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浅浅讨论一个关于ln|1-z|的环路积分

文化 2024-11-22 20:21 吉林

看这个积分：

\int_0^{\pi}{\ln \left( 1-2a\cos \theta +a^2 \right) d\theta}

该积分有多种方法求解，本文将展开很多种技巧或方法来计算该积分，并进行延伸。其实是跑偏了，本来一开始就是这个简单的积分，但后来跑偏了，积分越来越奇怪了。

群友A提供了一本参考书上的方法：

群友B柠檬提供了|a|>1的第二种解法：

因为这个ln里面是距离函数，所以我想到表示成矢量距离或者复数模，我选择用复数表示

其中

r=\sqrt{1-2a\cos \theta +a^2}=\left| 1-z \right|

，于是这个积分就变成了

I=\int_0^{2\pi}{\ln \left| 1-z \right|d\theta}=\oint_{\left| z \right|=a}{\frac{\ln \left| 1-z \right|}{iz}dz}

转换成这个样子其实我并没有什么头绪，群友C鼠鼠提供了一个定理：Jensen’s Formula：

直接使用

\ln \left| f\left( 0 \right) \right|=\sum_{k=1}^N{\ln \frac{\left| z_k \right|}{a}}+\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}{\ln \left| f\left( ae^{i\theta} \right) \right|d\theta}

当

f\left( z \right) =1-z

时，恰好能用，在

\left| a \right|\le 1

时，f(z)没有零点，那么

0=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}{\ln \left| 1-ae^{i\theta} \right|d\theta}, \left| a \right|\le 1

在

\left| a \right|>1

时，有零点z=1，于是

Jensen’s Formula果然很方便，而且很漂亮。

然后我弄了个环路积分

I=\oint_{\left| z \right|=a}{\ln \left| 1-z \right|dz}

出来，群友C也没有找到什么太好的方法和定理，但是结果很简单，他最后用了ln(1-z)的的环路积分和辐角的积分来算，

而这个计算的复杂程度依然很高，甚至比直接展开更复杂了，但是这个式子弄出来了一个积分恒等式：

应该没打错，当然arctan转换成arccos更好。

群友D向老师给出了个力大砖飞的方法：

至此该问题的讨论终结，但我觉得并没有结束，上面那些方法只有Jensen’s Formula是最漂亮的，但是局限性很大，而上面出现过两个积分的区别就在于

被积函数差了个iz，就一个小变动，就没办法使用Jensen's Formula了，但是如果推广呢，又怎么算？比如

I_n=\frac{1}{a^{n-1}}\oint_{\left| z \right|=a}{z^{n-1}\ln \left| 1-z \right|dz}

有通式？又或者没有？也许简单，也许不简单，但是结果非常简单。

因为被积函数中存在

\ln \left| z-1 \right|

，上面的很多分析都是代入的

\ln \left| z-1 \right|

，那如果我们从

\ln \left( z-1 \right)

和

\ln \left( 1-z \right)

出发呢？注意到对数函数的级数展开：

并且

因为积分环路是

\left| z \right|=a

，不妨令

z=ae^{i\theta}

，那么

得到

这形式，多眼熟，就是傅里叶级数展开，正交基是三角函数，在某种意义上，我们计算的积分其实就是在算傅里叶级数展开后的系数，因为有

那么最开始那个积分就是：

而推广的积分，当n≥1时：

注意到

I_n=I_{-n}

当n=0时

于是

就得到这么一个通式。

在最开始拿到这个积分的时候我想的是能不能以勒让德多项式为基展开，但是不太行。

还有其他方法和更有趣的解释吧？可以分享分享。

来做练习吧：

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1Mjk2MTE5OA==&mid=2247510744&idx=1&sn=dceded904abf0ab5fa8c42bb47d210fb

物理是世界上至高无上的艺术。在这里，我会谈论这个世界中最基本的艺术：一种叫做物理学的艺术。这里有宇宙诞生、基本粒子与宇宙结构、天体塌缩到黑洞、黑洞蒸发的故事。我会从大爆炸说起，直到现在，到……未知的未来……以及谈论科学与我们的生活。

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