跨越数学的界限:类比走向抽象

文摘   2024-08-30 11:30   江苏  
为什么很多人觉得数学很难?除了诸多外部因素,数学抽象的特点恐怕是最主要的原因了。抽象不是目的,只是因为需要。但是数学也不是一开始就很抽象,而是在人类几千年的探索过程中才变得如此抽象。只不过近一百年数学发展似乎超越了人类前面几千年的探索。喜欢数学人也一定不会觉得这是个异常的现象,这很符合指数发展的趋势,正是有了前面几千年的积累,才有了近一百年的突飞猛进。
我在之前的诸多文章中曾多次通过不同的视角写过:数学其实是由具象逐步走向抽象,很多人恐惧数学,仅仅只是因为没有接受过具象走向抽象这个教育过程。
姑且认为大家已经认可我的观点,那么,我猜,接下来大家应该好奇的问题是:我们到底该如何走向抽象?实际上文章的标题已经给出了一个答案——通过类比走向抽象。
怎么理解呢?
很简单,把一堆事物放到一起对比,寻找其共性,忽略其不相似的细节。有一些青苹果,一些红苹果,如果我们只想知道其数量,我们就可以忽略苹果的颜色,而只关注它们的共性:可以一个接着一个数。这时又有了一些橘子,我们可以忽略苹果和橘子的差异,而只关注它们的共性:可以一个接着一个数。如果又来了一堆石头,我们依然可以重复上述的类比过程,从而逐步走向抽象。
又比如,我在这篇文章中《烧掉数学书,重新发明数学:负数!这个令小学生倍感困惑的概念举过的一些情境。小孩子会玩的走一步退两步的游戏,我们贷款买房大部分人会借债。忽略掉所有的细节,我们只关注这两个场景的共同特点,小孩子一进一退的游戏,会导致其前后两次动作发生相互抵消的行为。我们贷款买房,一借一还两种操作也会发生相互抵消的行为。而这两者的共性就是负数抽象的准则:-1就是能够抵消1的东西。
凡此种种,皆是类比走向抽象,如果我们不能很好地理解数学,那一定是我们没有选择一个合适的类比情境走向抽象的世界。作为教育者,我们的任务就是选择合适的情境帮助学生逐步走向抽象的世界。
当我们理解了类比走向抽象世界,接下来,我们可能会好奇,我们为什么需要类比走向抽象?
我们来看一个数学世界之外的案例,数据库的联合索引,什么是联合索引?索引就像新华字典中的目录,那么,联合索引怎么理解呢?我们是否还可以借助新华字典的目录进行类比呢?
答案是显然的。既然索引和字典的目录具有同样的作用,那么,索引的主要目的就是加速查询,只不过索引是加速数据库的查询速度。

在通过类比理解联合索引之前,我们不妨思考如下几个问题。

假如,我们需要在字典中查找“仙”这个字,我们如何定位呢?第一步,可以通过首字母“x”初步定位,第二步通过第二个字母“i”定位到511页之后,顺着这个思路最终可以定位到在519页和523页之间。

接着,我们思考第二个问题,我们还是在字典中查找“仙”这个字。但是,假如,我们并不知道这个汉字的具体发音,不知道其拼音第一个字母是“x”,只知道后面的拼音“ian”。这种情形下,我们要如何定位呢?这种情况下我们发现,我们需要遍历目录,什么意思呢?因为不知道第一个字母是什么,所以,第一步需要查看首字母是“a”的情况,到字典中查看所有发音是“aian”的汉字,看是否有“仙”这个字。如果不存在,继续寻找首字母是“b”的情况,然后到字典中查看所有发音是“bian”的汉字,看是否存在“仙”这个字......以此类推,一直找到首字母是“x”,方可找到这个汉字。

至此,联合索引的本质就展现在各位读者的眼前,联合索引,就是数据库中多个字段上联合建立起来的索引。比如,数据库某张表有a,b,c,d.....等字段,我们在a,b,c三个字段上建立了联合索引,这就好比字典目录中第一级目录,第二级目录,第三级目录,这就意味着我们在执行数据库查询的时候,查询需要遵循一个顺序,即首先匹配a字段上的索引,然后,再匹配b字段上的索引,最后,再匹配c字段上索引,这就是最左匹配原则。由此,我们还发现了一点,只有第一级索引是全局有序,第二级就是局部有序,后面的都是局部有序。

基于我们上面思考的目录失效的场景,我们理应会想到索引会在某些情形下失效,比如,如果我们查询的条件中没有包含字段“a”的条件,查询条件中只包含“b”和“c”这两个字段,这种情况很好理解,就像通过目录查找“仙”这个字一样,在不知道首字母的情况下,需要查找所有的情况。

这篇文章不是技术科普文章,详情我就不展开论述。不过,我想通过以上类比,我们应该能够理解联合索引的本质。

当然,这不是重点,重点是我们能够理解类比走向抽象的意义。

关于我


每当我看到大家谈“数学”色变,每当我看到世人面对数学时眼中流露出恐惧之色时,我都想告诉他们,他们对数学的感觉是错误的,每当我看到数学被世人误解,总有种痛心的感觉,我想告诉他们数学真实的面貌。所以,我毅然决然地来实现这个梦想,把数学真实的面貌展现给大家,最终,让大家爱上数学。

我主要围绕K12数学从五个维度抽丝剥茧把真正的数学展现给大家。

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