上周答案：
150）
证明：如果四个正整数, , , , 满足，则是一个合数。
证明
设 。那么存在两个整数 和 使得 且 和 。因此，由于 ，我们有 ，因此 。由于 ，我们有 ，这就是为什么存在一个整数 使得 。因为 ，因此 。由这些关系可得：
其为两个大于1的整数之积。
238）
埃及人习惯将每一个分数（除 以外）表示为单位分数之和（即，形式为 的分数，其中 为正整数，分母不同）。
(a) 证明由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester, 1814–1897）建立的结果，即每个分数 （其中 且 ）可以表示为若干单位分数的和。
(b) 证明这种表示方式不一定是唯一的。
(c) 证明如果 的形式为 ，则 可以表示为三个不同的单位分数的和。
证明:
(Anglin [2], p. 4).
(a) 我们使用归纳法。假设对于分子小于 的每一个分数该结论都成立（其中 ），并考虑分数 ，其中 ，且 。设 为满足
的唯一整数。
于是我们有 。但是
因此，使用归纳假设，分数 是单项分数之和。此外，这些单项分数中没有一个等于 ，因为 。证明完毕。
(b) 这里确实有一个反例：
(c) 结果可以直接从以下恒等式得到：
备注：Paul Erdős 提出了如下猜想：对于每个整数 ，分数 可以表示为三个不同单项分数的和。
本周题目：
274）
找出最小的整数，使得和都是整数
（难度：较简单）
361）
找出的四个质因子。
（难度：中等）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
