(41Q1)
高层建筑(大楼)在风的作用下会发生晃动. 在同等条件下, 大楼的晃动幅度会变得较大, 影响到安全.
(a)为了减小晃动幅度, 通常会在高层建筑上加装阻尼器, 例如悬点固定在大楼上, 摆锤质量为, 摆臂长度为的摆, 摆臂是刚性的, 质量可以忽略; 大楼在风作用下的运动可简化为谐振子的强迫振动, 谐报子的质量为, 恢复力等效为劲度系数为的弹簧, 大楼在运动过程中可视为刚体. 整个摆和谐振子系统如图l所示, 系统的总质量为与之和. 风可视为水平方向上的强迫力(向左为正),它随时间的变化为
其中振幅和频率均为常量. 重力加速度大小为. 为简单起见, 只考虑摆和谐振子的小幅度振动(因而摆便成为单摆).
i.求谐振子因强迫力的作用产生的稳定振动的振幅.
ii.指出在没有阻尼器的情况下, 风的频率为多大时, 大楼受迫振动的振幅最大? 对此频率的风, 阻尼器应满足何种条件会最大限度地减小大楼的受迫振动?
(b)若风的频率为第(a)ii.问中求出的风的频率的倍, 在没有阻尼器的情况下, 求此时大楼受迫振动的振幅有多大? 若安装的阻尼器参数符合第(a)ii.问中得到的条件, 为了使得大楼在此风的作用下的受迫振动的振幅减到无阻尼器时的1%, 阻尼器的质量应该为的多少倍?
(c)实际的阻尼器还装有其他装置以提供阻尼力, 通常做法是将摆锤浸泡在固定于建筑物上的油池中(相对于建筑物的质量, 油的质量可以忽略; 油池质量可视为已包含在大楼的质量之内). 已知当摆锤与油的相对速度为时, 摆锤受到的阻尼力为
其中为常量. 试写出考虑加上阻尼力后系统的运动方程组(列方程组时不做小幅度近似, 无需求解该方程组), 为简单起见, 假定摆球摆动时, 油可视为相对于油池(固定在大楼上)静止. 试根据你的理解定性分析为什么阻尼力是必不可少的.
