上周答案：
974）
证明序列： ，，，，...中，包含无穷多的2的幂次数(形如的数)。
证明
（CRUX，1988年，Ed Doolittle的解答）。
首先，我们观察到 的二进制表示包含无穷多个 1：
（否则，从某一点开始，将只有 1，这将暗示 是有理数）。在二进制中，乘以 2 会将小数点向右移动一位，因此：
由于 包含无穷多个 1，因此存在无穷多个整数 ，使得 的二进制表示在小数点右侧有一个 1，之后还会有另一个 1（因为有无穷多个 1）。由此可得 的小数部分大于 。
用 表示 的小数部分，我们证明存在一个集合 ，包含无穷多个整数 ，使得
因为 ，如果 ，则
从而有
因此
若 是整数且 ，则，则有：
因为 ，我们有
这可以写为
由于我们始终有 ，上式可写为
最后，由于 ，我们得到
此关系意味着如果 ，则
由于 的不同取值给 赋予了不同的值，因此集合 生成了所需的幂次序列。
43）
令是一个两位数。是交换的两个数字的位置后所得数字。
证明：9可以整数。找出所有的使得。
证明
我们将 表示为 ，其中 ，，并且 。在这种情况下，，从而证明了第一个结果。
为了找到满足 的整数 ，只需选择 。因此， 的值可以是：
本周题目：
150）
证明：如果四个正整数, , , , 满足，则是一个合数。
（难度：中等）
238）
埃及人习惯将每一个分数（除 以外）表示为单位分数之和（即，形式为 的分数，其中 为正整数，分母不同）。
(a) 证明由詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特（James Joseph Sylvester, 1814–1897）建立的结果，即每个分数 （其中 且 ）可以表示为若干单位分数的和。
(b) 证明这种表示方式不一定是唯一的。
(c) 证明如果 的形式为 ，则 可以表示为三个不同的单位分数的和。
（难度：较容易）
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
