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经典力学8.0守恒律与对称性

文化 2024-08-28 17:12 吉林

看到这个文章题目，肯定会想，守恒律与对称性有什么关系？

在之前的文章中，我们提到了动量守恒定律、能量守恒定律以及角动量守恒定律（分别在文章4.0动量定理与守恒、5.0功能原理、6.0角动量定理中已说明）。

实际上，守恒定律不止这些，在流体力学中，有着质量守恒定律，在电磁理论中，还有电荷守恒定律，这两个都是连续性方程。在非平衡态统计力学中，还有相空间的守恒，它是使用Vlasov方程描述：

f是粒子数密度。

在量子力学与粒子物理里面，有新的对称性，奇异数守恒、重子数守恒、宇称守恒等等。

而对称性（Symmetry）这个概念在中学数学就有过，中心对称、镜面对称、旋转对称等等。

在物理上，系统从一个状态变换到另一个状态，如果这两个状态等价，则系统对这一变换操作的对称的。对称性使用群论来描述

对称性与守恒律又有何联系呢？

建立起两者关系的是德国数学家EmmyNoether发现的，这个定理叫做诺特定理，是理论物理的中心结果之一，这里就不细说了，只给出诺特定理得出的结论：

严格的对称性 — 严格的守恒定律

近似的对称性 — 近似的守恒定律

分析力学中使用哈密顿量对对称性与守恒定律的描述是：

时间平移对称性对应能量守恒定律

空间平移对称性对应动量守恒定律

空间旋转对称性对应角动量守恒定律

时间平移对称性也是时间均匀性。

空间平移对称性也叫空间均匀性。

空间旋转对称性也叫空间的各向同性。

时间平移对称性，就是系统在不同的时间上的一个力学属性不会发生变化，能量就是如此，体现了时间均匀性。

空间平移对称性，系统在不同的位置上的一个力学属性不会变化，就是动量守恒，体现了惯性系中的空间均匀性。

空间旋转对称性，是指系统在不同的朝向上的一个力学属性不会发生变化，也就是角动量守恒，体现了空间的各向同性。

哈密顿量又如何应用呢，在分析力学中，一个力学量A与哈密顿量H的泊松括号结果为0，即

那么说这个量A是守恒的。

经典力学中泊松括号的定义：

泊松括号在量子力学中也有也有很大的应用，狄拉克发现在量子力学中的力学量的对易关系与经典力学中的泊松括号非常像，于是他创立了量子泊松括号，也就是对易子，首先看量子力学中的对易关系为：

那么量子泊松括号就是

与经典力学的结论相似，因为经典泊松括号与量子对易关系恰好差了一个角动量的量纲，于是会出现

i\hbar

，那么在量子力学中与哈密顿量对易就意味着：

即A是守恒量。

广义相对论中每一个Killing矢量场的存在也都对应着一个相应的守恒定律。

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1Mjk2MTE5OA==&mid=2247510055&idx=4&sn=66506e490edb84e8bce4e5b049ada303

物理是世界上至高无上的艺术。在这里，我会谈论这个世界中最基本的艺术：一种叫做物理学的艺术。这里有宇宙诞生、基本粒子与宇宙结构、天体塌缩到黑洞、黑洞蒸发的故事。我会从大爆炸说起，直到现在，到……未知的未来……以及谈论科学与我们的生活。

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