理解数学：自然数被3整除的规律

文摘 2024-11-26 11:00 新疆

人教版七年级数学中，安排了数学活动“自然数被3整除的规律”，在第四章《整式的加减》的收尾部分。

一、探究过程

其内容和探究过程可以分为如下几个部分。

【导语】在小学，我们知道像12，27，36，45，108，…这样的自然数能被3整除。

一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除，你能说出其中的道理吗？

【探究1】

先来看两位数的情形。

若一个两位数的十位、个位上的数字分别为a，b，则通常记这个两位数为,则

=10a+b=9a+(a+b).

显然 9a 能被3整除.因此，如果a+b能被3整除，那么9a+(a+b)就能被3整除，即能被 3整除.

【探究2】

再来看看三位数的情形。

若一个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则通常记这个三位数为,则

=100a+10b+c=99a+a+9b+b+c=(99a+9b)+(a+b+c).

显然(99a+9b)能被3整除，因此，如果a+b+c能被3整除，那么(99a+9b)+(a+b+c)就能被3整除，即能被 3整除.

【探究3】

再来看看四位数的情形。

若一个四位数的千位、百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，d，则通常记这个三位数为,则

=1000a+100b+10c+d

=999a+a+99b+b+9c+c+d

=(999a+99b+9c)+(a+b+c+d).

显然(999a+99b+9c)能被3整除，因此，如果a+b+c+d能被3整除，那么(999a+99b+9c)+(a+b+c+d)就能被3整除，即能被 3整除.

同理，可以继续用类似的方法研究五位数、六位数等情形。

二、教学思考

1.核心素养发展的需要

这个数学活动表明，初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容，在数与代数领域也有推理或证明的内容。以上结论，是小学数学学习过的，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神。

2.数学思想的渗透

由一些特殊的数能被3整除，猜想到“如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除”，这是一种归纳推理。

在证明过程中，采用的是类比的思想。先从两位数开始，通过式的拆并，验证了两位数的情况。然后，以类比的方法，验证三位数、四位数......等情况，这也是一种归纳论证。

在论证过程中，让学生进一步提升符号意识，养成利用数学符号论证问题的习惯。

3.引导学生探究

这个数学活动，也是一种数学实验。在小学阶段已经猜想，在初中阶段进行验证。在验证过程中，老师引导学生，让学生去探究。通过设置各位数上的符号表示后，可以放手让学生去实施。从三位数开始，如何拆项，又如何合并，四位数如何？还有后面的五位数、六位数情况如何？虽然数位不断增加，但方法和思路是一样的，让学生在从简单到复杂的问题中找到共性。

总之，通过这个数学活动的经历与学习，学生提升了数学思维，加深了符号意识，增强了推理能力，也更加认识到，数学结论需要证明。

http://mp.weixin.qq.com/s?__biz=Mzg2MjcwMDc5OQ==&mid=2247490951&idx=1&sn=cbfa3e9e26ce39c51015edb2588be514

董金发的行与思

你站在桥上看风景，看风景的人在楼上看你。明月装饰了你的窗子，你装饰了别人的梦。

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