基于GeoGebra培养数学直观想象和逻辑推理素养的一个案例——阿氏圆问题一例，初三系列174，兼谈信息技术辅助教学不要走偏

教育 2024-11-17 09:09 广东

难倒一大片学生的一个九年级几何题（不是瓜豆原理？），兼谈对《章建跃博士：研究一点“真问题”》的学习和反思，初三系列173

数学老师，没有一个数学软件“防身”，很不应该！

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GGB信息技术很好，但不要走偏！

下面是一道初看起来“很难”的题目：（2024年11月四川某地九年级期中测验）

GGB画这题很容易，很精准。

这个题目，很值得写作和思考！

希望您暂时不看下面的解析，自己先独立思考——

从解题结果上看，是阿氏圆的模型的问题！

如下图，构造定点M，目的是为了得到△ADE和△AEM相似，

这样得到2DE=EM，这样问题就转化为了EM+EP的最小值。

问题得到“轻松”的解决。

最小值为4倍根号10.

如何秒杀中考试题中的阿氏圆问题

初三培优系列87：怎么想到这样作辅助线？（阿氏圆的综合难题）

2022.1.海珠区九上期末第24题（定弦定角+阿氏圆）简析

阿氏圆问题初中解法，完美！呈现阿氏圆、将军饮马、胡不归之不同

初三中考培优系列64：精美ggb课件呈现阿波罗尼斯圆（阿氏圆）和将军饮马、胡不归问题的区别

反思1：笔者提出几个疑问——

疑问1：点C的位置并不确定，这个点C的位置影响问题的求解吗？

疑问2：条件中“∠CAE<∠CAD”的意义是什么？

疑问3：条件中“2DE+PE”，能进一步的变式为“3DE+PE”，“aDE+bPE”吗？

……

反思2：此题一开始对于没有任何模型基础或观念的学生（包括老师）都是难题！

数学解题中（尤其是平面几何），经常遇到这样的“窘境”，当看到条件，逐个分析理解了条件，充分的读了条件和结论，还是想不到解决问题的方案，例如究竟要怎么做出合理、合适的辅助线？

这个时候，大部分学生都选择搜题软件去查答案！

由此至少带来4个问题：

（1）许多类似这些的新题，搜题软件未必有；

（2）搜题软件给出的答案，由于只给了静态的图形，学生可能看不懂；

（3）搜题软件给出的答案，对于“新题”而言，仍旧有错误。

（4）学生看了答案，把过程抄一遍，学生就真正的学会了吗？

可参考：

2021-九上25题,geogebra解析，更正原解答错误

初三中考培优系列101：2021-2022海珠区初三上期末第25题（修正网上的某些错误）

海珠区2019学年八下16题，中线定理矩形大法，修正2个错误

初二培优系列78：修正网上参考解答的两个错误——2019学年海珠区第16题，中线定理，矩形大法

2021南京中考第6题（光照的投影问题），纠正了网上错误解答

所以，从信息技术上，笔者呼吁：

数学老师，没有一个数学软件“防身”，很不应该！

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当然，使用信息技术辅助教学，

还有很多问题值得探讨，千万不要走偏！

许多人把GGB当成一个信息软件，当成编程的工具，玩了很多花样，这些并不能苛求，因为部分教师可能并不是教一线数学的，或者只能说GGB的确比较强大。

广州市正高级教师、广州市教育研究院初中教研员伍晓焰老师提出：

动态数学软软如GGB、几何画板等，放在了一个什么样的适用的场景呢？

动态的问题是一个难点，它是一类难点的突破，但是在场景的使用上很多人都搞不清楚，以为是教师把这个题目呈现出来，为了让学生搞清楚怎么解决思路，所以教师就演示一次给他看，这样做一点意义都没有。

因为学生首先没有解决“怎么想”这一个关键问题。

要先解决问题怎么思考（思维先行），才来解决操作。

不是说用操作来替代。

在软件辅助教学的时候，一定要以提升学生的哪些素养，然后起到哪些积极作用？

要把这个逻辑要想清楚了，然后在软件辅助教学里面，教师能做什么？

例如这一个动态的问题来进行突破，研究关键难点是如何让它形象化，还有就是怎么可以进行拓展，怎么进行变式研究？

我怎么能够发现出新的问题？

怎么能够提出更可以延展的问题？

这就叫做发展学生的创新意识，这是有意义的。

所以不要仅仅简单的把它定为一个工具。

我们要合理的用好工具，这就是我们做这个课题的最重要的意义。

不能够用工具替代了思维。

思维先行，那么在什么情况下什么地方，我们需要用这个工具呢？

要看我们的孩子们思维受阻的时候，我们要用。

那么也在我们的学生可能不同的学生他对于这个题的研究的进程和感悟的东西不一样那么有的人讲出来这个过程以后，学生还是感悟不到那这个时候，可以怎么样利用GGB可以更形象化的加深我对这个问题的理解？这个时候可以用。

如果说我对这个问题我还有拓展，我想怎么利用这个工具能够更好的发现我的延展性的问题呢？

这个时候这个工具就可以用。

所以我们要把它定位在思维加工具，而不是用工具替代思维。

研究的目标还要在想清楚，还要从培养学生的关键素养，作为研究的目的，然后我用GGB作为一个很好的辅助的工具来做这件事情！

这一段讲得非常正确！

这一段是笔者参与课题组成员周娅老师开题时，伍老师给出的高位点评。

可参考：

课题引领明方向，深耕细研行致远 ——记刘护灵名师工作室成员周娅老师2025年广州市教育科学规划课题青年教师专项课题开题论证会

更多可参考：

ggb的作用难道仅仅是为了画个图？兼谈勒洛四面体问题的形象解析

基于GeoGebra辅助解析汉诺塔问题（2024年七上新教材第四章，填空压轴第15题），兼谈数学实验的重要性，初一系列53

关于数学实验和数学思维的培养，著名教育家章建跃讲过：

“关键五，以研究一个数学对象（问题）的一般套路为指引，以数学思维过程的基本框架为线索设计教学过程，通过逻辑连贯的问题串引导学生的数学思维活动，使学生掌握数学思维方式。

• 思维过程的基本框架是：（1）观察与实验，（2）归纳与演绎，（3）比较与分类，（4）分析与综合，（5）抽象与概括。

• 强调以这一基本框架为线索进行教学设计，目的是使学习过程完整化，让学生有机会完整经历知识的发生发展过程，促使学生运用观察、实验、猜想、运算、推理、验证、数据分析、直观想象等发现和提出问题、分析问题和解决问题。

• 当前的课堂教学，思维过程不完整是比较普遍的，就是所谓的“掐头去尾烧中段” ，其实质是思维教学不完整，必然导致学生的思维缺陷。例如，学生普遍害怕应用题，本质上是学生在观察、实验、数据分析、直观想象等方面没有得到应有的训练。”

……

章建跃教授的文章和相关讲座的PPT，笔者非常喜欢，希望您也能多阅读！

反思3：正如笔者的标题所写：基于GeoGebra培养数学直观想象和逻辑推理素养的一个案例

GGB的作图过程，实际上是“认真审题”、“数学实验”的过程，操作者的确在这些过程中更好的理解了题意，更好的做出了精准的图像，利用最小值点的指令，还直接得到了答案。

但是，考场上学生没有这个软件啊！

考场为了公平，不能使用软件。

但是我们学习过程中，不用时时刻刻都强调考场的环境，没有哪个定理是在两个小时的考场中发现的！平时的教学或者学生在家的学习环境，教师或学生是可以利用GGB的（成本很低即可获得，甚者零成本——因为GGB在官网上下载是免费的）

即，能否让学生也亲自利用这个软件，亲自操作一遍，从而得到“合情推理”后，再进行“逻辑推理”呢？

在这些过程中，学生的核心素养，例如直观想象、逻辑推理等，如何更有效的培养？

学生的创新（批判）意识，高阶思维（评价等），如何培养？——如笔者提出的疑问3，……

还有，教师如何用深度教学的U型模式，对于此类问题，做一个更好的教学设计？

……

诚挚的请教大家，欢迎大家继续探讨！

（下图选自章建跃博士，笔者很赞同）

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GeoGebra与数学深度融合

1，利用神奇软件GeogGebra探索和讲述初高中数学的各种重要解题模型，形象生动的阐述解题思路，变式研究，编制原理；2，探索GeogGebra和数学课程教学的深度融合；3，研究中高考数学综合题的教与学，教育方法，育人理念，教研体会