网传一道极限题

文化 2024-11-18 17:40 吉林

看这个网传的一道极限

$\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{n}\int_0^{\infty}{\left( \frac{\sin x}{x} \right) ^ndx}$ 我不知道为什么会有这个极限题，既然我看到了，那就搞吧！

你有思路吗？

这个积分 $\int_0^{\infty}{\left( \frac{\sin x}{x} \right) dx}$ 肯定会算，非常简单，那么被积函数乘个n次方呢？

注意看 $I\left( n \right) =\int_0^{\infty}{\left( \frac{\sin x}{x} \right) ^ndx}$ 这个积分值在n很大的时候收敛的很快啊，大部分的值就在0到pi之间，甚至主要就在0附近，既然有这个性质，那就好办了！我们不是要求极限吗？这我就不需要去计算这个积分值了，直接计算这个积分函数在n→∞的渐近线！

计算这个函数的渐近线的方法我写过：“积分函数的渐近线：最速降线法”，感兴趣的就去回顾一下，可以计算很多积分函数的渐近线，比如伽马函数、贝塞尔函数等。

所以我直接使用最速降线法来找这个函数的渐近线

$I=\int_0^{\infty}{\left( \frac{\sin x}{x} \right) ^ndx}=\int_0^{\infty}{e^{n\ln \frac{\sin x}{x}}dx}$ 当n足够大，满足最速降线的条件，其中 $f\left( x \right) =\ln \frac{\sin x}{x}$ ，直接给出结果（略过了一些过程）：

$\lim_{n\rightarrow \infty} I\left( n \right) =\sqrt{\frac{\pi}{2n\left| f^{\prime\prime}\left( 0 \right) \right|}}=\sqrt{\frac{3\pi}{2n}}$ 其中可计算 $f^{\prime\prime}\left( 0 \right) =-\frac{1}{3}$ ，于是极限

$\lim_{n\rightarrow \infty} \sqrt{n}\int_0^{\infty}{\left( \frac{\sin x}{x} \right) ^ndx}=\sqrt{\frac{3\pi}{2}}\approx 2.1708$ 两步秒了，你拿去做数值模拟，或者用wolfram alpha/mathematica算个n=10、100、1000、1000……的，这结果绝对准。

懂了吗？没懂就重新学吧！

相关阅读: 积分函数的渐近线：最速降线法 ←可直接跳转

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1Mjk2MTE5OA==&mid=2247510641&idx=1&sn=821258c5cca4228aadad6c3ffd612b6b

Cosmos and Us

物理是世界上至高无上的艺术。在这里，我会谈论这个世界中最基本的艺术：一种叫做物理学的艺术。这里有宇宙诞生、基本粒子与宇宙结构、天体塌缩到黑洞、黑洞蒸发的故事。我会从大爆炸说起，直到现在，到……未知的未来……以及谈论科学与我们的生活。

最新文章

网传一道极限题

新闻？搞点无聊的东西

3.7：由吉布斯熵公式推导系综

3.8：等温等压系综

数理表情包VI：学不完了

标准宇宙学模型的一些时期

知识永不完结！

数理表情包V：硝苯氮

部分思考问题的提示与解答241113

广义相对论24：水星近日点进动与验证

狭义相对论前传V：部分拖曳假说与裴索实验

English to English I

广义相对论23：史瓦西时空中的自由落体与圆周运动

中科大2019年617普通物理A考研题

认识物质变化之窗——广义热力学方程组

公共数学资料（高数线代概率论）

数理化自学参考资料（高中和大学）

别吵了！

结束了，但是还没结束

The Elements Song

AI元年

“苹果落地”的热力学诠释

它来了，它带着OCR来了！

第四类永动机为何不能实现

自然现象的热力学原理

代数几何中的曲面专题（第一篇）：曲面上的几何（上）

代数几何中的曲面专题（第二篇）：曲面上的几何（下）

是否应有热力学第四定律与第五定律

1.8Maxwell总结的电磁现象最初的20个方程

椭球摆

一种余热资源再利用的热力循环及实现循环的热气机

经典力学6.0角动量：角动量定理

经典力学8.0守恒律与对称性

经典力学8.1力学守恒律与几何

论工程热力学方程组在提升热气机效率上的作用

开放性物理思考问题v240827

希腊字母读音

关于工程热力学统一理论的思考

南京大学2023年802普通物理

李政道逝世（1926.11.24-2024.8.4）

中科大2024年828量子力学考研题

中国科学院大学2024年811量子力学考研题

经典力学5.0功能原理：动能定理与能量守恒

文章更新周期、公式显示bug等说明

西安交通大学2023年722量子力学考研题

中科大2024年617普通物理A考研题

中科大2020年617普通物理A考研题

公众号文章目录20240715版

潮汐锁定——为什么月球只有一面朝向地球？

中国科学院大学2022年811量子力学考研题

分类

时事

民生

政务

教育

文化

科技

财富

体娱

健康

情感

旅行

百科

职场

楼市

企业

乐活

学术

汽车

时尚

创业

美食

幽默

美体

文摘

原创标签

时事社会财经军事教育体育科技汽车科学房产搞笑综艺明星音乐动漫游戏时尚健康旅游美食生活摄影宠物职场育儿情感小说曲艺文化历史三农文学娱乐电影视频图片新闻宗教电视剧纪录片广告创意壁纸头像心灵鸡汤星座命理教育培训艺术文化金融财经健康医疗美妆时尚餐饮美食母婴育儿社会新闻工业农业时事政治星座占卜幽默笑话独立短篇连载作品文化历史科技互联网

发布位置

广东北京山东江苏河南浙江山西福建河北上海四川陕西湖南安徽湖北内蒙古江西云南广西甘肃辽宁黑龙江贵州新疆重庆吉林天津海南青海宁夏西藏香港澳门台湾美国加拿大澳大利亚日本新加坡英国西班牙新西兰韩国泰国法国德国意大利缅甸菲律宾马来西亚越南荷兰柬埔寨俄罗斯巴西智利卢森堡芬兰瑞典比利时瑞士土耳其斐济挪威朝鲜尼日利亚阿根廷匈牙利爱尔兰印度老挝葡萄牙乌克兰印度尼西亚哈萨克斯坦塔吉克斯坦希腊南非蒙古奥地利肯尼亚加纳丹麦津巴布韦埃及坦桑尼亚捷克阿联酋安哥拉