给出了吗？还是带着自己附加的（且可能出错的）复杂问题直接跳到了重大猜想上？假如证明中存在致命错误，那你能否至少挽救出其中一个深刻且不平凡的结果？
4.面对数学家们的“攻坚策略”，大问题都准备了反例、障碍或哲学式反击（策略X不起作用，是因为它没有区分大问题Y和已知存在反例的问题Z）。你的论点为什么没有遇到这些障碍？论文是否说明了这一点？论点存在任何局限性吗？论文是否对此加以陈述了？
5.你采用了什么高级策略来攻克这个问题？你是否受到了某种启发、哲学观点或直觉的引导？如果是，那是什么？论文是否陈述了这一点？如果你的“攻坚策略”是“盲目地反复转换问题，直到奇迹发生”，那可不是一个好迹象。你能用（超越所有技术细节和计算）的高级术语来说明，你的论点为什么有效吗？
6.证明是否包含一个关键的里程碑？比如，证明中使用的一个关键命题本身具有独立的意义，或者，它将未解决的问题大幅简化为一个貌似更容易解决的问题。论文中是否明确指出了里程碑？
7.你的论点足够坚固吗？一个符号错误、非法使用一个引理或公式会否摧毁整个论点？论点足够坚固的指标包括：关键步骤存在可替代的证明（启发式方法或支持论点的实例也行），或者，论文、论点的关键部分与已发表的其他论文之间可以类比。
8.你对论文进行了多严格的检查？你重新梳理了阐述过程吗？你试着故意反驳自己的观点，或故意在论文中找茬儿了吗？当一篇重要论文发表时，人们期望它已经经受了一定程度的检查；如果没有，而论文在发表后很快就被查出了错误，那就非常尴尬了。在解决了一个多年未能解决的重大问题时，我们真没有必要急于求成。多花几天时间，最后再通读一次论文，能为自己省去很多麻烦。
9.论文有多大比例用于阐述已出现在以往文献中的常规和标准理论及计算？又有多大比例用于阐述以往文献中没有的令人兴奋的新内容？新内容在论文中何时出现？上述两部分在论文中是否都给予了适当的详细阐述？
10.为了减少读者对此类论文可能产生的负面看法（尤其是当人们在论文中发现重大错误时），你应在论文的标题、摘要和引言中尽量减少自吹自擂或自我推销的成分。这些东西本身没什么数学信息量。例如，
糟糕的标题：“庞加莱猜想的证明” 恰当的标题：“里奇流的熵公式及其几何应用”
更广泛地说，任何未解的大问题，其重要性和历史意义对于任何稍微了解情况的读者来说都是已知的。针对这些内容，你只需在论文中做表面处理即可，除非某些历史问题与你的证明相关。强调“无数伟大数学家在你之前所做的尝试都失败了”，这种“吹牛皮”的做法非常不合时宜，应当彻底避免。
你还要注意一点，解决大问题的尝试往往已经屡遭失败，所以大多数专业数学家会拒绝阅读任何做进一步尝试的文献，除非有实质性证据表明，此次正确性的概率“非零”（比如在该领域有公认的数学成就记录）。
05
了解工具的局限性
学习不是记忆多少东西，甚至不是去知道多少东西。学习是为了明确划分自己“知道什么”以及“不知道什么”。
——阿纳托尔·弗朗斯
数学教育和研究会自然而然地把注意力放在有效的技术上。但是，了解你手中的工具“在什么时候不起作用”，也很重要。这样一来，你就不会把时间浪费在一个从一开始就注定要失败的策略上，而会去寻找新工具来解决问题，或索性寻找一个新问题。
因此，了解各种反例或易于分析的模型非常重要。同时，你也要知晓自己的工具可以处理哪类障碍，而哪些障碍没希望解决了。此外，你选择的工具在什么情况下可以被其他工具替代，以及每种工具的相对优缺点是什么，这两点也值得探究。
假如你把自己最喜欢的某种工具视为 “魔杖”，因为它能“唰地一下”解决问题，而且你再没有其他方法获取或理解答案了，那这就表明，你也许需要更好地了解一下你的宝贝工具及其局限性。
如果你自认为利用自己最喜欢的工具取得了一项了不起的结果，比如证明了一个大问题，那你就更要好好想想这一点了。这时你应该查一查，在不用这种工具的情况下，你能否重塑自己的论点？如果你确实对自己的工具了如指掌，那就应该能做到这一点——尽管论证可能为此变得更长、更混乱。可是，如果一旦舍弃这种工具，你就再也找不到其他任何方法重塑论点了，那你就该保持警惕，这可能是没有正确使用工具的一个信号。
在利用一种工具撰写论文时，作者应当讨论该工具的已知局限性——虽然这种做法有点反常识。乍看之下，这似乎削弱了论文的价值，但这么做有助于准确识别其他哪类相关问题也可能适用该工具；并且，通过展示你对工具局限性的认识，无论在宣传该工具的优势上，还是在将它与竞争工具做比较时，你都能获得更多的可信度和客观性。这种做法还有助于判断能从哪个方向上获得新突破，以超越仅靠该工具所能完成的工作。
最后，如果作者向读者隐瞒了自己所用工具的局限性，而恰巧这项研究还很有意义，那么后续的研究最终还会遇到同样的局限性，而后继者终究要在各自的工作中讨论它们。但此时人们就会认为，这些问题在最初的那篇论文中完全被忽视了。
01
《陶哲轩教你学数学》
作者：陶哲轩
译者：李馨
菲尔兹奖得主陶哲轩数学思维大解析，通过奥数竞赛习题解答，带你领悟数学之美。
本书是国际知名数学家陶哲轩15岁时的著作，从青少年的角度分析数学问题，主要是数学竞赛等智力谜题，用学生的语言解释思考过程，完整展现了少年陶哲轩的解题思路。
02
《陶哲轩实分析（第3版）》
作者：[澳]陶哲轩（Terence Tao）
译者：李馨
本书源自华裔天才数学家、菲尔兹奖得主陶哲轩在加州大学洛杉矶分校教授实分析课程的讲义。
全书从分析的源头——数系的结构和集合论开始，然后引向分析基础，再进入幂级数、多元微分学和傅里叶分析，最后介绍勒贝格积分，几乎完全是以具体的实直线和欧几里得空间为背景，完美结合了严格性和直观性。
