(40Q1)
雨过天晴, 空气内悬浮着大量小水滴, 若阳光从背后以低角度照射, 观察者便可能观察到彩虹(图1a). 有时会同时出现两条彩虹, 内层彩虹称为主虹(1级虹), 它来自阳光进入水滴后的一次反射; 在主虹外边较暗的虹称为副虹或霓(2级虹), 它来自阳光在水滴内的两次反射. 光线在水滴内还可能发生三次及以上的反射, 并产生相应级次的虹. 在自然界中通常只能观察到1级和2级虹,更高级次的虹可以在实验室环境下呈现.
考虑一个球形水滴, 直径为量级. 如图1b, 一根入射光线与球心确定一个平面, 该平面与球形水滴表面相交形成一个圆(大圆), 进入水滴的光线经折射, 反射后的出射光都在此平面内. 把光线在水滴内经过次反射后的出射光称为级光, 出射光相对入射光方向偏转的角度称为偏向角(见图1b).
(a)已知入射光线在水滴外表面上的入射角为, 空气和水的折射率分别为1和 . 试求级光的偏向角的表达式.
(b)当一束单色平行光照射水滴时, 不同入射位置对应不同入射角(见图1c). 当入射角变化时, 级光的偏向角有一极小值, 试求 及其对应的入射角的表达式.
(c)由于色散, 不同波长的光在水中的折射率不同. 对于确定的入射角, 试求级光偏向角对折射率的变化率与入射角的关系式, 并求当取(b)问中的时的表达式.
(d)图1c是单色平行光照射到水滴后出射的1级光示意图, 在1级光偏向角极小值 附近出射的光线较为集中, 即光强较大, 此处出现1级虹, 相应偏向角的极小值为1级虹的偏向角, 类似地为级虹的偏向角. 当白光平行入射时, 取红光和紫光在水中的折射率分别为和, 试分别计算和 级虹的偏向角和以及虹的角宽度, 并分别指出它们从内到外颜色排列的次序. 角度的计算结果以度()为单位, 精确到 .
(e)透过偏振片观察彩虹, 可发现彩虹的光是偏振光. 设入射到水滴的光为单色自然光, 出射光中s偏振(偏振方向垂直于入射面)的光强为, p偏振(偏振方向平行于入射面)的光强为, 光的偏振度定义为. 当入射光为红光()时, 试分别计算和级虹出射光的偏振度.
提示: 当光从折射率为的介质射向折射率为的介质, 入射角和折射角分别为和, 对于s偏振, 反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
对于p偏振, 反射光和折射光的电场振幅与入射光的电场振幅之比分别为
(f)在某些条件下可观察到紧靠虹的边缘出现额外的彩色条纹, 该现象称为``附属虹'', 如图1d所示. 试定性解释附属虹产生的原因.
