聊聊小初高各个阶段的数学计算问题
教育
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2024-10-03 07:07
湖北
计算是数学学习、数学考试中很重要的一部分，以至于我们以前对小学数学会用算术来指代。当然在现如今，随着小学数学教材的编写不断进步，算术已经不再是小学数学的全部内容，几何、概率、统计等其他数学内容，都在其中有所体现，甚至所占的比例还比较高，难度也有所深化。但我们依然可以说，计算是小学数学的主要组成部分，计算能力的培养是小学数学学习的重要目标。当然这一结论并不仅仅适用于小学，初中、高中的数学学习和测试中，对计算能力的培养和考察始终占据着非常重要的地位。虽然由于初高中数学学习的内容越来越丰富，计算所占的比例逐渐下降，但其重要性仍然是毋庸置疑的，只不过考察的形式和小学会有区别而已，作为一项能力，始终是初高中数学考试的考察重点之一。作为一项贯穿小初高数学学习的重要内容，计算在不同的阶段呈现出不同的形态，考察重点也在不断的变化，今天我们就分阶段的来聊一聊计算这件事。引用我之前文章的渣图，大家可以看一下小学阶段数学涉及到计算的课程内容（人教版）：
因为这是之前文章中的截图，所以还包含了其他内容，但小学六年所有的计算内容也都包含在里面了，而且很显眼，占据了绝大部分篇幅。
从中我们可以发现，小学数学的计算教学是循序渐进的，系统的进程。这对于学生的学习非常友好，但也意味着牵一发而动全身，一个环节出现错误，可能就会导致出现问题。比如我们看小学一年级会学10以内数的分解，看上去很简单。但它是10以内减法的基础，是20以内进位加法凑十法的基础。而20以内进位加法其实又是之后100以内进位加法、10000以内进位加法的基础。甚至也可以说是两位数乘一位数及更复杂的乘法的基础。而乘法又是除法的基础，比如三位数除以两位数，你看上去除法，但其实考察的仍然是乘法——两位数乘一位数。所有有时候孩子在某一块计算出了问题，我们追溯起来，可能会发现在很久以前就埋下了隐患。所以对于小学数学中的计算学习，可以提前，因为要面对小奥学习中对计算的高要求，但最起码在同步课内的时候，一定要保证计算无死角，即能够稳定、准确、迅速的解决计算问题。这个能力也是初中数学计算学习的基础——熟练掌握基本的有理数混合计算，是小学数学到最后起码要具有的能力。不仅指有理数计算，更多的开始涉及到代数式，从多项式、分式的计算、因式分解到方程、不等式的解决。小学的计算已经是默认具有的能力，初中计算的重点在于对规则的运用，技巧的掌握，是数学知识、数学解题过程中的有机组成部分。考察幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、二次根式的混合运算．如果说上道题目是对计算的直接考察，这道题目就是对计算规则的考察。考察二次函数的图像特征，但你说这是不是计算，当然也算，而且是综合性的计算——带入坐标解方程，寻找定点横坐标，带入计算。标准的计算题，考察了实数的运算、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值。核心是平面几何相似问题。但其中涉及到根式方程的设立和求解。核心是二次函数的综合问题，但涉及到范围的判定，韦达定理，两点间距离公式的应用。整体总结下来，计算在中考试卷（满分120分）中直接、间接合在一起所占的比例大概在60分左右，基本上和代数所占的比例一致。当然如果将几何与概率统计中涉及到的基本计算和在一起，那么分值就更高了，但是也没有什么意义就是了。通过这份试卷的实例我们就可以发现，在初中数学里，直接计算就是实数的计算以及整式、分式的计算、化简。
但在考察的时候，更多的是以对于规则的应用和掌握，比如解不等式、解方程、化简等，甚至还包括其引申——对于参数的设置和讨论，构造方程等。所以在这一块如果计算出现错误，要么是基础不扎实，要么是概念不清楚，要么是注意力不集中或者心理因素，一般是三者的综合。
而且我们会发现，初中的计算考察是融合在题目中的，单项考察的计算题目很少，更多的是像空气和水一样融入试卷中，这就是对计算的定位——必备的基本能力。
但不是说它在高中就不重要，之后我也会利用高考试卷来说明，其实计算所占的分值比例还是不低的。不是说高中就不学新的计算知识，比如高中还要学习集合计算、分数指数幂、解不等式、对数运算、复数运算、向量计算等内容——要么和初中数学联系紧密，要么其实无非是新的规则加初中计算知识的集合。但是高中的计算更突出工具性，应用性，综合性，也会有直接考察的题目，但很少单独考察了。这两道题也是在高考试卷中比较常见，又比较少见的直接考察计算的题目。考察了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式。考察了向量的数量积。其实更多的是对数量积法则的考察。考察利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式和分类讨论思想方法，虽然是解不等式的题目，但其实是考察的对函数性质的掌握。考察对新定义“信息熵”的理解和运用，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用。考察抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式等知识。考察三角函数在实际中应用，对阴影部分合理分割，进行求解。考察直棱柱的结构特征、直线与平面垂直的判定、立体几何中的轨迹问题，还考察了扇形中的弧长公式。
考察利用空间向量求线面角，利用基本不等式求最值。需要在这里说明的是，现在的立体几何越来越侧重于用向量计算。考察导数几何意义、利用导数研究不等式恒成立问题，考察综合分析求解能力，分类讨论思想和等价转化思想。考察椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题。最后这两题都涉及到大量的计算，整式、分式运算、化简，解不等式等等。通过这份试题，我们会发现，计算出现的比率很大，依然很重要，但考察的形式更加多样，所直接占据的分值比例越来越少，更多的是以规则——运算法则、性质定理的形式出现，更多的融入题目整体之中。高中数学更强调解决问题的思想方法和思路，计算——调用各种计算相关的知识和能力，是实现思路的工具。通过今天的文章我们可以发现，计算从小学开始到高中，是在不断的演进，以不同的形式和要求出现在各个阶段的数学学习中，希望今天的文章能够对大家把握认识整个小初高的计算有帮助。![]()
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