数学原则
作者：波特兰·罗素
译者：贾可
1992版导言
罗素的第四本专著《数学原则》首版于1903年，并在1937年附上一篇导言后未加改动地重印。最初的一版是罗素打算在其有生之年写作的两个系列作品其中一个中的第一本。在其自传（1967）的第一卷（1872年至1914年）中，罗素回忆起他生命中最重要的一天：“我记得初春时节寒冷又晴朗的一天，我独自一人在蒂尔加滕（Tiergarten）散步，同时制定了未来的工作计划。我打算写一个系列关于自纯粹数学直至生理学（physiology）的科学哲学的书，以及另一个系列关于社会问题的书。我希望这两个系列最终能够综合到一起，既科学又实践（scientific and practical）。我的计划在很大程度上受到黑格尔思想（Hegelian ideas）的启发。然而，在随后的几年中，我在一定程度上遵从了这一计划，无论如何它都是可预期的。就我的目标而言，这是一个重要且影响深远的时刻。”这一年是1895年，地点是柏林，罗素与他的第一任妻子去那里学习德国的社会民主主义（German social democracy）。在其它的著作中，罗素补充到，第一个系列的著作将从非常高的抽象程度出发，逐渐变得更为实践，第二个系列将从实践问题出发，并旨在变得越来越抽象；每个系列的最后一卷都将是类似实践（practical，选择译成实践，完全是因为康德实践理性的英译——practical reason）与抽象的融合，因而允许在一部巨著中对于两个系列进行大规模的综合。
罗素有此想法时还不到23岁。不过，从上述的引文中可以清楚地看出，他已经有了写作《数学原则》的初步计划。在其著作的其它地方，罗素说他对于数学基础的兴趣源于早期对于物理基础的兴趣，或是他通常所说的“物质的问题（problem of matter）”，当他意识到物理学有赖于基础扎实的数学时，这种兴趣受到了阻碍。罗素对于物质问题的初步探索一定与蒂尔加滕的经历大致同期。至1895年，他已经在写两本书：一本是《德国的社会主义民主》（1896），书中报告了他在柏林的研究结论；第二本是一篇关于几何学基础的论文（1897），这是他为（取得）剑桥大学三一学院教职而撰写的论文。凭借这篇论文，他于1895年10月10日获得了一个职位。为了作为专著出版，必须对其加以修订，这是（出版）推迟了两年的原因。当罗素修改他的论文时，他开始了写作《原则》的工作。
位于加拿大安大略省汉密尔顿市麦克马斯特大学的伯特兰·罗素档案馆中存有大量的（罗素）手稿，其中部分记录了他在《原则》最终版本方面的缓慢进展。早期的论文现已发表在Nicholas Griffin与Albert C. Lewis编译的《伯特兰·罗素论文集》第二卷（1990）中；其余的文章将收录于由Greg Moore编译的即将出版的第三卷中。罗素将仅有部分留存的最初手稿命名为“数学推理的分析，关于数学主题、基本概念以及必要假设（necessary postulates）的研究”。从1898年4月1日开始（写作），于当年七月完成。格里芬指出，这是罗素在其深受阿尔弗雷德·诺斯·怀特海德的第一本书《泛代数及其应用的论文》（1898）影响的时期写成的。怀特海德曾是罗素在剑桥的老师，后来同意与他合作完成其在数学基础方面的工作。这份早期的草稿，与他的博士论文一样，显示出强烈的康德式影响。罗素曾在不同时期与摩尔及怀特海德讨论过这份草稿；从现有的证据来看，摩尔似乎比怀特海德更具批判性。我们不得而知罗素为何放弃了这次尝试。其中的某些部分被纳入后续的版本中，但绝大多数并未被提及。
罗素的下一次尝试称为“论算术基础（On the Principles of Arithmetic）”，有证据表明它同样写于1898年，就在他放弃第一篇草稿后不久。这本计划的著作只有两章得以保留：不完整的一章是关于基数的，完整的一章是关于序数的。这本书的范围比第一本窄得多，第一本书的范围远超算术的范畴。当他不知出于什么原因而放弃该计划时，他开始写作“数学的基本思想与公理（The Fundamental Ideas and Axioms of Mathematics）”，并于1899年开始写作草稿。整本书有一个完整的概要目录（full synoptic table of contents），且各章都有大量的初步注释（preliminary notes）。他为什么放弃这个项目同样是个迷。值得注意的是，罗素已经养成了将部分（通常是大部分）废弃手稿回收利用纳入新作品的习惯。格里芬提到一个重要的观点，即这些初稿的第一稿与第三稿几乎肯定曾经以整本书的形式存在过。然而，当罗素发现其中的一些部分非常适合后来的手稿时，他将它们肢解了。
在《原则》付梓印刷之前，还有另一份草稿待完成。在1899年到1900年之间，罗素写了随后问世的这本《数学原则》（的草稿）。在《我的哲学发展》（1959）中，罗素写道他在“19世纪的最后一天——即1900年12月31日”完成了这部草稿。在他的自传中，他说他在10、11与12月期间写完了整个草稿，约20万字（译者注：20万英文字大概相当于40万汉字），平均每天10页稿纸。鉴于第三稿的不完整，很有可能是罗素将大部分内容纳入倒数第二稿。只有部分草稿随后被改写：第三至第六部分无需修改；第一、第二与第七部分在出版之前进行了全面的修正。
1900年7月，罗素与怀特海德参加了在巴黎举行的国际哲学大会，会上罗素宣读了一篇关于时空秩序与绝对位置的论文。这次大会对于他在数学基础层面的工作意义重大。朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）也在会议上宣读了一篇论文，他还出席了其它会议并参与了随后的讨论。在其自传中，罗素称此次会议为“我精神生活中的一个转折点”，并将其归功于皮亚诺：“在会议的讨论中，我注意到他总是比其他任何人都更为精确，并始终在他发起的任何辩论中占据上风。随着时间的流逝，我认为这一定归功于他的数理逻辑。”皮亚诺将他所有作品的拷贝交给罗素，后者花了8个月时间研究它们。当年九月，罗素将皮亚诺的符号表达式（symbolic notations）扩展到关系逻辑中。几乎每一天，他都能发现一些困扰了他多年的问题——比如对于次序或基数的正确分析——被这种新方法攻克，且有了明确的答案。在困扰他的问题上，他在那一个月内取得的进展超过了此前几年的总和。“从智力上说，1900年9月是我生命中的制高点。我对自己说，现在我终于做成了一件值得去做的事，我觉得在我将它们写完之前，必须当心不要在街上被轧死。”倒数第二稿正是这段非常时期的文字记录。
然而，在他的逻辑天堂中潜伏着一条毒蛇；这条蛇出现于1901年春天罗素润色其手稿并准备出版时。它与类的概念有关，产生于自亚里士多德以来所有逻辑学家都接受的前提。每个逻辑学家都接受每个谓词（predicate）决定一个类的原则。例如，人类（class of human beings）是通过将所有可以说成是人的事物纳入其中形成的。逻辑学家们将类称为谓词的外延（extension of a predicate）。罗素在检查不存在最大基数的证明时考虑了某些特殊的类。他注意到一些类是其自身的成员，例如抽象概念类本身就是抽象概念。但大多数类不然，例如自行车类本身不是（一辆）自行车。因此，所有后面这种类都有一个公共性质，即它们并非自身的成员；罗素称其为“普通（ordinary）”类。接下来，他选择谓词“x不是x的成员”，并构成一个新类，我们可以称之为O（以此提醒我们这些类是普通类），它的成员是所有且仅有那些非自身成员的类。然后，罗素问我们O是否是其自身的一员，对于这个问题的答案他既惊讶又沮丧（astonished and dismayed）。一方面，假定O是O的成员，那么由于O的所有成员都不是其自身的成员，因此O不是O的成员。另一方面，假定O不是O的成员，那么可以（根据定义）直接推出O是O的成员。我们可以将这两个结论重新表述为一个悖论：O是O的成员，当且仅当O不是O的成员时。这个矛盾现在被称为罗素悖论（Russell's paradox）。
当罗素发现该悖论时，他试图用各种方法来解决它。但是，他的所有尝试都失败了。他将自己的想法与其他逻辑学家进行交流，却发现他们无法找出他推理中存在任何错误。事实上，怀特海德曾哀叹“再也没有快乐又自信的清晨了”，而这只会加深罗素的郁闷。但有一点很清楚，大部分的《原则》必须重写。罗素首先在《原则》（第78小节）中提出了他的悖论。这一矛盾（即罗素悖论，罗素在《原则》中一直用矛盾（contradiction）一词指代“罗素悖论”，译者注）的发现推迟了该书的出版。如果可能的话。他希望在书中加入一种驯服悖论的方法。一年以来，他一直在努力解决这个问题，尝试了一个又一个想法，然而（这些想法）通常都会回到一种他称之为“类型论”的解决方案上，这是诸多令人失望的方案中的最佳选择。最后，他决定不再推迟出版，并于附录中概述了类型论，作为他发现的悖论的最佳补救方案。
除了是一本独创且重要的逻辑与数学哲学的专著外，《原则》也是一本坚实的形而上学著作。遗憾的是，这一事实并未被更多人所了解。对于它的普遍忽视在很大程度上可以追溯至该书的书名。没有副标题的《数学原则》似乎是在告诉其潜在的读者，它的主题仅限于数学。然而，几乎所有的古典形而上学问题都被（罗素于该书中）详细的考虑过，一个显著的例外是上帝存在（或不存在）的问题。时间与空间，物质、运动与因果关系，一与多，类与数都与罗素的处理方式符合，对于所有的问题罗素都有有趣的话说。这本书并未因其形而上学的讨论而为人所知还有一层原因。当罗素与怀特海德合著的《数学原理》（1910-13）出版时，各方面都认为它取代了《原则》。当然部分上来说是这样的，但也只是一部分而已。罗素的大部分形而上学讨论在《原理》中并没有与之对应的内容。因此，《数学原则》不仅可以作为《数学原理》的垫脚石来阅读，还可以作为（尤其是世纪之交时）罗素看待世界的重要说明。
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