上周答案：
712）
令. 找出所有的，使得.
注：为的因子数量。
解：
首先假设 ，则有：
（*）
因此，如果 ，则 。由于 是一个积性函数，函数 也是积性的。然而，如果 且 且 ，那么存在质数 和 ，还有正整数 和 ，使得 ，，并且 ， ，且 和 。
由关系式 可以得出， 必须是 2、4 或 8。因此，，这就是为什么 不能是 2 的幂，且必须满足 。再次使用 ，我们发现 唯一可能的值是 9。
因此，
所以除了 2 和 3 以外，没有其他质数可以出现在 的表达式中作为不同质数幂的乘积。我们得出唯一的解是 ，， 和 。
764）
证明两个三角形数之间的比值不可能为4.
注：三角形数就是形如的数。
证明
假设相反情况，存在正整数 和 ，使得：
也就是说，
由此可以逐步推导出：
这意味着正整数 能够整除 3，这是不合理的，因为 。
本周题目：
792）
找出如下方程组的正整数解：
889）
设是一个正整数，且和是两个质数。证明：
用以上结果证明梅森数是一个合数。
注：梅森数定义为：
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
