投入产出模型的基本假定

前述文章已经介绍了投入产出模型的基本概念、存在性和价格模型，但是一个非常重要的问题还没有被提及，任何经济模型的根本特征都蕴含于其基本假定之中，我们尚且没有说明投入产出模型的基本假定是什么，这势必导致深入分析的困难，譬如我们在之前的分析中其实潜在地默认了投产表是一个方阵，万一它不是方阵呢？所谓的“生产部门”又到底是什么，中间流量矩阵中的元素到底是什么？我们认为A反映了生产技术，那么岂不是说技术不变就意味着投产比不变，A会是固定的吗？如果A是固定的，那岂不是意味着投入之间是不可替代的，如果引入生产函数来解释的话，我们实际上使用了固定比例生产函数吗？由于基本假定的缺失，我们前面的介绍多少有些“不言自明”的意味，这些问题就被掩盖起来了，本节的目的在于说明投入产出模型的基本假定，为后续分析奠定基础。

我们先来看投入产出分析的基础：投入产出表，为了更好地介绍，这里不再使用简化投产表，而是截取现实中使用的投入产出表的一角来辅助说明

上图为国家统计局发布的2020年全国投入产出表部分内容，根据国家统计局的说明，该表为产品部门×产品部门表，什么是产品部门呢？国家统计局的解释是：产品部门分类遵循同质性原则，即消耗结构相同、生产工艺技术相同和经济用途相同的原则，一个产品部门就是满足上述同质性原则的同类产品组成的产品群，相关的标准为《统计用产品分类目录》。

与产品部门相近的概念的是产业部门，根据国家统计局的解释，产业部门分类是按照主产品同质性原则，把从事相同或类似活动的产业活动单位归为一个产业，相关的标准为《国民经济行业分类标准》，这也是实践中更常用的核算分类(当然投入产出核算也是我国国民经济核算体系中的一部分)。

由此我们可以知道投入产出表中的“生产部门”的特点所在了，即它是一个“产品部门”，部门所生产的是满足“同质性原则”的一类产品，这一要求被称为纯部门假定。

假定1 纯部门假定

投入产出表中的部门分类遵循同质性原则，即消耗结构相同、生产工艺技术相同和经济用途相同的原则，一个产品部门就是满足上述同质性原则的同类产品组成的产品群

为什么我们要特别要求纯部门假定呢？这是因为我们希望用直接消耗系数矩阵A来反映生产技术，技术在短期内应当是稳定的(并非固定，我们当然也可以基于A的变化来研究技术变化)，因此我们希望A只会因为技术变化而发生变化，如果生产部门所生产出的产品不是“纯”的，那么A中元素的改变完全有可能只是因为对应部门的“混成产品”的混成比例发生了变化，致使原有的投产比不能保持。

不过需要说明的是，由于统计上的困难，完全纯粹的产品部门是难以得到的，因此可以看到投产表中不乏xx业产品部门，但与真正的国民经济行业分类标准相比，投产表中的产业经过了一定调整使其接近纯产品部门，譬如标准的产业分类中建筑业反映的是建筑企业的活动，而投产表中的建筑业包含了其他行业中发生的与建筑相关的活动。在实际研究中，为了经由统计局的投入产出表得到的产品分类更细致的投产表，也存在着一些拆分方法，相关内容会在后续的实证文章中介绍。

在说明了“生产部门”的内涵之后，我们来考察直接消耗系数矩阵，或者说“技术矩阵”(加引号是因为仅仅是技术的一部分)，我们可以设想一个非常一般的经济生产模型，有种生产活动，生产出种产品，一种生产活动可以生产出不止一个产品，一种产品也可以对应不止一个生产活动，前者称为联合生产(joint production)，而这样的模型我们称之为多部门生产模型(multi-sector models of production)，如果我们进一步要求生产活动是线性的，即第种产品的净产出可以表示为第个生产活动与某个实数向量的内积，那么我们就可以称之为多部门线性模型(multi-sector linear models of production)。

可以设想，考虑联合生产的情况下，若将作为A的第列，那么A实际上代表了一些生产集，中元素的经济意义为“净产出”，其既可以是正的，也可以是负的，当然也可以是零。

值得说明的是，联合生产是一个很重要的问题，其不仅是在实践中普遍存在(编制投产表时也需要考虑对联合产品的处理)，而且在理论上也颇具价值(斯拉法体系就基于联合生产)，但是为了简化分析，我们暂且不考虑联合生产问题，而是引入如下假定。

假定2 方阵系统假定

(1)每个生产活动只生产一个产品，也即不存在联合生产

(2)每一产品由唯一的生产过程来生成

满足上述假定的情况下，A就成为了一个方阵，我们也就从一个多部门线性生产系统简化到了方阵系统(square systems of production)，同时我们也可以给其中的元素严格地作出投入和产出的区别，因此才可以解释为第个生产过程为生产一单位产品所消耗的产品。

这样的简化是很有用的，因为在投入产出分析的体系中，联合生产并不是一个很好讨论的问题，后续的一些结论在联合生产的情况也能得到，但要走的路却数倍于此，故在大多数情况下，我们都只考虑方阵系统。

在严格明确了投产表的基本概念之后，我们可以看看我们用投产表反映了什么样的技术。如本文开篇所提到的，我们实际上使用了固定比例生产函数的假定，也称为列昂惕夫生产函数，该函数的形式为，其中表示部门对部门的投入，表示直接消耗系数，特别地，表示劳动初始投入和劳动直接消耗系数。

假定3 固定比例生产函数与规模报酬不变假定

投入产出模型基于固定比例生产函数，且具有规模报酬不变(constant returns to scale,CRS)的性质

规模报酬不变是固定比例生产函数的自然推论，稍后我们会看到这条性质的作用，而现在我们需要指出的是，所谓固定比例生产函数与其说是假定，但其实它还不够基本，我们知道对于大多数新古典的生产函数来说，生产要素之间都是具有一定可替代性的，而固定比例生产函数完全不具有替代性，但实际上这只是对投入产出模型中的生产过程之中各产品间不可替代性的描述。回顾投入产出模型的根本特征——循环流的视角，所有产品的生产实际上是相互嵌套的，没有任何一种产品只作为投入存在，这里并不存在严格意义上的“生产要素”，仅有初始投入是例外的。在上一篇文章中我们已经提到过，劳动是没有对应的生产部门的，是外生给定的，如果我们将劳动视作唯一的初始投入，那么一切产品实际上都可以还原为劳动，劳动是唯一的生产要素，任何对产品最终需求的变动都可以化归为劳动投入的改变而非技术矩阵A的改变，也就是说，在此种情况下，A是稳定的，不受最终需求结构的影响。

上述结论可能有些反直觉，一般来说，最终需求结构会影响技术选择是一个很符合直觉的假定，譬如人们更偏好资本密集型的产品，那么技术也会偏向资本密集型，但是在投入产出模型中这并不成立，假定初始投入仅有劳动的情况下，技术选择的结果将会是固定的，这就是下面将要介绍的无替代定理(non-substitution theorem)

无替代定理

首先说明一下将要使用的符号，我们以和分别表示总产出和最终需求，以表示劳动直接投入系数，并且假定劳动总量为，直接消耗系数矩阵为，自然地，所有向量在无特别说明时都默认为列向量。

现在我们假定劳动为唯一的初始投入，经济可以存在“浪费”，即净产出大于最终需求，且劳动消耗量小于劳动总量，这同时也是生产可行约束，用矩阵表示为如下形式

将第部门的两种直接消耗系数合并为，称其为第部门的活动(activity)，将各部门的活动合起来写作，称该矩阵为技术(technology)，我们给出一个简单的技术非负限定：且。考虑技术选择，令第个部门可选择的所有活动为集合，即，每个技术都满足技术非负限定。

进一步引入给定技术下最终需求的可行域，记作，也即

如果我们可以找到一个技术，无论最终需求如何变化，我们都可以通过该技术来生产出这么多产品，而无需变更技术或采取某种替代，也即对于任意，有，这样就意味着“无替代性”了，下面给出正式的定义

定义1 无替代性

存在一个技术，使得任意技术的下的最终产品可行域含于，也即

如果可以找到技术使得无替代性成立，那么必然是因为这种技术足够好，或者说成本足够低，事实上，由于真正的生产要素只有劳动一项，一切产品都可以还原为劳动，那么劳动就是唯一的成本，因此这样的技术一定是消耗劳动最少的，可以称该技术为优势技术(dominant technology)，我们接下来要做的就是证明优势技术的存在性。

为简便起见，不妨将劳动的价格记作1，则价格向量就是各产品与劳动的相对价格，特别地，为了方便表示，和上一篇文章一样将价格向量定义为行向量，由此我们可以说优势技术需要满足成本最小化的性质，即

在此基础上，我们引入技术对应的均衡价格(equilibrium prices associated with this technology)，所谓均衡指的是经济利润为零，即

可以注意到这也就是价格方程

如果技术及其对应的均衡价格满足上面的成本最小化性质，则称其为竞争均衡(competitive equilibrium)，下面将要证明，竞争均衡下的技术是优势技术，使得无替代性成立，证明思路来自于Johansen

定理1 无替代定理

对于正的价格以及对应的技术，若其满足竞争均衡的定义，则该技术是优势技术，也即模型存在无替代性

总的来说，我们需要证明对任意技术的最终产品可行域，若，则有，若记对应的总产出分别为和，消耗的劳动总量分别为和，不妨将视为给定的劳动总量的一个下界，那么从可行域的定义来看，也就是要证明

其中第一个不等式是自然成立的，事实上由竞争均衡的零经济利润性质，我们还可以知道其等号成立，即

下面我们来证明第二个不等式成立

由条件可知

结合上面的等式就有

两边左乘价格向量可得

利用零利润条件简化可得

对于不等式的右边，注意到

因此有，故

不过到这里事情还没完，我们只是证明了竞争均衡的技术是一种优势技术，但是竞争均衡一定存在吗？如果它不存在的话，那优势技术的存在性依旧没有得到论证，下面就对竞争均衡的存在性作出讨论

回顾竞争均衡的定义，我们需要技术及其价格满足成本最小化和零利润均衡，零利润均衡的存在性即价格模型存在有经济意义解的条件，这称为可生产性条件(productive)，其内容在前面的文章中已经说明过了，只需满足A的Frobenius根小于1即可(亦或是其他等价条件，如H-S条件或拟对角占优矩阵等)。下面在此基础上讨论成本最小化所需的前提(即所考虑的技术集合均满足Frobenius根小于1)

假定某一满足零利润均衡的价格为，也即有

对于新的技术也必然存在对应的满足零利润均衡的价格，也即

由于价格实际上是对于劳动来说的相对价格，而劳动是唯一的成本，故成本的下降必然意味着相对价格的下降，那么新的价格应该是小于等于原先的价格的，且至少有一个部门产品的价格是严格小于，我们可以严格地证明这一结论

记，，将代入新价格的零利润均衡等式中就有

由新技术的性质可知是一个半正向量，而又满足可生产性，那么若将上式视为一个方程，则必有半正解，也即

由此我们就可以构造出一组技术集合，该集合与一个均衡价格集合存在一一映射，问题转化为该均衡价格集合是否存在最小值，而由均衡价格的决定方程我们可以知道这是一个连续映射(作为一个有界线性算子的逆算子，它必然是连续的)，因此，只需假定该技术集合是一紧集，那么由经典的Weierstrass极值定理就可知该均衡价格集合存在最小价格，特别地，由于技术集合定义在上，我们可以等价地假定技术集合是有界闭集，这样就一定可以在所构建的均衡价格集合中找到一个最小的价格了，Johansen认为这一最小价格及其对应的技术就是成本最小化的技术

不过再来回顾上述推导，可以注意到这样构建的均衡价格集合很可能没有包含真正的成本最小化的价格及其技术，Dasgupta就对这一问题举了一个例子

假定一个技术为，由零利润均衡条件可以计算出价格为，仅存在一个满足利润非负且可以得到该均衡价格的技术，需要指出，笔者对这里的“仅存在”是怎么得到的不甚清楚，考虑到这里的条件仅有零利润均衡和以及的Frobenius根小于1，这或许需要用到某些非负矩阵理论的内容，我们暂且先接受这一结论(毕竟Dasgupta这篇论文是发在JET上的，其大概率是正确的)。很容易就能再次计算出对应的均衡价格为(3,1)，由于技术集合中仅有这一个技术，故它就是成本最小的了，但其并非成本最小化的技术，如果存在，可以计算出其对应的均衡价格为(2,1)，可以验证它才是成本最小化的，上述构造技术集合的方法并不能保证找到真正的成本最小化技术

不过参考Johansen的思路，其实一个更自然的想法是通过构建满足的技术列及其均衡价格列来逼近成本最小化对应的技术及其均衡价格，但问题在于，它一定会收敛到成本最小化的情况吗？这又是一个较为复杂的讨论，由于笔者水平所限，只能放弃对这一思路的探究，下面给出Dasgupta对Johansen方法修正后的证明

为了方便起见，首先总结一下目前我们所作出的假定

假定4

对任意活动，有且

假定5

是闭集(上述推导中是假定技术集为闭集，但无论是Johansen还是Dasgupta都是假定各活动集为闭集，这一假定蕴含了技术集为闭的结论)

假定6

存在满足可生产性的技术集

引理1

对任意活动序列{}，若有，则必存在使得无界

利用反证法，假定在时序列{}是有界的，那么由Bolzano-Weierstrass定理知其必有收敛子列，记其极限为，因此可以构造出聚点，又因为是一闭集，那么就有，但这就与的假定相矛盾了，故引理得证

下面再给出一个引理2，该引理表明若某个技术中存在任意小的直接劳动消耗系数，则该技术不可能是成本最小化的技术

引理2

如果中活动的直接劳动消耗系数可以趋于零，则存在，使得若某一技术中存在一个活动满足$b_j<b_j^*$，则要么a是非生产可行的，要么存在活动$j$对应的均衡价格满足$p_j>p_j^*$</b_j^*$，则要么a是非生产可行的，要么存在活动$j$对应的均衡价格满足$p_j>

还是使用反证法，假定该引理不成立，也即我们可以找到一个技术列，其中的技术满足当时是生产可行的且对于所有都有，不失一般性地，不妨假定，则由引理1可以知道第个技术的活动将会存在趋于无穷的直接消耗系数，并且这个系数不可能是，因为这样将会使得一阶主子式为负，违背了生产可行性条件(具体来说是广义H-S条件，也即要求矩阵的所有主子式均为正)，不妨假定。

根据价格方程有，我们关注第一个活动对应的价格，为简便起见，与之前的文章类似地将列昂惕夫逆阵记作，其元素记作，则应当有下面的式子

但由于存在，而列昂惕夫逆阵的非对角线元素为完全消耗系数，其必然不会小于对应的直接消耗系数，则有，如果中的直接劳动消耗系数是有非零下界的，那么上述式子的右端就不可能成立，因此必有，再由引理1可知活动也存在着无界的直接消耗系数记其为，且为满足生产可行条件有，重复此步骤就可以发现得到了的结论(这里指按元素收敛)，但此时每列都存在无界的直接消耗系数。

注意到的生产可行假定会带来一个必要条件，即至少存在一列的列和小于1，我们可以证明这一点，假定所有列的列和均大于等于1，则对于有，但生产可行的势必有，这样就会推出，产生了矛盾，因此至少存在一列的列和小于1。而在上面的推导中我们得到了每列都存在无界的直接消耗系数的结论，这就与生产可行的必要条件相矛盾，因此我们也就证明了引理2。

现在我们可以开始证明竞争均衡的存在性了，首先正式地给出存在性定理

定理2 竞争均衡存在性定理

在假定4至假定6的前提下，存在竞争均衡技术，即对任意技术，该技术满足如下条件

定义，如果是有非零下界的，则就可以作为的一个严格为正的下界，而如果是趋于零的，则由引理2可知其不可能对应成本最小化的技术，不妨在我们的集合中舍弃掉它们。是非空的，因为显然有。

接下来我们将证明是紧的，也即来证明它是一有界闭集，有界性可由如下不等式链保证

现考察中的任意聚点，其可由中一些元素组成的某一序列逼近，由假定2可知也满足，，且，因此，这也就证明了是一闭集，再加上其有界，就得到了的紧性，那么我们就可以知道存在使得中的任意元素都不大于它

接下来将说明及其对应的技术满足竞争均衡的定义，零利润均衡条件是自不必说的，现假定其不是成本最小化的技术，也即存在生产可行技术使得

该技术对应的均衡价格将满足，因此会有，由于已经是中最小的元素，故不可能再属于，因此势必有，否则的话就会导致，在此基础上由引理2可知存在使得，这就与相矛盾了，因此竞争均衡的存在性得证

进一步说明

为什么要引入无替代性呢？实际上这和我们引入纯部门假定及方阵系统假定的目的是一致的，即希望技术矩阵A是稳定的，是尽可能纯粹地去反映技术变化的。我们选取了优势技术作为分析的基础(严格来说，如果仅基于上述证明的话，是使用竞争均衡技术作为分析基础)，而不是任意一个时点上的各种技术的混杂结果，可以设想，如果我们的技术矩阵A是某一时点上生产结果的“快照”，那么A几乎必然是随时间变动的，很难说会存在一个“短期”使得A是固定的。不过值得一提的是，这种“快照”思想被斯拉法体系所采用，由于笔者尚未系统学习过斯拉法体系，对此就不展开深入讨论了，有兴趣的同志可以参看知乎的SpringField及谭惟君的文章。

还需要指出的是，如上文中对无替代定理的引入中提到的，固定比率生产函数并非是一个假定，而是我们使用优势技术作为分析基础的结果，但在上面对无替代定理的证明过程中我们实际上暗含了规模报酬不变这一前提，因为均衡价格意味着单位成本等于单位利润，这实际上就意味着我们假定了规模报酬不变，它才是真正的假定。总结起来，无替代性的成立实际上要求了三点：

(1)唯一的初始投入要素(上述证明中使用的是劳动)

(2)规模报酬不变

(3)无联合生产

不过其中最为关键的实际上是唯一初始投入要素这一假定，放松其他两个条件都可以得到弱化版的无替代定理，这其实是很自然的，因为当初始投入要素唯一时，真正的生产要素只有一个，不可能存在任何替代，基于优势技术进行分析总是可行的。

上述证明可以推广到联合生产的情况，此时可以得到一个局部无替代定理，对这一推广感兴趣的同志可以参阅Johansen的原文：Simple and General Nonsubstitution Theorems for Input-Output Models，但由于竞争均衡的定义蕴含了规模报酬不变假定，故这一思路无法推广到可变规模报酬的情形，对其他证明思路感兴趣的同志可以参阅Fujimoto等的论文：NON-SUBSTITUTION THEOREM WITH NON-CONSTANT RETURNS TO SCALE AND EXTERNALITIES

值得一提的是，Johansen将优势技术的存在性转为竞争均衡的存在性这一思路其实是颇具泛用性的，这实质上是将原有概念应该具有的性质作为某一概念的定义，进而将问题转化为对新概念的分析，原有概念和新定义的概念应当具有某种程度上的一致性。这种方法在很多数学领域中非常常见，譬如将度量空间上的邻域、聚点、内点、开集、闭集等概念推广到一般的拓扑空间中时，就是采取了将这些概念的性质直接作为拓扑空间中对应概念的定义的方法，由于实质上我们更注重的是这些性质，性质才是最根本的，所以这种转换才具有普适性，这一点对应到无替代定理的证明中来说，无替代是因为成本最小，成本最小的技术才可以包含其他技术的生产可能性，因此才选择将之作为更根本的定义来构造竞争均衡，转而分析竞争均衡的存在性。

题外话

在投入产出分析之外，笔者还想稍微对Johansen作一点介绍，如果你学习过时间序列分析亦或是任何计量经济学课程，协整模型总是绕不开的，Engle和Granger也因提出协整模型而获得了诺贝尔奖。协整模型天然适合地适配于经济学(事实上也正是为了经济学研究而提出它的)，其核心内容在于两个不平稳的时间序列之间可能存在稳定的长期关系，称其为协整关系，这与主流经济学的均衡观点形成了强有力的搭配。而协整模型的一个关键问题自然是对协整关系是否存在的检验，较好理解和操作的方式是EG两步法，而另一种方法就是Johansen的方法，称为Johansen检验。除了对协整模型的贡献，Johansen还在可计算一般均衡模型(Computable General Equilibrium,CGE)领域中留下来一些历史痕迹，由于CGE涉及到大规模的矩阵计算，在该理论发展的早期，由于计算机技术的限制，学者们尝试过许多简化计算的方法，Johansen的T矩阵就是其中的代表性方法。除了在经济研究中的学术贡献之外，Johansen还是一名坚定的共产党员，他曾担任了十二年的挪威共产党中央委员会委员。

关于协整模型与Johansen检验、CGE模型与Johansen的T矩阵，由于本文篇幅所限，同时也考虑到相关内容的复杂性，笔者会专门写作两篇文章来分别介绍它们。