上周答案：
419）
找出所有的整数n，使得的十进制表示中，末尾恰好有57个“0”. 如果末尾是60或61个“0”，答案又如何？
解答:
这些整数 是那些其阶乘 中最大可被 5 整除的幂次决定的。我们正在寻找一个整数 ，使得 ，其中：
如果 ，那么 ；如果 ，那么 。因此，如果 ，我们必须在 之间搜索整数 。
我们写成 ，其中 或 ， 且 。那么
因此， 当且仅当 。由于 ，我们必须有 且 。因此，，其中 。我们得出结论：其阶乘的十进制末尾有 57 个零的整数 是 235, 236, 237, 238 和 239。
第二部分和第一部分的处理方法类似。我们只需要考虑阶乘 中最大可被 5 整除的幂次。例如，当 时：
而当 时，结果为 62。这表明不存在任何整数，其阶乘的十进制末尾零的数量为 60 或 61。
456）
证明函数是积性函数。它是完全积性函数吗？
证明:
若 ，则 ，而当 时，我们有：
因此：
这表示：如果 是一个完全平方数，则该表达式的值为 1；否则其值为 0。即得为积性函数。
但不是完全积性函数，因为。
本周题目：
712）
令. 找出所有的，使得.
注：为的因子数量。
764）
证明两个三角形数之间的比值不可能为4.
注：三角形数就是形如的数。
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
