上周答案：
791）
令、为正整数，且。证明，当时，方程有正整数解；时，无正整数解。
证明
由于 ，存在整数 和 ，使得 。方程 的解由 和 给出，其中 。因此，如果 且 ，即当
时，原方程有正整数解。
为了证明至少存在一个这样的 ，我们只需证明:
这个不等式等价于 ，即 。
最后，如果，则; 因为，可得，而这是不可能的。
大老李注：
这道题可以改编为一道趣味题：
某个国家发行了面额为3和5元的纸币，问：用这两种纸币，每种至少使用一张，可以支付什么样的金额？
答案就是16元及以上的全部金额。不知道哪个国家会发行这样的纸币，不过这个国家的人的数学一定会非常好！
888）
令为质数，且。证明，整除如下和式：
其中是勒让德符号，其定义为：
证明：
模 的二次剩余同余于 ，因此
由于，即得整除 的二次剩余之和
本周题目：
6）
证明是的一个因子，其中为整数。
42）
对任意为整数，证明不是完全平方数。
附注：
所有题目源自美国数学会出版的《经典数论中的1001个问题》：
此书模仿“一千零一夜”的体裁，收录了1001道数论的问题。我每周选2道题，翻译后推送给大家，供大家消遣。
原书的题目是按照数论下的话题分类的，为了不至于过于单调，我不会按照顺序出题。也会略过那些太简单或需要编程的题。
一些栏目说明和约定：
每道题之前的编号是书中的题目编号。
自然数总是包括0。
如果未加说明，所有的a,b,c,i,j,k,m,n...等字母都表示整数。
如果未加说明，所有的p和q都表示质数。
