上周答案：
272）
设 和 是正整数，且对某个素数 有 。证明：
注：
在数论中，符号 表示 p 严格整除 n，也就是说 整除 ，但 不整除 。
证明：
我们知道：
在整数 中，那些可以被 整除的数是：，其中 。由于：
由于根据 Wilson 定理，每组整数集合 的乘积对模 同余于 ，因此推导出：
接下来，在整数 中，那些能被 整除的数是：，其中 。因此推导出：
其中. 重复以上步骤，即得结论。
355）
证明序列，中，存在无穷多的合数。
证明：
设 。当 时， 可以写成：
根据问题354，如果 ，这是一个合数。
现在，存在无穷多个正整数 ，使得 对某个正整数 成立。事实上，如果 是奇数，那么 ，这就是为什么所有形如 且 奇数 的数为合数。
本周题目：
419）
找出所有的整数n，使得的十进制表示中，末尾恰好有57个“0”. 如果末尾是60或61个“0”，答案又如何？
456）
证明函数是积性函数。它是完全积性函数吗？
注:
在数论中，积性函数和完全积性函数是定义在正整数上的特殊类型的算术函数，它们在处理质数分解和其他数论问题时非常有用。以下是对它们的介绍：
1. 积性函数 (Multiplicative Function)
一个定义在正整数集上的函数 被称为积性函数，如果它满足以下两个条件：
基本条件：。 积性条件：对于任意互素的正整数 和 ，即 ，有：
换句话说，积性函数在互素的整数乘积上，等于它们各自函数值的乘积。这并不要求对所有整数 和 成立，仅在 和 互素时成立。
2. 完全积性函数 (Totally Multiplicative Function)
一个函数 被称为完全积性函数，如果它不仅在互素整数上满足积性条件，还在所有正整数上都满足积性条件，即对于任意的正整数 和 ，都成立：
换句话说，完全积性函数不要求 和 互素，它对任何整数的乘积都成立乘法关系。
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
