问：1^2+2^2+3^2+...2009^2+2010^2除以4的余数是？
这是一道小学奥数题，余数的概念甚至不是奥数中的概念，一般二年级之后的学生都已经知道了这个概念。但是，如果我们只是死记硬背这个概念，这道题肯定是寸步难行。当然，这种题本身就是给学有余力的学生去探索的。说到小学奥数，一定有人想知道到底要不要学奥数？我并不赞成以灌输知识为目的的小学奥数学习，当然，这是另外一个话题，跟这篇文章的主题不相符，我就暂且不展开详细论述。这是一道很有意思的题目，非常值得深入探索的一道题。但是，这种方法已经超越了小学生的学习范围，所以，我们不朝着这个方向探索。当然，还有一个更重要的原因，因为题目要求的是除以的余数，直觉告诉我们：这道题我们没有必要算出数列的和。
在数学探索过程中，直觉其实很重要，历史上无数经验告诉我们直觉在数学创造过程中起着非常重要的作用，比如，诸多数学猜想就是起源于直觉，只是因为数学呈现出来的是严谨的逻辑推理的结果，让人对数学的本质产生了误会。
当我们的数学经验还不够丰富的时候，我们可能会想到先算几项看看是否有规律,比如，是否有周期性规律。实际上数学家在遇到问题的时候，在没有思路的情况下，也是从特殊情形开始，而后再尝试着从特殊向普遍性进行推广。计算了几项，我们并没有发现周期性规律，至少没有简单的周期性规律，似乎我们的探索失败了。我们不妨换个视角来理解余数的本质。比如，7÷3 = 2…1，我们换个形式看7=2×3+1。14=2×7=2×(2×3+1)=4×3+2，14是有两个余数为1的数相加，其余数等于两个数的余数之和。10=3×3+1，17=10+7=2×3+1+3×3+1，17也是有两个余数为1的数相加，其余数等于两个余数之和。由此，我们是不是可以猜想，两数之和除以同一个数的余数，只和两个余数之和有关系呢？其实，这个推论显而易见是成立的，我们从上面的特例中可以得出更一般的公式，假设数a和b除以n余数为m,且商分别为c和d。那么，a=cn+m,b=dn+m,则a+b=(c+d)n+2m，所以，要想知道两数之和的余数，我们只需要关注其各自的余数之和和除数的关系。顺着这个思路，我们再来看这道题的解法。偶数的情况，(2n)^2/4=4n^2/4=n^2,也就是说，偶数的平方除以4的余数等于零。奇数的情况，(2n-1)^2/4=n^2+4+1/4,也就是说，奇数的平方除以4的余数等于1。所以，我们只需要考虑奇数的情况，一共有1005项，即1+1+...+1除以4的余数等于1。到这里，基本这道题的解法就算完成了。很多人在讲此类题目，只是提供了解法，并没有提供思考过程。然后，这种解法就成为了无源之水，成为了孤立的解题方法。让很多普娃看了之后只留一下一声慨叹：这是哪个天才脑袋中灵光一闪诞生的解法呢？我讲这道题，也并不是为了讲这道题的解法，这个解法实际上并没有太多的意义。实际上，我想讲述的是关于探索的过程。在探索的过程中，我们会走向各种不同的方向。事实上是一步步探索才有了各种神来之笔，而这才是数学的本质，或者说是学习的本质。
每当我看到大家谈“数学”色变，每当我看到世人面对数学时眼中流露出恐惧之色时，我都想告诉他们，他们对数学的感觉是错误的，每当我看到数学被世人误解，总有种痛心的感觉，我想告诉他们数学真实的面貌。所以，我毅然决然地来实现这个梦想，把数学真实的面貌展现给大家，最终，让大家爱上数学。
我主要围绕K12数学从五个维度抽丝剥茧把真正的数学展现给大家。
