代数几何中的曲面专题（第一篇）：曲面上的几何（上）

写在前面：欢迎关注"研数学 习物理" !

我们打算利用7月和8月把最后一章——曲面的内容更新完成！主要还是简单地补充一下原文中的一些不那么详细的地方以及修改部分笔误 . 本文是代数几何中的曲面专题的第一篇 , 主要内容是曲面上的几何中的相交重数 , 原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：

曲面上的几何(上)

在上一篇文章《代数几何中的曲面专题启动篇之曲面上的几何(开篇)》中 , 我们设 为一曲面 , 对于 上的任意两个除子 , 则可以用 来定义相交重数 , 然后有下面的定理 .

定理1：设 为一曲面 , 对于 上的任意两个除子 , 用 来表示它们的相交重数 , 则存在一个唯一的相交配对 满足

(i) 如果 和 为非异曲线且它们横截相交 , 那么 , 其中 表示 中的点的个数 ;

(ii) 具有对称性 , 即 ;

(iii) 具有可加性 , 即 ;

(iv) 依赖于线性等价类 , 即如果 , 那么有 .

在证明该定理之前 , 我们需要一些辅助性的结果 , 事实上证明的主要工具是《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十五篇：微分(上)——微分形式模与微分形式层》中的定理18—— Bertini 定理 , 即利用它把任意的除子在线性等价的意义下表示为非异曲线的差 .

引理2：设 为曲面 上的非异曲线 , 且 是一极丰沛除子 , 则完全线性系 中几乎所有的曲线 均为不可约非异曲线且与每个 横截相交 , 其中 .

证明：我们利用极丰沛除子 , 将曲面 嵌入到射影空间 中 , 同时对曲面 以及曲线 应用《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十五篇：微分(上)——微分形式模与微分形式层》中的定理18—— Bertini 定理和《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第七篇：Serre 对偶定理(上)》中推论9的一些补充说明 , 就可以推出几乎所有的 为曲面 中的非异曲线且 也是非异的 , 即相交重数为 的一些点 , 这意味着这些 与 横截相交 . 值得注意的是 , 如果我们事先并没有假设 为非异曲线 , 那么直接根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十五篇：微分(上)——微分形式模与微分形式层》中的定理18—— Bertini 定理的一些补充说明可知 , 即使 上包含有限个奇点 , 那么 Bertini 定理仍成立 , 这是因为包含 的任意一个奇点的超平面的集合是 的真闭子集 .

引理3：设 为曲面 上的一条不可约非异曲线 , 为任意一条与 横截相交的曲线 , 则 , 其中 为对应于曲线 在曲面 上的可逆层 , 而 则表示可逆层 在曲线 上的次数 .

证明：根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第九篇：除子(3)—— Cartier 除子与可逆层》中的命题18可知 , 是曲线 在曲面 上的理想层 , 故可以利用 作张量积后得到一正合序列 , 这里的 表示概形式相交 , 于是 是曲线 上对应于除子 的可逆层 , 注意到 是横截相交 , 那么除子 的次数 正好是交点的个数 .

有了上面的准备后 , 我们可以证明定理1了 .

先证明唯一性 . 回忆一下我们曾经在 Noether 概形 上的丰沛可逆层和极丰沛可逆层的一些性质 , 即

(i) 如果 为丰沛可逆层以及 为整体截影生成的丰沛可逆层 , 那么 为丰沛可逆层 ;

(ii) 如果 为丰沛层以及 为任意可逆层 , 那么对于充分大的 使得 为丰沛可逆层 ;

(iii) 如果 和 均为丰沛可逆层 , 那么 为丰沛可逆层 ;

(iv) 如果 为极丰沛可逆层以及 为整体截影生成的丰沛可逆层 , 那么 为极丰沛可逆层 ;

(v) 如果 为丰沛可逆层 , 那么存在 使得对所有的 有 为极丰沛可逆层 ;

其中对于性质(iv)和(v) 成立的前提是 是 Noether 环 上的有限型概形 .

固定曲面 上的一个丰沛除子 , 同时给出 的两个除子 满足存在整数 使得 , 和 均为极丰沛除子 . 事实上我们可以选取 使得 , 和 均为由整体截影生成的丰沛可逆层 , 这一点可以根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)——丰沛可逆层(强可逆层)》中的定义1得到 . 接下来根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)——丰沛可逆层(强可逆层)》中的定理6可知 , 我们还可以选取 使得 为极丰沛层 , 然后就根据上面的性质(iv)推出当 时有 , 和 均为极丰沛层 , 进而 , 和 均为极丰沛除子 .

现在根据引理2可知 , 选取非异曲线 满足 , 且横截于 , 且横截于 , 以及 且横截于 与 , 于是有 和 , 进而根据定理1中的性质(i)到(iv)就可以得到

这表明任意两个除子 的相交重数完全由定理1中的性质(i)到(iv)所确定 , 因此相交配对也是唯一的 .

至于存在性 , 我们采用同样的方法检验上面 的表达式中的每一项都是具有明确含义的 , 为了方便起见 , 证明过程分两步进行 . 令 为极丰沛除子构成的集合 , 此时 是一个锥 , 从某种意义上讲 , 任意两个极丰沛除子的和仍是极丰沛除子 , 而对于 则可以定义相交重数 为选取 为非异曲线 , 也是非异曲线且横截于 , 那么 .

如果想要证明这个定义是良定义的 , 那么应该先固定非异曲线 并令 为另一条横截于 的非异曲线 , 故根据引理3可知 , 同样对于 有类似的等式 , 即 , 由于 , 故有 , 于是可以得到 , 这意味着相交重数 的定义与 的选取无关 , 现在假定 为另一条非异曲线 , 同理可知 均横截于 以及 , 此时类似于前面的证明结果 , 限制在曲面 上就给出 .

现在我们得到了一个良定义的相交配对 , 显然它具有对称性 , 且由它的定义可知它仅依赖于除子的线性等价类 , 根据引理3可知 , 由于 且在曲线上次数是可加的 , 故它具有可加性 , 再从构造的本身就可以看出 上的这个相交配对满足定理1的性质(i) . 然后我们要在整个 上定义相交配对 , 设 是任意两个除子 , 仿照之前的证明方法 , 即根据引理2可知 , 选取非异曲线 满足 , 且横截于 , 且横截于 , 以及 且横截于 与 , 于是有 和 , 其中 全部在 中 , 那么就可以定义

而如果我们有另外的表达式 和 , 其中 均为极丰沛除子 , 那么可以推出 和 , 进而根据在 上的相交配对的性质可知

这样一来 , 上面的证明过程中我们所得到的关于 的两个表达式是相同的 , 因此就证明了相交配对 在整个 上是良定义的 . 事实上我们还可以根据本身的构造以及 中相应的性质可知 这个定义满足性质(ii)到(iv) , 而对于性质(i) , 我们只需要再次利用引理3即可 , 因此该定理得证 .

既然已经定义了相交配对 , 但要是有一种方法能不移动曲线就能计算相交重数就非常有用了 , 于是设 为无公共不可约分支的曲线且点 , 此时我们再次定义 和 在点 处的相交重数 为 的长度 , 其中 分别为 在点 处的局部方程 , 则该长度等于 -向量空间的维数 .

命题4：设 和 是曲面 上无公共不可约分支的曲线 , 则有 .

证明：类似于证明引理3的过程 , 令 为对应于 的 上的可逆层 , 则得到正合序列 , 这里的 是一个概形且它的支集是 中的点 , 不妨记作点 , 而对任意的这样的点 的结构层为 -代数 , 于是有 . 另一方面可以根据上面的正合序列的上同调群来计算 , 即有 , 事实上对于凝聚层 , 我们用 来表示它的 Euler 示性数 . 这意味着 的表达式仅依赖于 的线性等价类 , 由对称性可知 , 它也依赖于 的线性等价类 , 然后将 或 替换为非异曲线的差 , 即 和 , 这就类似于定理1的证明过程那样 , 使得 相互横截 , 这样就可以看出 等于 , 即 .

下面我们来看几个例子 .

例1：设 为曲面 上的任意一个除子 , 我们定义自相交数为 , 不过即使当 是 上的非异曲线也不能直接同命题4的方法直接计算自相交数 , 而必须用线性等价的方法 , 根据引理3可知 , . 下面我们重新解释这个公式 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第九篇：除子(3)—— Cartier 除子与可逆层》中的命题18可知 , 由于 在曲面 上的理想层 为 , 故有 , 于是根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的定义6可知 ,   的对偶层同构于法层 , 进而得到 .

例2：设曲面 , 则 , 取一直线的等价类 为生成元 , 由于任意两条直线为线性等价且两条不同的直线只相交于一个点 , 故有 , 通过线性性质可知 , 它决定了 上的相交配对 , 如果 为 次曲线而 为 次曲线 , 那么有 和 , 此时 , 而如果 和 无公共分支 , 那么这个结果可以用命题4中的局部相交重数来解释 , 从而得到了《Hartshorne 的代数几何专题中的代数簇(第七篇)——射影空间中代数簇的交》一文中推理8—— Bézout 定理的另外一种新的证明方法 .

例3：设 为 中的非异二次曲面 , 则根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第七篇：除子(1)—— Weil 除子》中的例5和例6可知 , , 我们取 -型直线 和 -型直线 为生成元且它们属于不同的直线族 , 由于属于同一直线族的两条直线互为交错而在不同直线族中的两条直线相交于一点 , 故得到 , 和 , 这就定义了曲面 上的相交配对 , 事实上当 为 -型曲线以及 为 -型曲线时则有 .

例4：利用自相交数可以定义曲面的一个新的不变量 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十五篇：微分(上)——微分形式模与微分形式层》中的定义3和《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的定义5可知 , 令 为 的微分层以及 为典则层 , 则对应于 的除子线性等价类的任意一个除子 成为一个典则除子 , 而典则除子的自相交数 依赖于曲面 . 设曲面 和 , 则 , 如果 为 中的非异二次曲面 , 那么 为 -型除子 , 那么 .

命题5(相伴公式)：设 是曲面 上亏格为 的非异曲线 , 为 的典则除子 , 则有 .

证明：根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十六篇：微分(下)——微分形式模与微分形式层的应用》中的命题20可知 , 有 , 再根据《代数几何中的曲线专题(第一篇)：Riemann-Roch 定理》中的例1可知 , 有 的次数为 , 另外由引理3就可以推出 , 这就给出了曲面上曲线的亏格的快速计算方法 .

下面我们再来看两个例子 .

例5：设 为 中的 次曲线 , 则有 , 故 .

例6：设 为非异二次曲面上的 -型曲线 , 则 为 -型曲线 , 故 , 于是 .

参考文献和推荐阅读：

Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .