经典力学8.1力学守恒律与几何
文化
科学
2024-08-28 17:12
吉林
我们在力学中常见的守恒律有三个：能量守恒定律、动量守恒定律、角动量守恒定律。考虑一维的完全弹性碰撞体系，两体的能量守恒就是机械能守恒把它们放一起看，一个是两个速度的平方，一个是一次方，为了方便观看，我们换元一下： 直线与圆交于两个点，这两个点分别代表碰撞前后的状态。这个方法可用于碰撞产生π的那个问题，碰撞产生π的问题是3Blue1Brown的一个视频，也有好几年了，在网上也能搜到不少解答以及推广。（我也跑过程序，但是找不到了）如果系统中有其他条件能使两个物体多次碰撞并且总能量不变，那就多画几条直线：如果是三体碰撞，圆就变成了球面，N体碰撞，动能守恒就是N维空间中的球面。不过不是一维的动量守恒就麻烦了，会多出来很多必要的约束，因为每个动量守恒方程实际上是三个分量方程。然后再看角动量守恒 ，如果没有外力矩的条件下，质点匀速运动，相对于O的角动量守恒：那么每隔相同时间，构成的如上图中的不同颜色的三角形面积相同，或者说是面积变化率是常数： 这个结果应该很熟悉，因为在天体运动的开普勒问题中的开普勒第二定律就是掠面速度，也恰好就是 开普勒问题依旧是角动量守恒。不难想象角动量守恒与掠面速度的关系。对于一个三角形，我们可以通过两边及其夹角求其面积：这就是一个三角形的面积，当有其中一边比如b边以恒定速度v延长，即 ，三角形的实时面积就是 它与角动量只差了一个质量乘积，完全可以代替角动量，如果速度是恒定的， dS/dt就是一个常量。
