知乎[1]上看到有人问：如下的滚珠游戏，左右各14颗珠子，中间4颗，如果每个珠子都有编号，对任意的初始状态，是否都能把珠子移动到指定位置？
此题看上去很烦，但使用群论处理后出奇得简单，结论是可以做到。
限于篇幅，我假设读者有一些群论的基础知识，尤其是置换群。
首先把游戏换成下图，每个数字表示珠子可以处于的位置：
（我无法调整图片布局，姑且接受这种上下布局状态）
如果定义一次“置换”就是任意的把若干位置上的珠子换到另一些位置上，那么所有这些操作构成了一个对称群，以下记作 ，该群的阶是32!。
但游戏中的操作受限，目测有4个“原子”置换：
上环顺时针转动1格。
上环逆时针转动1格。
下环顺时针转动1格。
下环逆时针转动1格。
但以上的顺指针置换连续执行17次后，效果就等同于一次逆时针置换，所以本质上是2个“原子”置换，这里我选取1和4号置换。
所以问题就变成，利用以上2个原子置换，能否组合出所有的置换？如果可以，则游戏可以达到任何指定的状态，否则不行。
1号置换用循环记号写出就是：
其含义是：15号位换到16号位；16号位换到17号位；17号位换到18号位，...32号位换到15号位。
4号置换用循环记号写出就是：
其含义是：1号位换到2号位；2号位换到3号位；3号位换到4号位，...18号位换到1号位。
现在问题就变为，在对称群 中，使用以上上两个置换为生成元，所生成的子群会是什么样的群？阶数为多少？
借助SAGEMath，可以方便地计算：
sage: S32=SymmetricGroup(32)
sage: UP=S32("(15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32)")
sage: DOWN=S32("(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18)")
sage: HR=S32.subgroup([UP,DOWN])
sage: HR.order()==factorial(32)
True
sage: HR.order()==S32.order()
True
sage: HR==S32
True
以上代码表明，所生成的子群的阶等于 的阶，它本身就是 ，问题解决！
留下一个思考题：
如果两个环之间“共享”的位置不是4个，而是3个或5个或更多，结果会怎样？
一个更有意思的问题是：
对这个游戏，有没有类似于魔方中的速记“公式”，使得我们可以快速完成游戏？
这问题并不简单，利用群论，也确实能帮我们找出一些快捷公式。
谁说抽象代数只是抽象，它也很实用！
知乎: https://www.zhihu.com/question/665554308
