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经典力学5.0功能原理：动能定理与能量守恒

文化 2024-08-04 10:52 吉林

在经典力学4.0动量中提到了动量的变化是力对时间的累积效应，但在一些问题中，仅仅对时间累积还是不够的。力除了对时间有累积效应，力对空间也有累积效应，而这个效应研究的就是功和能。

说起功和能，最熟悉肯定就是这个形式的动能定理：

i表示初始态(initial)，f表示末态(final)。

如果是恒力做功，记为F，那么它的加速度就是恒定的，记为a，就会有下面这样一个关系

如果是一维运动，就可以写成

于是，整理一下就会有

如此熟悉的形式，这就是匀变速运动速度与位置的关系式，这个式子只适用于匀变速运动。用运动学知识也能得到，但是比较麻烦。

那这个动能定理是如何来的？

冲量是力对时间的累积效应，功和能是力对空间的累积效应，那么我们还是要从牛顿第二定律出发：

两边同时乘dr

再进行积分有

很熟悉的形式，这就是动能定理的积分形式。

其中T=1/2mv²是动能，本系列中动能用字母T代表。

除了积分形式，还有微分形式，两边同时乘dr：

令T=1/2mv²，则有

这就是动能定理的微分形式，即质点动能的微分等于合力对质点所作的元功。

对微分形式积分，就可得到积分形式。

注意能量是标量，不能像矢量那样分解，但可以在不同坐标轴方向上计算后叠加：

和功有关的还有一个物理量是功率，在Δt时间内，力F的元功为ΔA=F·dr，定义单位时间内，力所做的功是平均功率：

Δt无限小时为瞬时功率：

瞬时功率P=Fv就是这样得来的。

既然有力做功，那么还要说一下力，力分为保守力和非保守力（耗散力），像是重力、万有引力、弹簧弹力这类力做功只与物体初末位置有关，而与做功路径无关，就是保守力。像是摩擦力这种力做功与路径有关，其沿闭合路径做功不为0，就是非保守力。

曲线OABCD就是一个闭合路径，从O出发点绕一圈回到O点，保守力做功为0，非保守力（耗散力）做功不为0。

我们用数学形式表述，保守力在任意闭合路径上力做功为0，则有

这是保守力的积分形式判据。根据斯托克斯定理，有

在任意闭合曲线围成的曲面中都成立，则有

这是保守力的微分形式判据。这个式子表述出保守力的旋度为0，即保守力场是一个无旋力场。

在矢量分析中，有

\nabla \times \nabla \varphi

，即标量场的梯度无旋，那么做功与质点运动路径无关的充分必要条件就是：F应为某一标量函数的梯度，即

式中V(r)称为势能。这个负号是为了使牛顿运动定律或机械能的表达式与通常的约定一致而引入的。

就比如重力势能mgh，万有引力势能

-\frac{Gm_1m_2}{r}

，库仑势能，这些势能的表达式最初是从实验中归纳出来的，而在上述数学形式中就会引入一个负号。

我们回过来看力与势能的关系：

由动能定理有

于是就得到

这个式子的意义是如果作用于质点的力都是保守力，则质点的总机械能是守恒的，这就是机械能守恒定律。

如果是质点系在一势场中运动，每个质点对其他质点也有力的作用，就要考虑其他质点对它的势能，最终能得到：

简写为T+V=E（常数），其中

T是质点系总动能，V_k是第k个质点在外力势场中的势能，V_ij是第i个质点在第j个质点的势场下的势能（内势能）。

这个式子表明：如果质点系所受内力、外力都是保守力，则质点系动能、内势能、外势能的总和在运动中保持不变，即机械能守恒。

但一般来说，总内势能不为0，且随时间变化，但如果系统是刚体，那么内势能是不变的，因为势能零点可以任意选取，所以刚体总内势能可取为0，至于刚体内势能为什么不变，到刚体力学中再做说明。

我们总可以把系统体系扩大到使系统不受外力作用的状态（封闭状态），所有的相互作用就变成了内力，对这个系统而言，外力功为0，就会有

或写成

即系统的总能量，包括机械能、内能、其他形式的能（如电磁能、光能、化学能、核能等）保持不变。能量可以从一种形式转化为另一种形式，既不能被创造，也不能凭空消失，并且总能量保持不变，这就是能量守恒定律。

能量守恒定律的出现沟通了力学与其他学科之间的联系，并说明了能源的丰富性，将能量守恒定律应用到热力学上，就是热力学第一定律，意味着第一类永动机不可能建成；热力学第二定律又宣告着第二类永动机不可能建成。

相关话题与文章：经典力学，麦克斯韦妖

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物理是世界上至高无上的艺术。在这里，我会谈论这个世界中最基本的艺术：一种叫做物理学的艺术。这里有宇宙诞生、基本粒子与宇宙结构、天体塌缩到黑洞、黑洞蒸发的故事。我会从大爆炸说起，直到现在，到……未知的未来……以及谈论科学与我们的生活。

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