深研学历案｜林志峰：四上第六单元《商的变化规律》

人教版四年级上册第六单元第五课时 

《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：在具体情境中，经历探索简单规律的过程，形成初步的模型意识和应用意识，建立数感有助于理解数的意义，初步感受数学表达的简洁与精确，增强好奇心，培养学习数学的兴趣。探索是我们数学过程目标的最高等级表达，那么作为学习者，探索规律的意义是什么？又要经历什么样的过程？其实规律就是指事物与事物之间存在的必然联系，而这种关系不断的重复出现，就往往预示着事物发展的趋势。所以掌握规律就能把握趋势，更好地应用于问题解决。

而学习者探索规律一般是从实践应用到发现规律、研究规律、总结规律，最后还要回到实践应用。在这个过程中离不开推理能力、应用意识和探究精神，而这些也是我们要着力培养孩子的数学核心素养。那么我们聚焦商的变化规律，也应该完整经历探索规律的全过程，来着力培养孩子的这些数学核心素养，从而实现从学会到会学的转变。

（一）梳理教材，了解本课的教学背景

“商的变化规律”是小学阶段比较重要的一组规律，它有三种变化：除数不变，被除数乘或除以几，商也乘或除以几；被除数不变，除数乘或除以几，商反而除以或乘几；被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变。

从应用的角度而言，“商不变规律”可用于推导“除数是小数的除法”计算方法，用于“除法的简便计算”，延伸扩展为“分数的基本性质”“比的性质”等。因此，“商不变规律”具有重要作用。

稍加思考就会发现，“商的变化规律”中的三种情况有密切的联系。厘清了前两种变化的道理，也就能理解第三种变化的奥秘。因此将三种情况同等视之，一起研究，能更好地帮助学生从整体上把握“商的变化规律”，发现“变化”中蕴含了“不变”，看似孤立的三条规律之间隐含着紧密的联系，从而学会运用“变化与联系”的观点理解数学。

1.横向比较

对比了3个版本的教材，可以看到各个版本都有商不变的规律。人教版教材更加系统，还增加了除数不变和被除数不变这两种情况。那么它在这个自然单元的最后呈现。孩子们先学习了口算和笔算的内容，接着通过发现规律、总结规律，最后应用规律。

2.纵向联系

“商的变化规律”是在人教版四年级上册“除数是两位数的除法”单元中，学习了“商是一位数、两位数的除法”之后的内容，是学习除法性质的核心，学生只有掌握了“商的变化规律”，明晰其本质，才会对除法运算的内在逻辑发展形成深刻的认识。一方面“商的变化规律”在除法计算中有开篇的作用，需要前面知识和经验的铺垫；另一方面，“商的变化规律”的学习方式直接迁移到“小数除法”、“分数的基本性质”和“比的基本性质”的学习中，因为这几部分的结构非常的类似。

（二）分析学情，了解学生的学习背景

本课内容是四年级上册的一个教学难点，之所以觉得这部分知识难，是因为变化规律多，孩子容易搞混淆。每一种运算都有自己的变化规律，商的变化有以下几种:①被除数乘或除以一个数，商变了;②除数乘或除以一个数，商变了;③被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商不变;④被除数和除数同时乘或除以一个相同的数，商变了;⑤被除数乘或除以一个数，除数除以乘一个数，商变化。

孩子们不但要知道已知被除数变化、除数变化，商变化情况，还要知道商变化，被除数、除数变化情况。一个商变化就有如此多的类型，若四种运算规律合在一起，四年级的孩子抽象思维能力有限，极易搞混淆。

（三）关键问题设计

基于教材逻辑和学情需要，笔者将本节课的关键问题设计如下：

1.调动原有的知识基础、活动经验，在变与不变中探索商的变化规律，运用商的变化规律解决简单的实际问题。

2.经理探索规律的全过程，感受数学规律的内在联系，初步体会函数思想、类比思想。培养推理能力和抽象概括能力。

3.培养合作探究、勤于思考的学习习惯，增强学习数学的兴趣和自信心。

教学重点：探索和发现商的变化规律，运用商的变化规律解决简单的实际问题。

教学难点：体会和发现商的变化规律的内在联系，理解和应用规律。

（一）讲述故事，引出问题

①互动：猪八戒非常喜欢吃西瓜，于是缠着师傅给自己买西瓜，师傅见状说只能给你2天吃4个西瓜，八戒不开心，认为太少了，师傅见状又说那给你4天吃8个西瓜，八戒还是没有太高兴，干活都有气无力的，直到最后师傅说那给你再多一点，16天吃32个西瓜。八戒听到32个西瓜那么多，马上两眼放光，充满动力干活。

②谈话：你有什么想说的吗？

预设1：猪八戒被骗了，每天吃的西瓜都是一样的。

预设2：因为4÷2=2；8÷4=2；32÷16=2

你们可真善于思考，一下就明白八戒被骗了。今天我们主要就是探索这种有规律的算式，这些算式之中蕴含着什么规律？我们慢慢揭晓。

板书：商的变化规律

（二）分层感悟，探索规律

【活动一】借助模型，突破抽象概念

1.借助坐标图，解锁商不变性质

我们再来看一个问题：

学校需要采购一些钢笔，采购2千克钢笔需要支出10元，采购4支钢笔需要支出20元，采购6支钢笔需要支出30元，采购8支钢笔需要支出40元。再出示下图：

提问：从图中你能发掘出哪些数学信息？

预设1：横轴坐标表示短笛的支数，纵轴坐标表示相应的总价格。

提问：你知道两者之间存在什么数量关系吗？

预设2：采购2支钢笔需要支出元，采购4支钢笔需要支出20元，采购6支钢笔需要支出30元，采购8支钢笔需要支出40元。

（学生边说，教师边在图中描点）

提问：想一想，采购10支钢笔时，横纵轴的交汇点会跑到哪儿？

预设3：延长横轴末端，往上就可以找到它。

追问：你发现了什么新线索？

预设4：每个点的纵坐标数除以横坐标数，得到的商都是5。

预设5：这个5其实就是一支钢笔的单价。总价格除以钢笔的支数，可得一支钢笔的单价。

追问：可是钢笔的数量和总价一直不固定啊？

预设6：无论数量和总价如何变化，一支钢笔的单价5元一直不变。

小结；你们的意思是，随着采购的钢笔的支数不断增多，需要支付的钱款也会增多，但是每支钢笔的单价一直不变。

【设计意图】直接跳过对直观表象的提炼，出示平面坐标系，用坐标系中的函数图像来直观揭示两个变量的变化关系。

2.分层感悟，初步建立模型

出示算式：

这些算式中被除数和除数都再变化，他们的商为何始终固定为一个值？请大家选一个组合，把自己的发现记录下来。

活动要求：

（1）仔细观察，想一想它们究竟是什么不变、什么变了？变化的两个量具体又是怎样变化的？

（2）根据探寻出的规律，再写出几组算式。

（3）如何用一句话或者一个式子来高度概括无法说尽的道理和规律呢？你想到什么，就直说，一时说不清就整理成文后再交流。

预设1：

预设3：商的大小与被除数、除数之间有某种潜在的关系

预设4：从上往下观察，被除数乘2，除数也乘2，那么商就始终为一个定值。被除数乘10，除数乘10，商也会为一个定值。当从下往上观察，刚好相反，被除数除以2，除数也除以2，那么商就始终为一个定值。被除数除以10，除数除以10，商也会为一个定值。

预设5：被除数乘或者除以几，除数也乘或者除以几，商会是一个定值。

换言之，谁和谁同时乘或者除以同一个数，商才会是一个定值呢？（被除数和除数同时乘或者除同一个数，商会是一个定值）

追问：有同学是这样归纳的，你对此有什么看法？

预设6：可以把方框换成字母a,但是要注意a不能是0（除数不能为0）。

【设计意图】，学生的想法在一步步的推进中不断成熟和完善，由最初的“无穷无尽”到“被除数和除数同时乘几，商就不会变”，再到用字母这个简约的符号来代替方框。这不仅体现了学生由浅薄到深厚的积累积淀过程，也展现了由学生形象感知到理性分析和抽象概括的思维过程，更重要的是，他们体会到了建模的滋味，体会了数学建模的意义。

【活动二】乘胜追击，突破商的变化规律

1.学校要固定花费400元买钢笔，但是去了不同店，发现能买的钢笔数量却不一样了，你知道这是为什么吗？

出示5元一支、20元一支、40元一支

活动要求：

（1）写出相应的算式，仔细观察，想一想它们究竟是什么不变、什么变了？变化的两个量具体又是怎样变化的？

（2）根具探寻出的规律，再写几组算式。

用一句话或者一个式子来高度概括你发现的规律。

预设1：

预设2：

预设3：从上往下观察，被除数不变，除数乘几，那么商会除以一个相同的数。当从下往上观察，刚好相反，被除数不变，除数除以几，那么商会乘一个相同的数。

预设4：当被除数不变时，除数乘或者除以几，商反而除以或者乘几。

预设5：

2.那现在要是只购买40元一支的钢笔，400元、800元、1600元又分别能买几支？

活动要求：

（1）写出相应的算式，仔细观察，想一想它们究竟是什么不变、什么变了？变化的两个量具体又是怎样变化的？

（2）根具探寻出的规律，再写几组算式。

（3）用一句话或者一个式子来高度概括你发现的规律。

预设1：

预设2：

预设3：从上往下观察，除数不变，被除数乘几，那么商也乘一个相同的数。当从下往上观察，除数不变，被除数除以几，那么商也除以一个相同的数。

预设4：当除数不变时，被除数乘或者除以几，商也乘或者除以几。

预设5：

【设计意图：本活动是探究商的变化规律，有了之前环节的铺垫，学生自主探究，由“谁不变”到“谁变”导致“谁变化”的过程进行推理。只改变被除数或者除数，商会怎么变？有了前面环节商不变的性质做支撑的规律进行迁移。通过列举算式和结合单价、总价、数量之间的关系，学生经历自己，更深刻掌握商的变化规律】

（三）回首全程，应用实践

1.回望我们探究的过程，这几个规律到底是怎样出炉的？

观察比较→枚举验证→归纳表达

2.三条规律之间有什么联系吗？同桌说一说

预设1：第二条和第三条规律，合起来就是第一条商不变性质。

预设2：如果被除数乘3，商也要乘3；而除数乘3的话，商要除以3，商先乘3再除以3正好抵消，保持不变。

【活动三】万变不离其宗，以一变应万变

1.看这个坐标图，如果抹去计量单位“元”和“支”的话，你能编一个小故事吗？

预设1：我购买2块橡皮泥用了10元钱，购买4块橡皮泥用了20元钱……每块橡皮泥5元钱。

预设2：我练字，2分钟写了10行字，4分钟写了20行字……每分钟写5行字。

2.编写两道符合商变化规律的算式

①除数不变，被除数乘几(除几),商也乘几(除几)。

②被除数不变，除数除以几(乘几),商反而乘几(除以几)

③被除数和除数同时都乘(或除以)一个相同的数(0除外),商不变。

【设计意图】假如说前面的学习只是学生在顺着教师制定的路线走，只是在教师授意和监督下进行的抽象概括，那么回首全程则是让学生在后续的学习中摆脱教师的牵引，自己发现新规律，并且能试着用抽象简约的符号来记录这种规律。在练习中再次勾连几何直观，让搭建起来的模型应用起来。

基础素养

【设计意图】前两道选择题考查了学生的运算能力，对除法算式的理解以及对商不变规律的灵活运用，发展学生的数感。第三道选择题在具体情境中，让学生灵活运用商不变性质进行简便计算，考察了在商不变性质中余数的变化，这也是学生的易错点。

【设计意图】通过情景串起一组题组，让学生在一一对应中找一找数学情境中的“被除数”、“除数”、“商”，不仅能有效激活学生已有的生活经验、知识经验，也能反过来用被激活的生活经验助力学生对规律的理解和内化。经历由“变”到“不变”的过程推理，更深刻掌握商的变化规律。

能力素养

3.填一填：笔记本的单价不变。

4.两数相除，商是17，余数是170，被除数和除数怎样变化，商和余数就相等了？

【设计意图】第3题学生可能会疑惑25÷8不能整除，需给孩子足够的空间，发散学生思维，利用商不变的性质填上合适的数。此题还渗透着等式的关系，一举两得。第4题利用商的变化规律中余数的变化规律解决问题，进一步拓宽商的变化规律的内涵。

综合应用

5.小思从家走到体育中心需要5分钟，他用同样的速度从体育中心经过家到达商场，一共需要多长时间？

【设计意图】本题解决问题的方法不唯一，可以利用关系式先求出速度，再算出总共需要的时间；也可以利用速度一定，两段路程的倍数关系求时间。综合考查学生观察、对比、分析能力，以及灵活运用商的变化规律解决问题的能力。

1.在情境中感知，初探模型

对学生而言，“数与运算”枯燥和单调的，需要借助具体的生活情境来体验、经历与领会。教师多次运用情境教学，帮助学生提炼和理解被除数、除数、商之间的变化规律。课始，教师借助“八戒吃西瓜”为学生初探“商不变规律”的模型提供生活素材，使学生在观察中有据可依、有感而发，充分激活学生的学习主体性。课中，先借助坐标系中的函数图像来直观揭示两个变量的变化关系，这种数学模型具有高度的概括性和抽象性，且因具有几何直观而更具说服力。接着再引导学生联系生活、联想经验理解规律，用自己的语言和思维理解商变化的本质特征，在说理中看清规律的内在联系，在情境中初探模型。

2.在实践中体验，构建模型。

教师创设富有生活化、趣味性的实践情境，拓展学生数学实践的时空，让学生在解决问题中得到更深刻的体验。三次实践机会，让学生在“经历—体验—感悟—应用”的过程中自主探究和构建模型。在“坐标轴”的问题情境中，学生通过观察、分析、猜测、验证，小组合作探究除数和被除数同时变化而商不变的本质特征，从而理解两个变量之间的同向关系。在自主探究“被除数不变”的规律时，学生在观察、猜想后举例验证与总结，体验被除数不变，商随除数的变化而变化的规律，即被除数不变，商与除数的变化是相反的，从而理解两个变量之间的逆向关系。在自主探究“除数不变”的规律时，学生在观察、猜想后举例验证与总结，体验除数不变，商随被除数的变化而变化的规律，即除数不变，商与被除数的变化是相同的，从而理解两个变量之间的同向关系。

3.在类比中感悟，内化模型。

类比是数学学习的重要思想方法。在数学学习中运用类比，可以使抽象的概念具体化。本节课中，教师巧妙设计了两个层次的类比，化难为易，让学生更加清晰地把握三条规律之间的关联，内化了概念本质。第一层次的类比是探索规律时每组算式的上下类比。学生通过观察思考究竟是什么不变、什么变了，变化的两个量具体又是怎样变化的，理解每条规律里“一个不变量”与“两个变量”之间的关系。第二层次的类比是对三条规律进行类比，帮助学生在图示中理解被除数不变、除数不变、商不变三者之间的变化规律与内在联系，突破理解和记忆规律的难点，使学生思辨感悟到前两条规律都可归于“商不变”这一条规律的应用，实现内化概念模型的教学目标。