该文章根据 Nam （1987） 的结果计算 Cochran-Armitage 检验的线性趋势的功效和样本量。可对未校正和连续性校正检验进行渐近和精确功率计算。结果假设比例在logistic尺度上遵循线性趋势，其中 X 是协变量（或剂量）变量，并且随机样本是从 k 个单独的总体中抽取的。
Hypothesis Tests
One-Sided Test of Increasing Linear Trend in Proportions
One-Sided Test of Decreasing Linear Trend in Proportions
Two-Sided Test for Linear Trend in Proportions
The power for the previous test statistics that are based on the normal approximation can be computed exactly using the binomial distribution. The following steps are taken to compute exact power.
One-Sided Test of Increasing Linear Trend in Proportions
One-Sided Test of Decreasing Linear Trend in Proportions
Two-Sided Test of Linear Trend in Proportions
The power for the Cochran-Armitage test can be computed quickly using the normal approximation to the binomial distribution. The following steps are taken to compute approximate power.
One-Sided Test of Increasing Linear Trend in Proportions
One-Sided Test of Decreasing Linear Trend in Proportions
Two-Sided Test of Linear Trend in Proportions
Example 1
正在设计一项实验，以确定特定药物是否存在剂量反应关系。研究人员将以三种剂量水平给药：对照（无药物）、低剂量和高剂量。低剂量正好是高剂量的一半，因此剂量结构是等距的。他们希望找到 0.05、0.15 和 0.25 的反应比例，分别对应于对照、低和高三种剂量。alpha 水平为 0.05 的双侧检验将与连续性校正的 Cochran-Armitage 检验一起使用。他们希望计算以 30 到 70 名受试者大小相等的小组进行研究的功效。
第一步：参数录入
精确功效计算的最大组样本数量
当所有组样本数量都小于或等于此量且所有组样本数量小于精确功效计算的最大组数量乘积时，将使用二项分布进行精确功效计算。否则，将使用二项式的正态近似值来计算功效。
建议此选项的值较大会大大增加计算功效所需的时间，尤其是在搜索样本数量或 k 较大时。对于较大的样本量，基于正态近似的功效非常接近精确功效。建议将此值保持在 50 以下。
用于精确功效计算的最大组样本数量乘积
当所有组样本数量乘积小于此数量且所有单个组样本数量都小于最大组样本数量时，将使用二项分布进行精确功效计算。否则，将使用二项式的正态近似值来计算功效。
此选项用于减少计算时间，并避免在大样本量和/或大 k 的情况下耗尽内存。增加此值将增加计算时间。
建议此选项的大值会大大增加计算功效所需的时间，尤其是在搜索样本数量或 k 较大时。对于较大的样本量，基于功效的正态近似非常接近精确功效。我们建议在求解功效和贝塔时将此值保持在 1000 万以下，在求解样本数量时保持小于 100 万。
第二步：结果输出
所需的样本量为每组 85 人或 255 名受试者。
继续示例 1，考虑使用不等距剂量水平的影响：0、2 和 5。由于剂量的间距不相等，我们将使用未校正的 z 检验进行功效计算。但为了和示例1比较样本量大小，本文采用的是连续校正。
第一步：参数录入
第二步：结果输出
Unequally Spaced X Values填入后，相同参数下，example2比example1，增加267-255=12例受试者。
Take home message：
1. H1: Increasing or Decreasing Trend对应是双侧；H1: P1 < P2 < ... < Pk对应是an increasing linear trend in proportions；H1: P1 > P2 > ... > Pk对应是a decreasing linear trend in proportions；critical value值不同。
2.精确功效计算的最大组样本数量建议将此值保持在 50 以下。
3. 精确功效计算的最大组样本数量乘积，我们建议在求解功效和贝塔时将此值保持在 1000 万以下，在求解样本数量时保持小于 100 万。
4. Unequally Spaced X Values的样本量大于Equally Spaced X Values。
5.连续性校正是指从 z 值的分子中添加或减去 Delta/2，以使正态近似值更接近二项分布；Delta 计算为相邻 X 值之间的平均差值；如果 X 的间距相等，则 Delta 等于相邻 X 之间的差值 （Delta = X（i+1） - X（i））。在间距不等的X的情况下，Nam（1987）指出，“对于不等间距的剂量，没有恒定的校正足以满足所有结果。因此，我们建议在等间距 X 的情况下使用连续性校正检验，但要注意不要在等距 X 的情况下使用它。
参考文献
PASS说明书
Nam, J. 1987. "A Simple Approximation for Calculating Sample Sizes for Detecting Linear Trend in Proportions". Biometrics 43, 701-705.
