第一部分 单元备课
单元名称 | 多边形的面积 | 备课人 | 李从刚 | |
学习主题 | 图形的测量 | 年级 | 五年级 | |
核心概念 | 面积单位的累加 | 总课时 | 10 | |
单元 教材 分析 | 单元 横向 联系 | |||
单元 纵向 联系 | ||||
学情 分析 | （1）关于转化。部分学生能想到用“割补法”将平行四边形转化为长方形，认识到等积变形，但是自己组织数学语言来完整地说出其推理过程还存在一定的困难。 （2）学生往往更关注整体的形，而忽略局部要素的特征，单一推导、到多种推导，再到自主推导不能融会贯通。 （3）学习完三角形的面积后，对学生进行梯形的面积前测，发现倍拼法只能正迁移，多数学生仅想到将梯形分为两个三角形，创造性分法和拼法少之又少，不能意识到分解成的图形越多，公式将越复杂，计算亦更繁琐。 | |
单元 课标 摘录 | 内容 要求 | （1）探索并掌握平行四边形、三角形、梯形的的面积计算公式，会估计不规则图形的面积。 （2）在图形认识与测量的过程中，进一步形成量感、空间观念和几何直观。 |
学业 要求 | 会计算平行四边形、三角形、梯形的面积，能用相应公式解决实际问题。 | |
教学 建议 | 引导学生运用转化的思想，推导平行四边形、三角形、梯形、圆等平面图形的面积公式，形成空间观念和推理意识。 | |
单元整体规划设计 | ||||
大任务 | 子任务 | 课型 | 课题 | 课时 |
平行四边形、三角形、梯形 的面积计算 | 用格子图数图形的面积，渗透转化思想 | 起始课 | 数面积 | 1 |
利用转化思想体验变形等积理念，尝试公式推导并应用 | 种子课 | 平行四边形的面积 | 2 | |
自主探索多种方法进行公式推导，开拓创新（倍拼为基础） | 生长课 | 梯形和三角形的面积 | 2 | |
有效割补、添补、求差、分割、求和等方法将组合图形转化为基础图形，求其面积 | 探究课 | 组合图形 | 1 | |
方格法近似图形法，估算不规则图形面积 | 拓展课 | 不规则图形 | 1 | |
思维导图梳理知识结构，万能公式回顾思想方法，解决问题，应用提升 | 思维提升课 | 单元整理与复习 | 1 | |
学校效果检测评价 | 效果反馈课 | 单元检测+反馈 | 2 | |
单元 课标 分解 | 学习目标 | |||
1.用格子图数图形的面积，了解数格子的原则和方法，明白求图形的面积即面积单位的累加，并从中初步感知转化思想。 2.生活情境问题设疑，利用剪拼、倍拼、折叠等多种方法经历转化过程，自主探索、合作交流、归纳总结等多种学习方式推导出平行四边形、 三角形、梯形的面积公式并应用，促进知识的迁移和学习能力的提升。 3.通过有效割补、添补、求差、分割、求和等多种方法将组合图形转化为基础图形，进而求出组合图形的面积，养成灵活选择方法解决问题的习惯。 4.通过数一数、算一算等方法，估算树叶等不规则图形的面积，感知数形结合思想。 5.熟练应用面积公式解决实际问题，及时反思总结思维方法，形成良好的认知结构，为持续性学习做好准备。 | ||||
单元 评价 设计 | 过 程 性 评 价 | 1.通过课堂观察评价学生对于平行四边形、三角形和梯形的面积计算公式的理解程度：教师可以设置一些具有挑战性的问题，观察学生是否能正确运用面积公式来解决。 2. 课内外作业及当堂检测：从作业中了解学生基础知识和基本技能的掌握情况。本单元学生对面积公式推导过程及其运用是教学重难点，能否在解决实际问题时灵活选择公式，能否正确地理解应用，可以从课内外作业的正确率上得到及时反馈，从而做到依评促教。 3. 通过组合图形的分解和面积计算，评价学生的应用和推理能力：组合图形的面积计算旨在测试学生的推理和计算能力，这是衡量他们理解和掌握程度的一个重要指标。 4. 通过方格纸的实际操作和面积估算，评价学生的操作和估算能力：这是一个动手实践的过程，可以有效评价学生的操作能力和估算技能。 5. 在教学过程中，持续观察和记录学生的参与度，通过他们的问题解决和思维过程，了解他们的学习进度和理解程度：不仅重视学生的学习结果，更注重他们的学习过程。例如，他们在遇到困难时的反应，他们解决问题的方法等等。 |
终 结 性 评 价 | 1.知识结构 引导学生利用思维导图梳理本单元知识脉络，理清知识之间的联系，回顾思维方式方法，巩固知识的应用。 2.素养评价 单元学习完成后，对学生进行素养评价。评价题目的设计：（1）填空题，主要考察学生对基础知识和技能的掌握情况（2）判断题，主要考察学生对一一对应及转化等思想的理解（3）解决问题，主要通过实际问题引导学生分析思考，灵活应用多边形的面积公式解决问题，体会题型的多样化和生活化，在素养评价中，重点关注学困生和易错题，及时总结反馈，查漏补缺。 3.纸笔测验 按分值划分优秀（90分以上）、良好（80分—90分）、合格（60分—80分）、待合格（60分以下）四个等级。便于整体把握学生情况，以便做到因材施教。 4.多元主体评价：综合运用教师评价、学生自我评价、学生相互评价、家长评价等方式，对学生的学习情况进行全方位的考查。 |
第二部分 课时备课
课题 | 数面积 | 课型 | 起始课 | ||
时间 | 节次 | ||||
设计者 | 李从刚 | 授课对象 | 五年级学生 | ||
学习目标 | 低阶目标 1.本节起始课是基于面积度量的已有学习经验，通过数方格计算多边形的面积，掌握数方格的方法和原则，感知图形之间的内在联系。 2.清晰地表达思考过程，激发参与数学活动的热情，在与他人的交流中能用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑。 高阶目标 3. 通过猜想、观察、对比、操作等活动，发现图形之间面积大小的关系。理解求面积即是面积的累加，并在解决问题中体会转化思想。 | ||||
重难点 | 重点 1.理解多边形的面积的含义，会用数方格的方法计算多边形的面积，从中感受将面积的大小抽象成“数”的过程。 2.渗透转化思想，发展空间观念。 难点 理解多边形的面积的含义，渗透转化思想。 | ||||
教学过程 | |||||
情境创设 PPT呈现格子图当中若干图形，包括长方形、平行四边形、三角形、梯形、组合图形等。 师：同学们，上学期我们认识了许多多边形，也学习了长方形、正方形的面积计算。那么，怎样求这样的图形的面积呢？接下来，我们要学习第六单元《多边形的面积》，下面，我们先来上一节多边形面积的单元起始课——数面积。 | |||||
问题导学 | 学习活动 | 嵌入评价 | |||
问题一： 看到这个课题，你能想到我们之前学过哪些知识？还能想到本单元我们要学习哪些知识？我们先来回忆一下，之前学过哪些与面积有关的知识？ | 生1：我们学过什么是面积，物体面的大小是它的面积。 生2：学过面积单位，面积单位有平方厘米，平方分米，平方米。 生3：会求长方形和正方形的面积。 …… 师：我们之前是用什么方法研究的长方形和正方形的面积？ 生：用数格子的方法，用每行个数乘行数，就是面积单位的总个数，面积单位的总个数就是长方形的面积。 师：太棒了，我们用每行个数乘行数，就得到了面积单位的总个数，就知道了长方形和正方形的面积。（板贴）看来，同学们对之前的知识记忆很深刻。那同学们，想一想，接下来我们要学习哪些图形的面积？ 生：不规则图形，平行四边形，三角形，梯形。 师：同学们太会思考了，这就是接下来我们要研究的图形的面积。你能带着之前数面积单位总个数的经验（指板贴），来数一数或算一算这几类图形的面积吗？ | 1.能够积极思考，踊跃发言。 ☆☆ 2.能够说出以前学过的关于面积的知识。☆☆☆ | |||
问题二： 比一比下列组合图形哪个面积大，初步感受转化思想。 | （一）初步感受转化思想 1. 不规则图形 教师指导学生数格。 学生汇报： 预设1：一格一格的数，不满格的按照半格数。 预设2：发现有不满格的，先数满格的，再把不是满格的拼成满格。 教师通过追问比较这两种方法的不同。 师追问：除了数格子的方法，谁还有不同的方法？ 学生合作交流后汇报展示： 预设：图①把上面两个小正方形移到下面，就拼成了一个长方形；图②把这个三角形剪下来移到右边，拼成了一个正方形。 师生梳理：他用的什么方法？（剪、移、拼）剪、移、拼的方法，不用一个一个数，更简便。 小结：像这样将图形的一部分通过剪、移、拼的方法，能够更加简单、快捷的求出面积单位的总个数，从而知道图形的面积。 | 1.能通过满格+凑满格的方法数出图形面积。☆
2.能通过剪、拼、移的方法求出图形的面积。☆☆
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问题三：用剪拼法、倍拼法转化平行四边形、直角三角形、直角梯形，深入感受转化思想。 | （二）深入感受转化思想 1.平行四边形 师：平行四边形怎么数才能更快？ 学生操作探究后汇报展示不同的方法: 预设1：沿着这条高剪开，将三角形移到右边，拼成了一个长方形。 预设2：沿着平行四边形任意一条高剪开，都能拼成长方形。 2.直角三角形 经验应用，教师引导学生操作。 学生展示汇报： 预设1：用剪、移、拼的方法，上面三角形，移到下面，拼成一个正方形。下面三角形，移到上面，拼成一个长方形。 预设2：把两个三角形拼到一起，拼成了一个长方形。用每行个数乘行数算出面积后再除以2。 师追问：为什么要除以2？ 师说明：像这样用两个完全一样的图形拼一拼求面积的方法，叫做倍拼法。 3.直角梯形 用倍拼的方法研究梯形。 4.小结 师：同学们，一开始用数满格的方法，能够直接数出面积单位的总个数，当出现不满格时，我们用凑满格的方法来数出面积单位的总个数，我们又发现很多时候凑满格很麻烦，就用剪、移、拼的方法，将图形转化成长方形、正方形，求出面积单位的总个数，我们还用两个完全一样的图形去倍拼，也能方便求出面积单位的总个数。这里也渗透了我们数学中非常重要的思想方法——转化 | 1.能通过倍拼的方法求出图形的面积，并初步理解转化思想。 ☆☆☆ | |||
迁移运用 研究任意三角形、任意梯形。 师：任意三角形和任意梯形都能用倍拼法求面积吗？请拿出三角形和梯形研究。 预设1：把两个任意三角形和任意梯形拼成一个平行四边形。 师小结：任意三角形、梯形都可以用倍拼法转化成长方形、平行四边形，从而知道每行个数和行数，求出面积单位的总个数，用面积单位的总个数÷2，就是一个图形的面积。 感受关系 生1：一行个数就是平行四边形的长，行数就是平行四边形的高。 生2：一行个数就是三角形的底，行数是三角形的高。 生3：一行个数就是梯形上底+下底，行数是梯形的高。 | |||||
成果呈现 | |||||
课外作业 师：同学们，刚刚我们都是借助格子图来研究的，回想我们在研究长方形面积时，随着经验的积累，我们看到长方形的长，就能想到一行有几个面积单位，看到宽，就能想到有这样的几行，所以，用长乘宽就能求出面积单位的总个数，发现了这个规律，就不用再数格子了，我们今天研究的多边形的面积，当去掉格子，是不是也有这个规律呢？每行个数和行数与原来图形的哪些部分有关系呢？ | |||||
课题 | 平行四边形的面积 | 课型 | 种子课 | |
时间 | 节次 | |||
设计者 | 李从刚 | 授课对象 | 五年级学生 | |
学习目标 | 低阶目标 1.本节种子课是基于面积度量的已有经验，通过数方格探究多边形面积的基础上，经历平行四边形面积的探究过程，打通齐整数与剪拼转化之间的联系，学会等积转化，掌握平行四边形的面积计算公式，能利用新知解决简单的实际问题。 2.感受数学与生活的联系，清晰地表达思考过程，激发参与数学活动的热情，在与他人的交流中能用数学语言合乎逻辑地进行讨论和质疑。 高阶目标 3. 在探索与交流活动中培养学生的观察和推理能力，渗透转化思想。 | |||
重难点 | 重点 1.理解平行四边形的面积计算公式的推导过程，并能运用面积计算公式正确的进行计算，解决实际问题。 2.渗透转化思想，培养推理能力 。 难点 理解平行四边形的面积计算公式的推导过程。 | |||
教学过程 | ||||
情境创设 同学们，上一节课我们一起数方格探求了平行四边形的面积，这个平行四边形的面积你会数吗？ | ||||
问题导学 | 学习活动 | 嵌入评价 | ||
数方格的方法数出平行四边形的面积 | 出示方格图，每个小方格的面积是1平方厘米。 师：上一节课我们一起数方格探求了平行四边形的面积（图1），这个平行四边形的面积你会数吗？ 预设： | 1.能用整格+拼成整格，数出平行四边形的面积。 ☆☆ | ||
问题一：唤醒旧知 | 整格+拼成整格，先数整格，再加拼成整格，得到面积）；部分平移或旋转，把图形中的一部分进行平移或旋转后，再来数；沿着平行四边形的高剪开，把一整块平移过来。就能用每排个数乘排数，直接计算，比较方便。 | 2.能用部分平移或旋转或沿着高剪开拼成长方形的方法求出平行四边形的面积 。☆☆☆ | ||
问题二：平行四边形形状的停车位面积应该怎样算？ | 1. 师出示情境问题：这个停车位的面积是多少平方米？（没有方格） 2.小组合作： 出示要求：①动手操作；②画画写写。 提示：你可以借助学具框中的这个平行四边形，通过动手操作，算出它的面积；也可以直接在练习纸上画一画示意图，把你的想法表达出来，算出它的面积。两种方法选择其中的一种。 学生操作、计算、交流。 预设：①动手剪一剪、拼一拼，再计算的；②直接在图上画一画的。 师：两位同学选择了不同的方式表达自己的想法，比一比：这两种方法有什么相同的地方？ 小结：不管是用剪一剪拼一拼的方法，还是直接在图上画一画，大家想表达的意思是一样的。大家都受到上一节课的启发，把平行四边形沿着一条高剪开，这部分平移过去，转化成一个长方形。剪拼之后这个长方形的长就是6米，宽就是3米，看着转化后的长方形想象，用1m²的正方形去摆，一排摆6个，正好是平行四边形的底，可以摆3排，正好是平行四边形的高，这样又可以和上一节课一样，又能用每排个数乘排数来数了。 2. 是不是所有的平行四边形都能像这样转化成长方形呢？我们再来试一个，这次我们直接用练习纸上的平行四边形试试，先量一量，再画一画表达你的想法，想一想，最后算出这个平行四边形的面积。 （ppt）出示要求。 小组汇报交流，教师、学生及时评价。 小结：一起来看，通过测量，我们得到平行四边形的底是5厘米，高是3厘米，沿着一条高剪开，通过平移，把原来的平行四边形转化成长方形，看着测量的数据，就能知道一排摆的个数和摆的排数，又可以用每排个数乘排数来数了。 3.根据刚才的两次操作，你能自己填一填这张表格吗？在练习纸的反面完成，组织交流。 | 1.能够积极动手进行尝试探索。 ☆ 2.能通过剪一剪、拼一拼、画一画的方法把平行四边形转化成正方形。 ☆☆ 3.能通过剪一剪、拼一拼、画一画的方法把平行四边形转化成正方形,并计算出平行四边车库的面积。 ☆☆☆ | ||
问题三：平行四边形的面积公式如何推导？ | 三、对比推导，总结方法。 1.对比勾连，推导公式。 看来，所有的平行四边形都能沿着高剪开，通过平移转化成长方形。 回忆操作过程，结合表中数据，比一比：转化前后的图形，1. 什么变了？什么没变？2. 有什么联系？同桌讨论。 生交流想法。 小结：从整体看，图形的形状变了，但面积不变。（板书：面积不变） 再来比一比：从图形的局部来看，转化前后的图形，又有什么联系？同桌再商量商量。 小结：从局部看，转化后的长就是原来平行四边形的底，转化后的宽就是原来的高。（板书：长、底，宽、高，两个箭头） 因为转化前后面积不变，所以长方形面积和平行四边形面积相等。（板贴） 其实底乘高，依然是在算面积单位的个数。 生交流公式的的推导过程。 看来，平行四边形的面积是和它的底和高有关系的。如果平行四边形的面积用大写字母S表示，底用小写字母a表示，高用h表示，长方形的面积公式就可以用S=a×h表示。 集体回顾推导过程。 2.平行四边形面积和底与高的关系。 如果把这个平行四边形变一下（底5高3变成底5高2变成底5高4），什么没变什么变了？面积为什么会变？ （高变了，也就是排数变了） 看来，当底相同时，高的变化，会引起面积的变化。 如果高不变呢。再看——（底5高4变成底3高4变成底6高4），你又想说什么？ （PPT一屏）通过这两次的变形，你有什么想法？ 3.小结：不管平行四边形怎么变，转化成长方形后，我们总是用每排个数乘排数算面积，而底决定每排个数，高决定排数，所以我们用底乘高来计算平行四边形的面积。 迁移运用 1.计算下面平行四边形的面积。 2.下面两个平行四边形的面积都是3×2=6（cm2）。对吗？为什么？ 3.两条虚线互相平行，下图中有面积相等的平行四边形吗？ 你还能在图中画出和平行四边形面积相等的其他的平行四边形吗？请在练习纸上画一画。 小结：当底和高都不变的时候，面积是相等的。 | 1. 能发现转换后的图形什么变了，什么没变。☆
2. 能发现平行四边的底和高和转化后长方形的长和宽的关系。 ☆☆ 3.能用语言表达出推导过程，并推导出平行四边形的面积公式。 ☆☆☆ | ||
成果呈现 数方格 平行四边形的面积 公式推导 剪拼法 应用 | ||||
课外作业 教材87页“练习十九”第2题。 | ||||
课题 | 梯形和三角形的面积 | 课型 | 生长课 | |
时间 | 节次 | |||
设计者 | 李从刚 | 授课对象 | 五年级学生 | |
学习目标 | 1.通过操作、探究、验证等方法，自主探究并掌握梯形的面积计算公式。 2.通过图形的动态变化，从梯形的面积公式推导出三角形的面积计算公式，并且自主验证。 3.沟通平面图形面积计算方法的内在联系，并渗透转化的数学思想，促进知识的迁移和学习能力的提升。 | |||
重难点 | 重点：理解梯形和三角形的面积计算公式的推导过程，并能运用面积计算公式正确的进行计算，解决实际问题。 难点：理解梯形和三角形的面积计算公式的推导过程，渗透转化思想。 | |||
教学过程 | ||||
情境创设 上节课我们一起学习了平行四边的面积公式，哪位同学想说一下我们是怎样推导出平行四边形的面积公式的？ | ||||
问题导学 | 学习活动 | 嵌入评价 | ||
问题一：平行四边形面积公式如何推导的 | 环节一：复习铺垫，感受“转化”思想 1.课件出示动态演示图，带领学生回忆平行四边形的面积公式推导过程。 2.小结：无论沿着哪条高来剪，都是先分割再进行组合，把平行四边形转化成长方形，将未知转化成已知。 3.追问：今天我们继续学习平面图形梯形的面积。你觉得应该怎么研究？ 预设：转化的方法，分割，拼一拼等。 | 1.能够积极思考、主动发言。☆2.能说出平行四边的面积公式。☆☆3.能说出平行四边形公式的推导过程。☆☆☆ | ||
环节二：经历转化，探究梯形面积公式 （一）明确要求，动手操作 1.活动一：探究梯形面积公式 活动要求： | ||||
问题二：梯形的面积公式如何推导？ | ①想一想：先独立思考，怎样将梯形转化成已知的平面图形；②做一做：拿出信封袋中的学具，把梯形转化成已知平面图形；③说一说：和同桌说一说你的想法。
拼一拼 横切旋转 竖/斜切旋转 （二）围绕转化，得出结论 1.提问：第一种“倍拼”的方法，能得到这个梯形的面积公式是什么？ 生展示自己的想法。 2.追问：a+b代表什么？为什么要÷2呢？ 3.观察：让学生指一指，观察转化前后图形的内在联系。 4.小结：两个一模一样的梯形拼成了一个平行四边形，平行四边形的底变成a+b，高不变，求其中一个梯形，就用平行四边形面积÷2。 5.提问：第二种“横切”的方法，此时梯形的面积又是怎样的呢？ 预设：（a+b）×（h÷2） 6.观察：转化前后图形之间的联系。 7.追问：第三种“竖/斜切”的方法中，什么变了，什么没变？怎么推导梯形面积公式？ 预设：利用移多补少的方法，将两条边变得一样长，那么每条边就是原来上下底之和的一半，也就是（a+b）÷2×h。 | 1.能够积极主动进行探究。☆ 2.能通过剪一剪、拼一拼、画一画的方法把梯形转化成已经学过的图形。☆☆ 3.能发现转化前后图形之间的联系。 ☆☆☆ | ||
问题三：三角形与梯形之间的内在联联系？三角形的面积公式如何推导？ | （三）整体对比，沟通联系 1.提问：三条公式中都出现了“÷2”，它所代表的意义相同吗？ 预设：都不一样。第一种方法是平行四边形的一半，第二种方法是梯形高的一半，第三种方法是上下底和的一半。 2.追问：仔细观察这三条算式，有什么联系吗？可以合为一条吗？ 3.观察：对比三条公式，统一梯形面积公式为（a+b）h÷2。 环节三：观察验证，探究三角形面积方法 （一）图形互化，猜想公式 | 1. 能说出三条公式中“÷2”的含义。☆☆2.对比三条公式，统一梯形面积公式为（a+b）h÷2。☆☆☆ | ||
2.生独立思考，尝试解答，交流想法。
预设：当上底变成0时，梯形就变成了三角形。 4.追问：三角形面积公式没学过，你猜猜三角形面积应该怎么计算呢？ 预设1：（0＋10）×6÷2=30（c㎡）；看成上底为0的梯形，下底×高÷2=10×6÷2=30（c㎡） （二）自主探究，验证公式 1.提问：这个结论对吗？我们能否也用转化的思想进行验证这个结论吗？ 2.活动二：探究三角形面积公式 活动要求：①想一想：先独立思考，怎样将三角形转化成已知的平面图形。②做一做：拿出信封袋中的学具，把三角形转化成已知平面图形。③说一说：和同桌说一说你的想法。 3.展示学生作品：（切法不同） 4.观察：图形变化前后的关系，每条算式中÷2的含义 5.结论：统一三角形面积公式为ah÷2。 6.小结：孩子们，真棒！我们通过不同方法的验证，证明了从梯形面积计算公式中得出的三角形面积计算公式是正确的。 | 1. 能够积极主动进行探索。☆2.能通过猜想、验证、操作等活动把三角形转化成学过的图形。☆☆3.知道图形转化前后的联系，并推导出三角形的面积公式。☆☆☆ | |||
迁移运用 （三）拓展提升，内在转化 1.完成学习单题目：求下图三角形、梯形、平行四边形面积 2.观察：寻找三种图形的相同点和不同点 3.追问：底和高相同，为什么面积不相同呢？ 4.平移点：几何画板演示移动梯形上底的一个点，引导学生观察图形之间的联系。 5.小结：当梯形的上底和下底相等时，就变成了平行四边形，当梯形上底变为0时，就变成三角形，这样一来，三角形，平行四边形都可以看成是特殊的梯形，他们的公式都可以用（上底＋下底）×高÷2来计算。 环节四：全课总结，深化“转化”本质 1.提问：今天你有什么收获？ 2.小结：我们在今天的学习中，不仅知道了“转化”包括外在的形状的转化，也有计算公式内在的转化。在小学阶段的平面图形面积研究中，还会经常用到转化的思想。 3.追问：回想下我们学过的知识点，转化出现在平面图形中，还有在哪里见到过？后续还会在哪里用到转化思想呢？ 4.梳理：PPT呈现转化思想在各年级段中的应用，并让学生说一说感受。 | ||||
成果呈现 猜想 ？ 转化 验证 转化 | ||||
课外作业 | ||||
课题 | 组合图形的面积 | 课型 | 探究课 | ||
时间 | 节次 | ||||
设计者 | 李从刚 | 授课对象 | 五年级学生 | ||
学习目标 | 低阶目标 1. 能通过在物体表面找学过的图形，知道组合图形是由简单图形组合而成； 2. 能通过观察组合图形表达出它是由哪些简单图形组合而成的。 3.能通过画一画，分一分等方式，将组合图形分解成学过的图形； 4.能分别求出各部分图形的面积并准确计算出组合图形的面积。 5.能通过多种方法的对比，选择简便的方法计算组合图形的面积。 6.能根据具体情境，灵活选择方法解决组合图形的实际问题。 高阶目标 7.能通过试做、交流、讨论体会到将未知转化为已知的思想方法； | ||||
重难点 | 重点 明确组合图形的意义，知道求组合图形的面积就是求几个图形面积的和或者差。 难点 能正确的进行组合图形面积计算，并能灵活思考，解决实际问题。 | ||||
教学过程 | |||||
情境创设 同学们，我们学过哪些图形的面积计算公式？你还记得它们的推导过程吗？ | |||||
问题导学 | 学习活动 | 嵌入评价 | |||
问题一：基本图形的面积公式是如何推导的？什么是组合图形的面积？ | 一、梳理知识，形成脉络 1.什么是组合图形？ 2.我们学过的基本图形有哪些？它的面积是如何推导出来的？ 师生回顾基本图形的名称，总结出由长方形的面积能够推导出正方形、平行四边形的面积，由平行四边形的面 | ||||
积我们又能推导出三角形、梯形的面积。 这样的话，就形成了一棵关于图形的面积的知识树。从树干到树枝并不是随意生长的，他是有顺序的。从下往上看，你发现了什么？从上往下看，你又发现了什么？转化的用处可真大，照这样的思路，如果再出现一种新的图形，我们要求它的面积，你会怎么办？ | 1.能够积极思考，踊跃发言。 ☆☆ 2.能说出所学图形和面积的推导过程。☆☆☆ | ||||
问题二：你能用多种方法求出组合图形的面积吗？ | 二、观察思考、探究方法 这个图形的面积是多少？ （一）活动要求： 1.深思熟虑：先独立思考，在探究单上用自己喜欢的方法求这个图形的面积。 2.取长补短：有结果之后同桌交流，说一说自己的方法？ （二）集思广益 方法1：把这个图形转化成长方形+正方形。 师追问：为什么从这割开？这条虚线有什么用？给它起个名字。辅助线为什么用虚线？
方法3：把这个图形转化成长方形。大长方形的面积-小正方形的面积就是这个图形的面积。 方法4：把这个图形的面积转化为一个长方形，长方形的面积是这个图形面积的2倍。 方法5：把这个图形通过割补转化为长方形，长方形的面积就是这个图形的面积。 师生小结：5种方法其实就是3种方法。“分割”（方法1、2）；“添补”（方法3、4）；“割补”（方法5）。一个“割”，一个“补”，一个加，一个减，不管是分割、割补还是添补，我们的目的只有一个，就是把这个图形转化为我们之前学过的图形。 集思广益 分割法
割补法 添补法 | 1.能积极思考，主动探究。☆ 2.能发现组合图形由哪些学过的简单图形组成。☆☆☆
3.能分别求出各部分图形的面积并准确计算出组合图形的面积。☆☆☆ | |||
问题三：生活中的组合图形。 | （三）组合图形在生活中的应用 生活中处处有组合图形的身影，你能在我们的校园中找到这个图形吗？ 小到教室，大到科技发展，都有组合图形的身影，手机安装的SIM卡是组合图形，卫星里的太阳能板也是组合图形。如果告诉你必要的数据，你能求出它们的面积呢？ | 会用数学的眼光发现现实生活中的问题。☆☆☆ | |||
迁移运用 1.旗开得胜 中国少年先锋队的中队旗是五角星加火炬的红旗，如右图。（单位：cm）。怎么求它的面积？ 达尔文说过，最有价值的知识是关于方法的知识，但是在过程中我们也要仔细观察，认真推算，找准必要的数据，才能求出它的面积。 2.自圆其说 阴影部分的面积怎么求？ 一割一补，就把阴影部分的面积转化成了正方形的面积，问题迎刃而解。 四、融通联系，凸显本质 回过头来看看，在图形的面积的知识树上，只有这些图形吗？在学过的基本图形中，我们还没有学过哪些图形的面积？如果要研究圆的面积，你会怎么办？那我们应该把圆转化成什么来研究呢？ 有的同学认为可以把圆转化成长方形，有的同学认为可以把圆转化成三角形，还有的同学认为可以把圆转化成梯形，一切皆有可能！ 五、全课总结、畅谈收获 这节课你学到了什么？不管在数学中还是在生活中，我们都会遇到难以解决的问题，这时候我们可以把这个问题进行转化，转化成我们能够解决的问题，也可以转变我们的思路，以积极、乐观的态度面对生活。 | |||||
成果呈现 割补法 分割法 添补法 | |||||
课外作业 教材99页“练习二十二”第2题，第6题。 | |||||
课题 | 不规则图形的面积 | 课型 | 拓展课 | ||
时间 | 节次 | ||||
设计者 | 李从刚 | 授课对象 | 五年级学生 | ||
学习目标 | 低阶目标 1. 结合具体情境，借助方格图理解不规则图形面积计算方法，经历面积方法的探究过程，渗透数形结合思想。 2. 经历探究多种方法求不规则面积的过程，积累活动经验。 高阶目标 3.渗透数形结合思想，培养学生的观察和推理能力。 | ||||
重难点 | 能通过估一估、算一算等方法，估算树叶等不规则图形的面积。 | ||||
教学过程 | |||||
情境创设 1.今天我们要研究的是不规则图形的面积。 2.追问：现实世界中有不规则的图形吗？ 学生举例：树叶、湖泊、地图、森林等。 教师呈现太湖的卫星地图、市行政区划地图、拍卖的地块等图片。学生用手指沿边线描一下。 3.谈话：不规则图形在生活中随处可见。我们需要知道这些不规则图形的面积吗？4.学生交流想法。 | |||||
问题导学 | 学习活动 | 嵌入评价 | |||
问题一：探究多种方法，积累活动经验 | 1.聚焦实例，呈现问题 谈话：这里有一个具体的不规则图形，看起来像什么？怎样可以得到这个不规则的图形的面积？（学生交流：数方格或剪拼成长方形） 2.沟通旧知，夯实体验 （1）估一估 教师跟进：不借助任何工具，用数学的眼光去观察，先来看一看，估一估。 | ||||
学生完成《导学单》活动一“估一估”。 提示：估计这个不规则图形面积的时候，你以什么为标准？ 学生汇报估计结果。 教师板书学生估计的最大值和最小值。 提问：这样的范围内哪个数值最接近实际的面积呢？通过估一估能不能获得较为精确的结果？（不能） （2）比一比 提问：还可以怎样做？整体上看这个图形像一个什么基本图形？ 学生：长方形。 追问：这个长方形是图形外面的，还是图形里面的？（都可以） 引导：紧贴这个图形在外面画一个长方形，长方形的面积和不规则图形的面积有什么关系？画在里面呢？ 学生：不规则图形的面积比外面的长方形面积小，比里面的长方形面积大。 学生动手在内、外各画一个长方形，量出长方形的长和宽，完成《导学单》活动二“比一比”：这个不规则图形的面积小于（ ），大于（ ）。 教师记录学生测算结果。用长方形来框一框，根据这两个数值再来估计不规则图形的面积，你的结论是多少？ 学生汇报后，教师追问：这个活动对你有什么启示？ （3）数一数 教师：刚才大家提到较为熟悉的数方格方法。怎样数呢？现在就拿出透明的方格纸覆盖在原图上仔细地数一数吧。 学生完成《导学单》活动三“数一数”，并汇报：整格的有（ ）个，不满一格的有（ ）个，相当于（ ）格，一共是（ ）格，也就是说这幅图的面积是（ ）平方厘米。 教师提醒：不要忘了量一下方格的边长，知道一个方格的面积是1平方厘米才能得出不规则图形的面积。 教师提问：还可以数什么？ 学生：数点子图。学习“钉子板上的多边形”时数过。 教师：也就是应用皮克定理来解决这个问题。看图，先把多边形的边线对应格点描成多边形，接下来数什么？怎么算面积呢？ 学生简单说明方法。 引导：如果没有方格纸、点子图怎么办? | 1.能够积极思考，勇于探究。 ☆☆ 2.能根据估一估、数一数、比一比的活动求出不规则图形的面积。 ☆☆☆ | ||||
问题二：整合知识，建构新法 | （1）称一称 教师出示阅读材料《巧木匠称地图》。 教师提问：你觉得他会怎么称？学生讨论后再揭示称地图方法。 演示：拿出两块纸板，哪一块面积大？教师拿出电子秤，师生合作称出质量，哪一块面积大？ 学生上台分别称出多少克，然后学生交流感悟：两块板材质和厚度相同，质量大的面积就大。 追问：要想知道这块板的面积到底是多少，用多少克来说行吗？ 学生：可以再称一块更小的质量。面积是1平方厘米的纸板重多少克。 教师拿出1平方厘米的纸板，学生发现它太小太轻，再称出1平方分米的正方形质量，学生根据质量倍数关系算出纸板面积。 教师总结：称一称就是在质量和面积之间建立起联系，也是一种转化，把一个面积问题转化成为质量问题。 （2）铺一铺 教师：说到称东西，古代有一个非常有名“曹冲称象”的故事。二年级语文课上学过这篇课文，那时我们更多关注字词和故事情节。今天在数学课上再提到曹冲称象，就要研究背后的思想方法。如果把这个不规则图形看作大象的话，你的石头是什么？ 学生讨论：沙子或者小石子、豆子。 教师说明：我们选择花生、黄豆、绿豆、大米等粮食颗粒来代替小石子，你选择哪一种？为什么？接下来怎么做？ 学生：用绿豆铺满图形。不能堆起来，只能铺一层。 教师出示图片：这里铺满了一层绿豆，怎么做才能获得面积呢？ 学生讨论：让绿豆铺的图形变形，变成长方形。 教师出示实验说明书。 学生分组实验，完成《导学单》活动四“铺一铺”，思考并汇报：根据是什么？怎样做误差更小？ 教师总结：借助绿豆密铺实现对不规则图形的化整为零，也实现了图形的变形，就顺利把不规则的图形转化为规则图形。我们的绿豆密铺实验和曹冲称象的数学原理是一样的。 （3）掷一掷 教师：如果绿豆没有这么多，不能实现整个图形的密铺怎么办？ 学生讨论后教师出示图片，启发思考。 教师明确：随机掷绿豆，运用可能性的知识可以推算面积。 教师打开抛豆模拟实验软件：先抛100次，再增加数量（比如100000次），学生根据命中率说出不规则图形的面积。 教师追问：现代科技，不仅改变了我们的生活，也改变着我们解决问题的思路和方法。通过刚才的数学实验，你又有什么新的体会和感受？ | ||||
问题三：比较方法异同，拓展生活运用 | 1.回顾与比较：有哪些方法可以求出不规则图形的面积? 有什么共同点？ 2.反思与质疑：如果不规则的图形很大很大，怎么办？ 教师介绍科学家利用数学方法研发了借助卫星测量土地面积的手机软件。 播放绕校园走一圈、测量校园面积的微视频。 3.实践与延伸： （1）下载“测亩王”APP，沿小区走一圈，看看居住小区有多大。 （2）向家人或朋友讲一讲估算不规则图形面积的多种方法，并选择最有意思的方案一起做。 | ||||
迁移运用 很早以前，世界各国的数学家们都在思考，如何计算不规则版图的面积呢？许多国家的边界线由于受到自然环境等方面的影响，如同蚯蚓般地曲折蜿蜒。多年来，大家一直寻不到一个标准的计算方法，一般都是大致估算一下，粗略地取个近似值。 事有凑巧，我国有一位木匠，听到这样的问题后，专心致志地研究起来。他经过多次的实践，终于发明了一种计算不规则图形面积的方法――“称法”。他巧妙地称出了我国各行政区域的面积。 木匠先精选一块重量、密度均匀的木板，把各种不规则的地图剪贴在木板上；然后分别锯下来，并细心称出每块图板的重量；再根据比例尺算出1平方厘米的重量，用这样的方法，就不难求出每块图板所表示的实际面积了。图板的总重量中含有多少个1平方厘米的重量，就表示多少平方厘米，再扩大一定的倍数，就可以算出实际面积。一张地图、一块木板、一杆秤、一把锯，令人信服地解决了县区面积的计算问题，留下了“巧木匠称地图”的佳话。 这个木匠叫于振善(1909～1971)，是我国著名的“尺算法”发明家和农民数学家。 | |||||
成果呈现 数方格 不规则图形的面积 估一估 实际应用 | |||||
课外作业 教材第100页，“练习二十二”第9题和第10题。 | |||||
