1988年，数学家们曾发起过投票，评选最优美的数学定理，最终获选的是“欧拉公式”（eπi+1=0），那个无心插柳却又精妙绝伦地将五个重要常数蕴含其中的等式。
那么，第二优美的数学定理呢？
答案还是“欧拉公式”，只不过这一次是“欧拉多面体公式”，相比第一个欧拉公式，这一公式或许更加直观和简洁。拿起你身边的一个多面体，无论是小巧的骰子，还是一颗迷人的钻石，你都可以轻松验证这一简单的数学定理：顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）之间存在一个美妙的平衡——
V - E + F = 2
这就是欧拉多面体公式，它以最直观的方式，向我们揭示了数学与现实世界的紧密联系。
但欧拉多面体公式远不止于此。它不仅是几何学的瑰宝，更是通往拓扑学大门的钥匙。在这扇门后，隐藏着正多面体的秘密、足球和穹顶的设计原理、乃至地球上无风之地的奥秘。每一个发现，都是数学与现实交织的奇迹，让人不禁感叹数学的魅力所在。
在《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》这本书中，我们可以一同踏上这场数学之旅。在旅程开始前，我们先来了解它的发现者——莱昂哈德·欧拉。
莱昂哈德·欧拉
传奇人生，最多产的数学巨人
1707 年4 月15 日，莱昂哈德·欧拉出生于瑞士巴塞尔，年幼的欧拉最早是从父亲保罗·欧拉那里学习数学的。虽然保罗并非数学家，但他曾受教于大名鼎鼎的雅各布·伯努利，也曾和约翰·伯努利一起在巴塞尔大学就读。
十四岁那年，欧拉也成为了巴塞尔大学的学生。他致力于学习神学和希伯来语，因为父亲希望他成为一名牧师。然而，他的数学能力引起了约翰·伯努利的注意。他说服了固执的父亲，允许欧拉能自由地学习数学。
1727年，数学巨人艾萨克·牛顿轰然倒下，二十岁的欧拉则开启了自己的数学家生涯。这个起点发生在天寒地冻、离家数千里的圣彼得堡科学院。在那里，欧拉一待就是十四年。他先后担任了数学部门和地理部门的负责人，以惊人的速度发表着研究成果。据说，他在两次被家人提醒吃晚饭的间隙内就可以写成一篇论文。
除了理论研究，他也为俄国的地图绘制和船只制造等事业贡献良多。他的右眼正是在这个时期失明的，他泰然自若地评论道：“这下子能让我分心的事就更少了。”不过，到了1741年，他再也无法忍受俄国凶险的政治氛围了。于是，他决定去往柏林科学院。
初到柏林的欧拉与腓特烈大帝相处愉快。腓特烈把欧拉叫做“我的教授”，欧拉则因此称自己为“世界上最幸福的人”。可惜的是，这种和睦关系并未维持太久。
腓特烈憎恶数学，也不喜欢欧拉那种低调的个性。尽管欧拉在柏林发表了超过两百种成果，也当选为英国皇家学会和巴黎科学院的成员，但他最终还是接受了俄国人的盛情邀请，于1766年再次踏上了前往圣彼得堡的旅途。
重回俄国的欧拉受到了叶卡捷琳娜大帝的极高礼遇，在事业上也一帆风顺。可是，生活中的各种损失也接踵而来。他不仅经历了火灾和妻子的离世，还被白内障偷走了左眼的视力，堕入了完全的黑暗。然而，如同失聪的贝多芬在密不透风的死寂中谱写了传世的交响乐一样，欧拉也在一望无际的黑暗中创造了深刻、优美且常常“可视”的数学。这种产出一直持续到他生命的最后一天。
1783年9月18日，欧拉先是在石板上自娱自乐地计算了热气球上升时的运动规律，随后和朋友及家人共进了晚餐，谈论了天王星及其轨道的计算。不久后，他把孙子叫了过来，一边喝茶一边陪他玩耍。突然，烟斗从他手中掉落，他停止了计算和生命。
欧拉
欧拉一生的著作共计866种，既有专著和论文，也有教材和技术手册，超过了其他任何一位数学家。然而，欧拉的地位之所以重要，并不是因为他的著作卷帙浩繁，而是因为他对数学做出了深刻而有开创性的贡献。他引入了e来代表自然对数的底数，又让π的使用变得流行。他用i来代表√-1。他把一个典型三角形的三边记作a、b、c，又用A、B、C来标示它们所对的角。他还创造了求和符号Σ ，有限差分符号△x，甚至函数符号f(x)。他既是天才也是全才，他的专长横跨数论、分析学、概率论和拓扑学等数学领域，以及光学、电磁学、力学和天文学等应用科学领域。
然而，在欧拉众多的数学贡献中，最简单又最深刻的定理，莫过于“第二优美的公式”——
V - E + F = 2
一个简单的公式，想要证明却费了不少劲
多面体是一种由平坦的多边形面构成的立体。这类立体在生活中有很多，比如金字塔（四面体）、书（六面体）、方盒子（六面体）、宝石和某些碳分子（三十二面体等）等。欧拉发现，多面体的顶点数、面数和棱数之间蕴藏着如下简单明了的关系：
一个顶点数为V、棱数为E、面数为F的多面体满足V - E + F = 2。
我们可以在很多常见的多面体上验证上述结论。举例来说，立方体有8个顶点、12条棱和6个面。因此，它的V=8，E=12，F=6，故有V - E + F = 2。
那么，这个公式是否对所有的多面体都成立呢？
欧拉的证明
从古希腊一直到欧拉的时代，多面体的研究者们都使用了一个不曾言明的假设：多面体是凸的。也就是说，多面体上任意两点间的连线仍然属于该多面体。对于一个凸多面体，欧拉通过切除一个或多个四面体来逐一去掉它的顶点，直到把它变成一个四面体。在此过程中，他仔细考察了每一步操作后顶点数、棱数和面数间的关系，最终证明了多面体公式。
虽然欧拉的证明并不严密，但我们只要谨慎地选择切除策略，就可以补救它。完成这个修正后，我们便可以断言多面体公式对所有的凸多面体都成立了。
从凸多面体到欧拉多面体
在欧拉之后，第一个严格证明多面体公式的人是勒让德。后来，柯西也给出了多面体公式的新证明。有趣的是，他们的证明都可以推广到某一类非凸多面体上。
另一方面，吕利耶、热尔戈纳和黑塞尔等人也构造了一些多面体公式的反例，进一步启发人们思考什么才是“欧拉多面体”，即满足欧拉公式的多面体。到了1847年，施陶特终于在《位置的几何学》里提出了一套用以判断“欧拉多面体”的标准。
至此我们终于知道，欧拉多面体公式不止适用于凸多面体。但这个关于多面体的有趣事实，会有什么实际用途吗？
从一个关于多面体的有趣事实
到开启拓扑新学科
有这么一种说法，一个人对数学的认识越深，就越能领略到欧拉多面体公式的美妙之处。它既是几何的，又是拓扑的；既是基础的，又是深奥的；既是理论的，又是实用的。
足球和穹顶
一些球状碳分子，如富勒烯（C60）和C540，由正五边形和正六边形的碳环组成。我们可以用欧拉多面体公式证明，不管这类结构包含多少个正六边形，它们所包含的正五边形的个数一定是12，这便是“十二五边形定理”。
如果互换定理中面和顶点的角色，我们还能得到短程线穹顶的结构定理。蒙特利尔的“生物圈”博物馆和奥兰多迪斯尼世界的“未来世界”就是以该定理为基础设计的。
富勒烯和足球
短程线穹顶
四色问题
利用柯西对欧拉多面体公式的证明，我们可以把多面体公式推广到图论中。这种简单的推广威力巨大。例如，它帮助数学家们证明了“臭名昭著”的四色问题，即只用四种颜色给地图涂色并使得相邻区域不同色。
用四种颜色给地图涂色并使得相邻区域不同色
给椰子梳头
V - E + F 被称为欧拉数或欧拉示性数。因此，多面体公式其实是在说“欧拉多面体”的欧拉数等于2。如果我们把目光转向其它曲面，我们会发现每一种曲面都有自己的欧拉数。例如，球面的欧拉数是2，环面的欧拉数则是0。
实际上，我们可以借助欧拉数和另一种性质对闭曲面进行彻底的分类。欧拉数也是用以区分纽结的重要标准之一。而只要运用与欧拉数有关的庞加莱·霍普夫定理，你就可以得到“毛球定理”——无论你怎么给一颗椰子梳头，它总有一撮毛是翘起来的。把对象换成地球，那么可以这样表述：任何时刻，地球表面总有一个地点是无风的！
任何时刻，地球表面总有一个地点是无风的
在《欧拉的宝石》这本书中，我们将能够进入那些一般游客无法进入的奇妙场所——图论、纽结理论、微分几何和拓扑学等。这本书围绕欧拉多面体公式及其数学思想，从古希腊数学讲起，直到当代拓扑学的前沿研究，介绍了这一公式的发现及其对拓扑学研究的深远影响。
在这里，你将见证数学家们如何质疑、完善多面体公式，如何推动拓扑学的发展。无论是正多面体的构造，还是争议性的计算机辅助定理证明，亦或是埃米·诺特打破性别偏见的开创性工作，每一个故事都是数学星空中闪耀的星辰。
《欧拉的宝石》不仅荣获美国数学协会的欧拉图书奖（这一奖项颁发给杰出数学书籍的作者，旨在表彰对公众数学观产生积极影响的作者），还与爱因斯坦、费曼、 霍金等杰出的科学家和数学家的著作一起入选了“普林斯顿科学文库”系列书目，这一书目致力于将顶尖科学家的著作带给广大专业人士和普通读者。
中文版的装帧别具匠心。封面使用了250g珠光感特种纸，采用了烫金工艺，捧起本书，你将看到优美定理宛如宝石正在手上闪闪发光。内文采用高克重纯质纸印刷，厚实清晰，让每一次翻页都成为享受。
打开这本书，跟随欧拉，一起去感受这一公式的魅力与背后的故事吧！
END
图书推荐
《欧拉的宝石：从多面体公式到拓扑学的诞生》
