一、简答题(每题6分,共30分)
1.波函数在数学上需要具有什么性质及其物理上的起因。
2.厄米算符有什么性质,为什么力学量算符是厄米算符?
3.写出自旋算符与轨道角动量算符各分量间的对易关系。
4写出两个电子体系总自旋为1和0时的自旋波函数,并描述它们的对称性。
5.写出动量与坐标的不确定关系,并用其估算一维无限深方势阱中粒子的几台能量,假定阱宽为a,粒子质量为m。
二、解答题
6.在二维Hilbert空间中,基矢是
,一个物理体系的哈密顿算符可以写成,算符,如果体系的初态是A的一个本征态,求体系状态随时间的演化情况。
7.质量为m的小球被限制在半径为r的圆周上运动:
(1)在势作用下,求能量本征值和本征函数(类比一维无限深势阱); (2)如果粒子开始处于上一问情形下的基态,突然势在整个圆周上变为0,求粒子处于最低能态的概率。
8.A,B是厄米算符,且有关系，，A,B的本征态不存在简并。
(1)给出A表象中算符A,B的表达式,并求出B的本征态;
(2)给出B表象中算符A,B的表达式,并求出A的本征态;
(3)给出A表象到B表象的变换矩阵S。
9.三维各向同性谐振子(自然角频率为ω0,质量为m)的第一激发态是三重简并的。计算由于微扰(b是常数)引起的这三重简并的能量的一级修正和相应的波函数。已知对一维谐振子
10.测量一个电子(处于自由空间)自旋的z分量,发现是
(1)接着测量自旋的x分量,可能得到什么结果? (2)得到这些结果的概率是多少? (3如果沿方向测量,各种可能值的概率是多少? (4)在第三问中自旋测量期待值是多少?
11.两个质量均为m的粒子束缚于一个一维谐振子势中,并且通过一个简谐吸引力相互作用(假定K相对k来说较小)。
(1)该系统最低的三个能量态的能量是多少?
(2)若粒子是全同无自旋，第一问中三个态哪些态是允许的?
(3)若粒子是自旋为1/2的全同粒子，写出最低三个能量态的总波函数，并确定各态的总自旋。
