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我们打算利用7月和8月把最后一章——曲面的内容更新完成！主要还是简单地补充一下原文中的一些不那么详细的地方以及修改部分笔误 . 本文是代数几何中的曲面专题的第二篇 , 主要内容是曲面上的几何中的 Riemann-Roch 定理 , Hodge 指数定理以及 Nakai-Moishezon 判别准则，原文源于 Hartshorne 的经典著作《代数几何》 , 更多精彩内容请关注：
曲面上的几何(下)
我们紧接着《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》一文继续讨论 . 现在开始考虑曲面上的 Riemann-Roch 定理 , 对曲面 上的任意除子 , 设 , 则有 , 其中 为 的完全线性系 . 下面我们定义剩余量(superabundance) 为 , 采用这个概念的原因是在上同调理论出现之前 , Riemann-Roch 公式仅给出了 和 的表示形式 , 而剩余量则是 Riemann-Roch 公式中无法保持不变的量 , 事实上我们还需要回顾一下域 上 维射影概形 的算术亏格为 , 特别地当 为曲面时 , 曲面的算术亏格 . 有了上面的准备后 , 我们就可以给出曲面上的 Riemann-Roch 定理了 .
定理6( Riemann-Roch 定理)：如果 是曲面 上的任意一个除子 , 那么有
证明：根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第七篇：Serre 对偶定理(上)》中的推论7—— Serre 对偶定理可知
故我们可以看到上面要证明的等式的左端正好是 Euler 示性数 , 于是我们要证明对任意的除子 有
既然上式的两边都依赖于除子 的线性等价类 , 那么可以仿照《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中定理1的证明过程那样 , 将 改写为两条非异曲线的差 , 即 , 下面我们开始计算 . 由于 和 的理想层分别为 和 , 然后利用 作张量积后就得到了两个正合序列 , 即
又因为 在短正合列上具有可加性 , 所以我们可以推出
将上面两式相加后得到
另一方面由曲面的算术亏格 的定义可知 , 然后对曲线 和 使用《代数几何中的曲线专题(第一篇)：Riemann-Roch 定理》中的定理3——曲线的 Riemann-Roch 定理以及《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中的引理3去计算次数就有
接下来再根据《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中的命题5——相伴公式来计算 和 的亏格 , 即 和 , 最后我们就得到了
这就是我们想要的结果 .
下面我们要对上面的定理6——曲面的 Riemann-Roch 定理作一些说明 . 事实上还有一个公式可以作为曲面的 Riemann-Roch 定理的重要组成部分 , 即 , 其中 为曲面 的切层上的第二 Chern 类 , 这个结果也是广义 Grothendieck-Hirzebruch-Riemann-Roch 定理的推论 . 而作为曲面的 Riemann-Roch 定理的应用 , 我们需要证明 Hodge 指数定理与 Nakai-Moishezon 的丰沛除子判别准则 . 在本文后面的讨论过程中值得注意的是 , 如果在曲面 上取定一个极丰沛除子 , 而 在 中的次数为 , 那么相交重数 恰好等于曲线 在由 决定的射影嵌入 中的次数 , 特别地 是一个正数 , 更一般地在取定曲面 上的丰沛除子 后 , 相交重数 的作用相当于曲线上除子次数的作用 .
引理7：设 是曲面 上的一个丰沛除子 , 则存在整数 使得对任意除子 , 如果满足 , 那么 .
证明：根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第七篇：Serre 对偶定理(上)》中的推论7—— Serre 对偶定理可知 , 在曲面 上对于任意的除子 有 , 如果 , 那么除子 为有效除子 , 于是 , 此时 , 故只需要令 就可以推出矛盾 , 因此就得到了相要的结果 .
我们可以对引理7作一些说明 , 这个结果可以看作 为曲线时的某个结论在曲面情形时的类比 , 即存在整数 使得当 时有 , 就是《代数几何中的曲线专题(第一篇)：Riemann-Roch 定理》中的例2的结果 .
推论8：设 为曲面 上的丰沛除子 , 而 为任意除子且满足 和 , 则对所有充分大的 , 为有效除子 .
证明：我们对 利用定理6—— 曲面的 Riemann-Roch 定理 , 由于 , 故对于充分大的 有 , 其中 为一整数 , 根据引理7可知 , 注意到 , 那么根据定理6—— 曲面的 Riemann-Roch 定理可知 , . 又因为 , 对于充分大的 , 上式的右端也可以充分大 , 即当 或 时 , 特别地对所有充分大的 均有 为有效除子 .
下面我们来看一个比较重要的定义 .
定义：曲面 上的一个除子 , 如果对所有的除子 均有 , 那么称除子 数值等价于零除子 , 记作 , 如果对任意两个除子 满足 , 那么称 和 为除子之间的数值等价 , 记作 .
接下来我们来讨论 Hodge 指数定理 .
定理9( Hodge 指数定理): 设 是曲面 上的丰沛除子 , 而 是一个满足 和 的除子 , 则有 .
证明：我们不妨考虑反面情形即 , 于是就有两种情况 . 如果 , 令 , 类似于《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中定理1的证明那样 , 对于充分大的 , 由于 是丰沛除子 , 故 也是丰沛除子 , 注意到 , 那么根据推论8可知 , 对充分大的 有 为有效除子 , 考虑到 为除子 的倍数定义的射影嵌入 , 就可以得到 , 进而有 , 这和已知条件矛盾 . 如果 , 那么根据 可知 , 存在除子 使得 , 接下来用 代替 , 则有 , 那么可以进一步假设 , 继续令 , 于是 和 , 由于 , 故可以适当地选取 使得 , 然后将上面的证明过程应用于 , 即令 , 类似于《代数几何中的曲面专题(第一篇):曲面上的几何(上)》中定理1的证明那样 , 对于充分大的 , 由于 是丰沛除子 , 故 也是丰沛除子 , 注意到 , 那么根据推论8可知 , 对充分大的 有 为有效除子 , 考虑到 为除子 的倍数定义的射影嵌入 , 就可以得到 , 进而有 , 这和条件 矛盾 .
下面我们来解释该定理的名称的含义 . 设 为 中数值等价于零除子的除子类的子群 , 且令 , 显然相交配对 诱导出一个非退化双线性配对 . 我们回忆一下 Néron-Severi 定理的内容为除子的代数等价类群 为有限生成 Abel 群 , 于是这个群也称为 Néron-Severi 群 , 由于 是 Néron-Severi 群的商群 , 从而它是有限生成的自由 Abel 群 , 故可以考虑 上的向量空间 以及它诱导的双线性形式 , 根据 Sylvester 定理可知 , 这样的双线性形式可以对角化使得在对角线上的元素仅为 且 和 的个数均为不变量 , 而 的个数与 的个数之差则称为这个双线性形式的符号差或指数 . 因此在这个意义下 , 定理9表明对角化后的相交配对只有一个 , 它对应于 的某个实数倍数 , 而其余的均为 .
我们继续来看一个有趣的例子 .
例7：设 为 中的非异二次曲面 , 我们取 为 -型曲线 , 为 -型曲线 , 则 , , 且 是 的一组基 , 这时数值等价于零的除子是 , 故有 , 而在 上的配对是由一组基 所对角化 .
最后我们来讨论 Nakai-Moishezon 判别法 , 这是关于丰沛除子判别准则 .
定理10( Nakai-Moishezon 判别准则): 曲面 上的除子 为丰沛除子 , 当且仅当 且对 中所有不可约曲线 有 .
证明：首先必要性是十分 trivial 的 . 因为如果 为丰沛除子 , 那么对某个整数 使得 为极丰沛除子 , 此时 就是相应的射影嵌入 中的次数 , 而 就是 的次数 , 它们都必须是正数 .
接下来我们来证明充分性 . 设 且对所有的不可约曲线 有 , 如果令 是曲面 上的一个极丰沛除子 , 那么 就可以用一条不可约曲线来表示 , 由于 , 故根据推论8可知对于某个整数 , 倍数除子 为有效除子 , 于是就可以用 来代替 , 此时 为有效除子 , 进而可以将 视为曲面 上的一条曲线 , 只不过这条曲线可以是奇异曲线 , 也可以是可约曲线 , 甚至可以设非既约曲线 .
下面我们要证明 在除子概形 上是丰沛层 , 故只需要证明 在既约除子概形 上为丰沛层即可 , 而如果 是不可约曲线 的并 , 那么只需证明 在每条曲线 上为丰沛层即可 , 进而如果 为曲线 的正规化 , 那么我们更只需证明 为 上为丰沛层即可 , 毕竟 是有限满态射 , 然而次数 恰好等于相交重数 , 这是因为我们可以将 表示为两条非异曲线之差 , 且这两天曲线均与 横截相交 , 于是 保持次数不变 , 注意到次数为正数即 , 这时根据《代数几何中的曲线专题(第三篇)：曲线在射影空间的嵌入(上)》中的推论3可知 , 在非异曲线 上为丰沛层 , 因此 在 上为丰沛层 .
然后我们继续证明对于充分大的 , 为整体截影生成 , 利用正合序列 , 以 作张量积就可以得到它的上同调的正合序列为
由于 在除子概形 上为丰沛层 , 故根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第五篇：射影空间的上同调》中的命题3可知 , 当 充分大时有 , 于是对所有的 均有 , 注意到它们是有限维向量空间 , 那么这些维数最终都必须相等 , 进而对所有充分大的 , 映射 为满射 , 又因为 在除子概形 上为丰沛层 , 所以对所有充分大的 , 层 为整体截影生成 , 事实上这些截影可以提升为 在曲面 上的截影 , 那么根据 Nakayama 引理可知 , 的整体截影生成 中的每一个点处的茎 , 但是 的截影只能在 上为零 , 故我们证明了 处处为整体截影生成 .
最后固定一个 使得 为整体截影生成 , 根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十篇：射影态射(1)——从概形到射影空间上的态射》中的定理1可知 , 我们可以得到一个由 定义的射影态射 , 下面要证明射影态射 具有有限纤维 . 如果射影态射 不具有有限纤维 , 那么在曲面 上有一条不可约曲线 使得 为一个点 , 此时在 中截取一个超平面不经过这个点 , 于是存在一个有效除子 且满足 , 进而有 , 这和对所有的 满足 矛盾 , 因此射影态射 具有有限纤维 . 根据《从经典代数几何到现代代数几何——层与概形的上同调理论第十四篇：形式函数定理》中推论5—— Stein 分解定理可知 , 是一个有限射影态射 , 那么再次根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十篇：射影态射(1)——从概形到射影空间上的态射》中的定理1可以推出 , 进而有 , 而 为曲面 的丰沛层的充要条件为 为曲面 上的丰沛除子 , 因此该定理的充分性证毕 .
让我们用一个有趣的例子来结束本文 .
例8：设 为 中的非异二次曲面 , 且 为 -型有效除子 , 其中 , 则根据《从经典代数几何到现代代数几何——概形理论第十一篇：射影态射(2)——丰沛可逆层(强可逆层)》中的例4可知 , 为丰沛除子当且仅当 和 , 此时 对所有的非异曲线成立意味着 . Munford 给出了一个例子却说明了存在曲面 上的一个除子 对于一切不可约曲线 满足 但 , 进而推出 不是丰沛层 , 详情可以参考 Hartshorne 的专著《 Ample Subvarieties of Algebraic Varieties》 .
参考文献和推荐阅读：
Robin Hartshorne . Algebraic Geometry . Graduate Texts in Mathemarics . Springer . Vol . 52 .
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