广义相对论23：史瓦西时空中的自由落体与圆周运动

文化 2024-11-10 15:59 吉林

接上文“广义相对论22”，有质量物体在史瓦西时空中的运动方程：

$\frac{1}{2}\left( \frac{dr}{d\tau} \right) ^2+\frac{1}{2}\left( 1-\frac{2GM}{rc^2} \right) \left( c^2+\frac{l^2}{r^2} \right) =\frac{1}{2}\frac{\epsilon}{c^2}^2=\varepsilon$ 引力场中自由落体的初始条件是角动量为零，并在运动过程中角动量守恒，始终都是零，可以由

$\left( \xi _{\mu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \right) _t=-c\left( 1-\frac{2GM}{rc^2} \right) \frac{dt}{d\tau}=-\frac{\epsilon}{c}$ 分析，如果无穷远处作为初始条件或者某观测者与粒子初始位置相同，那么 $\epsilon =c^2$ ，则有

$\frac{1}{2}\left( \frac{dr}{d\tau} \right) ^2+\frac{1}{2}\left( c^2-\frac{2GM}{r} \right) =\frac{1}{2}c^2$ 即

粒子的四速度就是

$u^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\tau}=\left( \frac{c}{1-\frac{r_s}{r}},-c\sqrt{\frac{r_s}{r}},0,0 \right)$ 其中 $r_s=\frac{2GM}{c^2}$ ，在后面将看到它定义为史瓦西半径，粒子向内运动，选择负号，解得

$\frac{2}{3}\left( r^{\frac{3}{2}}-{r_0}^{\frac{3}{2}} \right) =-\sqrt{2GM}\tau$ 从空间中一点由静止开始运动的粒子在有限固有时下到达天体表面或中心。

但对于无穷远静止观测者（史瓦西观测者）观测该事件使用的是坐标时

$\frac{dt}{d\tau}=\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}=\frac{dt}{dr}\cdot \frac{dr}{d\tau}$ 解得坐标时

当粒子接近史瓦西半径时

$\lim_{r\rightarrow r_s} t\rightarrow \infty$ 这意味着在史瓦西观测者看来，物体将经过无穷大的时候才能到达史瓦西半径。

在相对论中，时间是相对的，选取不同的时标就有不同的结果，在史瓦西时标或者空间中任一位置的观测者的时标中，物体落入史瓦西半径的时间是无限长的，或者说永远不会落入史瓦西半径，而在固有时标中，物体会在有限的时间内落入史瓦西半径甚至天体中心。

这个问题在牛顿万有引力定律中是不存在的。

最初探讨时标相关的问题其实是芝诺悖论：阿喀琉斯能否追上乌龟？正常时标和芝诺时标的结论是不一样的。（参考：芝诺的乌龟）

在经典力学的中心力场中，讨论了几个宇宙速度，我们研究一下逃逸速度，在牛顿框架下的逃逸速度是

$v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 表示在R处发射一个航天器（物体）仅在引力下运动到无穷远所需要的最小发射速度。那么在广义相对论框架下，逃逸速度会变成什么样子。

这个问题相当于把上面的自由落体问题反过来，因为史瓦西天体是没有转动的，粒子到达了无穷远，那么至少具有守恒能量密度 $\epsilon =c^2$ ，发射初始四速度

$u^{\mu}=\left( \frac{c}{1-\frac{r_s}{R}},c\sqrt{\frac{r_s}{R}},0,0 \right)$ 在R处有一静止的观测者（发射器参考系），观测者的四速度是

$u_{o}^{\mu}=\left( \frac{c}{\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}},0,0,0 \right)$ 在“狭义相对论24”中对能量进行了定义：

$E=-p_{\mu}u^{\mu}$ 可以计算观测者观测到的粒子的初始能量

$E=-mu_{\mu}u_{o}^{\mu}=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{r_s}{R}}}$ 在发射器参考系中，可以局域闵氏近似得到

$E=\gamma mc^2=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ 得到

$v=c\sqrt{\frac{r_s}{R}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$ 与牛顿万有引力的结果一致，当R在r_s处时，v=c，逃逸速度是光速，这个半径也成为史瓦西半径，依然与牛顿引力给出的结论一致。

史瓦西时空中存在稳定的圆周轨道在

$r_+=\frac{l^2}{2GM}\left[ 1+\sqrt{1-12\left( \frac{GM}{lc} \right) ^2} \right] >\frac{6GM}{c^2}$ 处，满足关系

$r^2-\frac{2l^2r}{r_sc^2}+\frac{3l^2}{c^2}=0$ 就可以得知稳定圆周轨道的角动量与r的关系

$l^2=\frac{r_sc^2r^2}{2r-3r_s}$ 在史瓦西参考系中

$\omega =\frac{d\varphi}{dt}=\frac{d\varphi}{d\tau}\cdot \frac{d\tau}{dt}$ 对于运动物体的固有时和坐标时的关系：

$\frac{d\tau}{dt}=\sqrt{-g_{\mu \nu}\frac{dx^{\mu}}{cdt}\frac{dx^{\nu}}{cdt}}=\sqrt{\left( 1-\frac{r_s}{r} \right) -\frac{r^2}{c^2}\left( \frac{d\varphi}{dt} \right) ^2}$ 和守恒量

$\left( \xi _{\mu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda} \right) _{\varphi}=r^2\frac{d\varphi}{d\tau}=l$ 代入得到

$\omega =\frac{l}{r^2}\sqrt{\left( 1-\frac{r_s}{r} \right) -\frac{r^2}{c^2}\omega ^2}$ 解得

这是一个很熟悉的结果，注意在牛顿引力下圆周运动的角速度和半径的关系是

$\omega ^2=\frac{GM}{r^3}$ 这个关系也就是开普勒第三定律。

又是一个相对论和牛顿力学相同的结果，这是巧合呢？还是必然呢？后续在某一篇中我会总结给出经典力学和相对论结果的对比。

稳定圆周物体的四速度

$u^{\mu}=\frac{dr^{\mu}}{d\tau}=\left( \frac{dt}{d\tau},0,0,\frac{d\varphi}{d\tau} \right) =\frac{dt}{d\tau}\left( 1,0,0,\omega \right)$ 其中

那么四速度就是

$u^{\mu}=\left( 1-\frac{3GM}{r_+c^2} \right) ^{-\frac{1}{2}}\left( 1,0,0,\omega \right)$

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzI1Mjk2MTE5OA==&mid=2247510260&idx=1&sn=91881c018bcecd7664eb9b4b2e07ef46

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