数学原则
作者：波特兰·罗素
译者：贾可
目录
第一部分 数学中的不可定义概念
一、纯粹数学的定义
1.纯粹数学的定义
2.数学的原则不再具有争议
3.纯粹数学仅使用少许概念，它们是逻辑常项
4.所有纯粹数学都是由二十个前提中形式上推出的
5.断言形式蕴涵
6.并且使用变元
7.（变元）可能有除特例外的任何值
8.数学处理关系（的）类型
9.应用数学是由非逻辑常项的出现来定义的
10.数学与逻辑的关系
二、符号逻辑
11.符号逻辑的定义和范围（scope）
12.符号逻辑的不可定义概念（indefinables）
13.符号逻辑由三部分组成
A.命题演算（propositional calculus）
14.定义
15.蕴涵与形式蕴涵的区别
16.蕴涵不可定义
17.这种演算中的两个不可定义概念与十个初始命题
18.十个初始命题
19.析取与否定的定义
B.类演算
20.三个新的不可定义概念
21.个体之于其所属类的关系
22.命题函项
23.诸如（such that）的概念
24.两个新的初始命题
25.之于（to）命题演算的关系
26.同一性
C.关系演算
27.对于数学必要的关系逻辑
28.新的初始命题
29.相对积
30.被指定前域的关系
D.皮亚诺的符号逻辑
31.数学与哲学的定义
32.皮亚诺的不可定义概念
33.基础定义
34.皮亚诺的初始命题
35.否定与析取
36.存在与空类
三、蕴涵与形式蕴涵
37.蕴涵的含义
38.断言的与未断言的命题
39.推论（inference）无需两个前提
40.形式蕴涵应被外延式地解释
41.形式蕴涵中的变元有非受限的定义域
42.形式蕴涵是一个单一的命题函项，不是两个命题函项的关系
43.断言
44.蕴涵中一项可以变化的条件
45.推理规则中的形式蕴涵
四、专名、形容词与动词
46.专名、形容词与动词的区分
47.项
48.事物与概念
49.作为概念的概念与作为项的概念
50.概念多元性
51.意义与主谓逻辑
52.动词与真
53.也许除了是（is），所有动词都表示关系
54.关系自身与关联的关系
55.关系不是通过其中的项而具体化的
五、指称
56.指称的概念
57.与主谓命题的关联
58.从谓词中获得的指称概念
59.所有、每个、任何、一个与某个的外延解释
60.所有、每个、任何、一个与某个的内涵解释
61.说明
62.在于被指称对象的，而不是在于指称它们的方式的
63.那个（the）的概念以及定义
64.那个（the）的概念以及同一性（identity）
65.总结
六、类
66.需要内涵式与外延式观点的结合
67.类的意义
68.类的内涵与外延的起源
69.被皮亚诺忽略的区别
70.作为一与作为多的类
71.和（and）的概念
72.所有人（all men）无法分析为所有（all）与人（men）
73.有空的类概念，但是没有空类
74.除非只有一项，否则作为一的类与作为多的类是不同的
75.每个、任何、一个与某个中的每一个都指称一个对象，但是一个不明确的对象
76.一项之于它的类的关系
77.类之间的包含关系
78.矛盾
79.总结
七、命题函项
80.诸如（such that）的不可定义性
81.当之于一个固定项的固定关系被断言时，命题函项可以被分析为一个可变主词与一个常断言（constant assertion）
82.但这个分析在其它情况下是不可能的
83.命题中的概念的变化
84.命题函项之于（to）函项的关系
85.一个命题函项通常不能分析为一个常项与一个可变元素
八、变元
86.变元的本质
87.变元之于任何（any）的关系
88.形式的与受限的变元
89.形式蕴涵前提假定任何
90.任何与某个的对偶性（duality）
91.命题函项这个类概念是不可定义的
92.其它类可以通过诸如（such that）的方式来定义
93.变元的分析
九、关系
94.关系的特性（characteristics）
95.项之于自身的关系
96.关系的前域与后域
97.逻辑和、逻辑积与关系的相对积
98.关系不是二项组类
99.关系之于它的项的关系
十、矛盾
100.矛盾的结果
101.矛盾的各种陈述
102.类似的一般论证
103.可变命题函项一般是不被允许的
104.矛盾产生于将一个只是多的类作为一
105.其它初步可能的解决方案似乎不够充分
106.第一部分的总结
第二部分 数
十一、基数的定义
107.第二部分的计划
108.定义的数学意义
109.通过抽象得到的数的定义
110.对于这个定义的反驳
111.数的名义上的定义（nominal definition）
十二、加法与乘法
112.现在只考虑整数
113.算术加法的定义
114.有赖于类的逻辑加法
115.乘法的定义
116.加法、乘法与幂运算（exponentiation）的联系
十三、有穷与无穷
117.有穷与无穷的定义
118.α₀（注：原书都用α₀表示阿列夫零而非 א₀）的定义
119.通过数学归纳法得到的有穷数定义
十四、有穷数理论
120.皮亚诺的不可定义概念与初始命题
121.后者的相互独立性
122.皮亚诺真正定义的是序级，不是有穷数
123.对于皮亚诺初始命题的证明
十五、项的加法与类的加法
124.哲学与数学的区别
125.存在比上面定义的更基本的数的含义吗？
126.数一定是类
127.应用于作为多的类的数
128.一不是断言诸项的（not of terms），而是断言单元类的
129.计数在算术中并不是基本的（fundamental）
130.数值合取与复数（plurality）
131.项的加法主要产生类，而不是数
132.一项是不可定义的，而不是数1
十六、整体与部分
133.单项可能是简单或者复合的
134.整体与部分无法通过逻辑优先来定义
135.三种整体与部分的关系的区别
136.两种整体的区别
137.整体不同于其诸部分的数值合取
138.分析在何种程度上是篡改
139.作为一的类是一个集
十七、无穷整体
140.无穷集必须被承认
141.即使存在无穷统一体，我们也无法了解它
142.所有的无穷整体都是诸项集吗？
143.支持这种观点的理由
十八、比例与分数
144.比例的定义
145.比例是一对一关系
146.分数涉及整体与部分的关系
147.分数并不取决于数，而是取决于可分性的量值
148.第二部分的总结
第三部分 量
十九、量值的意义
149.关于数之于量的关系的早期观点
150.量在数学中并不基本（fundamental）
151.量值与量的意义
152.有待检查的三种可能的相等的理论
153.相等不同于部分的数目
154.相等不是一个不可分析的量的关系
155.相等是量值的同一（sameness of magnitude）
156.每个特殊的量值都是简单的
157.抽象原则
158.总结
注释
二十、量的值域（range）
159.可分性并不属于所有的量
160.距离
161.微分系数
162.量值永远是不可分的，但可以是一个可分性的量值
163.每个量值都是不可分析的
二十一、表示量值额数：量度
164.量度的定义
165.支持所有量值都是可量度的可能依据
166.内在的可度量性
167.可分性的（内在的可度量性）
168.以及距离的（内在的可度量性）
169.距离的度量以及段的度量
170.几何的距离理论与段理论（stretch-theories）
171.外延的与内涵的量值
二十二、零
172.关于零的困难
173.迈农的理论
174.作为最小数（minimum）的零
175.作为同一性（identity）的零距离
176.作为空节（null segment）的零
177.零与否定
178.每种零量值某种意义上都是不可定义的
二十三、无穷、无穷小与连续性
179.无穷的困难并非特别是定量的（quantitative）
180.关于量的问题的陈述
181.三条二律背反（antinomies）
182.其中的反题（antithesis）取决于有穷性公理
183.以及数学归纳法的使用
184.二者都被拒斥
185.连续性的临时含义（provisional sense）
186.第三部分的总结
第四部分 次序
二十四、序列的起源
187.次序的重要性
188.介乎（between）与二项组的间隔
189.通过一对一关系生成次序
190.通过传递非对称关系（生成次序）
191.通过距离（生成次序）
192.通过三角关系（生成次序）
193.通过非对称关系之间的关系（生成次序）
194.以及通过二项组的间隔（生成次序）
二十五、次序的意义
195.什么是次序？
196.介乎（between）的三种理论
197.第一种理论
198.关系并不介乎它的诸项之间
199.介乎的第二种理论
200.似乎存在终极的三角关系
201.拒斥第二种理论的理由
202.介乎的第三种理论要被拒斥
203.二项组间隔的意义
204.还原为传递非对称关系
205.这个还原是形式的
206.但它是间隔（separation）产生次序的原因
207.只有第二种生成序列的方式是基本的，它给出了次序的意义
二十六、非对称关系
208.关于对称性与传递性的关系的分类
209.对称传递关系
210.自反性与抽象原则
211.相对位置
212.关系可以化简为谓述（predications）吗？
213.关系的单子理论
214.拒斥这种理论的理由
215.一元论与拒斥它的理由
216.次序要求关系应是终极的
二十七、含义差与符号差
217.康德论含义差（difference of sense）
218.含义差的意义
219.符号差
220.在有穷数的情况下
221.以及在量值的情况下
222.右与左
223.符号差源自传递非对称关系之间的含义差
二十八、论开放与封闭序列之间的区别
224.什么是开放与封闭序列的区别？
225.有穷的封闭序列
226.通过三角关系生成的序列
227.四项关系
228.封闭序列是具有任意首项的序列
二十九、序级与序数（ordinal numbers）
229.序级的定义
230.所有有穷算数都适用于每个序列
231.序数的定义
232.第n的定义
233.正的与负的序数（ordinals）
三十、戴德铿（也译戴德金，下同）的数理论
234.戴德铿的主要观点（principal ideas）
235.系统的表示法（representation）
236.链（chain）的概念
237.元素的链
238.数学归纳法的一般形式（generalized form）
239.单一无穷系统（singly infinite system）的定义
240.基数的定义
241.戴德铿对于数学归纳法证明
242.对于他的序数定义的反驳
243.以及对于他的基数定义的反驳
三十一、距离
244.距离对于次序来说并不重要
245.距离的定义
246.距离的量度
247.在大多数序列中，距离的存在都存疑
248.第四部分的总结
第五部分 无穷与连续性
三十二、序列的相关（correlation）
249.原则的陈述中不再需要无穷小与空间
250.所谓的无穷的矛盾已经解决
251.序列的相关
252.独立的序列与通过相关产生的序列（series by correlation）
253.关系的相似
254.函项
255.取值形成一个序列的变元函项（functions of a variable）
256.由项式（formulae）定义的函项
257.完整的序列
三十三、实数
258.实数不是有理数序列的极限
259.有理数节（segments of rationals）
260.节的性质
261.序列中的相干类
注释
三十四、极限与无理数
262.极限的定义
263.极限的基本（elementary）性质
264.无理数的算术理论是必不可少的
265.戴德铿的无理数理论
266.戴德铿的连续性公理中的缺陷（defects）
267.对于他的无理数理论的反驳
268.维尔斯特拉斯的理论
269.康托的理论
270.实数是有理数的节
三十五、康托的连续性第一定义
271.连续性的算术理论归功于康托
272.内聚性（cohesion）
273.完全性（perfection）
274.康托的完全性定义中的缺陷
275.没有特别的理由，绝不能假定极限的存在
三十六、次序连续性
276.连续性是一个纯粹的次序概念
277.康托的连续性的次序定义
278.只有次序概念才能出现在这个定义中
279.无穷整数类可以排列成一个连续的序列
280.一般紧致序列（general compact series）的节
281.由基本序列定义的节
282.两个紧致序列可以合并形成一个不是紧致的序列
三十七、超穷基数
283.超穷基数与超穷序数大为不同
284.基数的定义
285.基数的性质
286.加法、乘法与幂运算（exponentiation）
287.最小的超穷基数α₀
288.其它的超穷基数
289.有穷与超穷基数通过之于大于与小于的关系形成一个单一序列
三十八、超穷序数
290.序数是序列关系类（classes of serial relations）
291.康托的第二类序数的定义
292.ω的定义
293.一个无穷类可以排成诸多序列的类型
294.序数的加法与减法（subtraction）
295.乘法与除法
296.良序序列
297.不是良序的序列
298.序数是良序序列的类型
299.关系算术（relation-arithmetic）
300.存在理论（existence-theorem）的证明
301.没有最大的序数
302.序列的连续的导数（successive derivatives）
三十九、无穷小微积分（infinitesimal Calculus）
303.无穷小通常被认为对于微积分至关重要
304.连续函项的定义
305.函项的导数（derivative）的定义
306.无穷小并不蕴涵（implied）在这个定义中
307.定积分（definite integral）的定义
308.这个定义中既不涉及无穷也不涉及无穷小
四十、无穷小与瑕无穷（improper infinite）
309.无穷小的精确定义鲜有被给出
310.无穷小与瑕无穷的定义
311.无穷小的示例（instances）
312.紧致序列中没有无穷小节
313.无穷性与无穷小性（infinitesimality）的次序
314.总结
四十一、关于无穷小的哲学争论（arguments）
315.由科恩（Cohen）解释的当前（current）哲学观点
316.科恩以无穷小作为微积分的基础
317.空间与运动在这里是无关的
318.科恩认为极限学说对于微积分不够充分（insufficient）
319.并且认为极限本质上是定量的
320.包含无穷小的差别（infinitesimal difference）
321.并且引入了一种新的相等的意义
322.他将非广延的（inextensive）等同于内涵的（intensive）
323.相连的数（consecutive numbers）应该是连续变化的必需
324.科恩的观点应被拒斥
四十二、连续统的哲学
325.连续性的哲学意义不是这里关注的问题
326.连续统是由相互外在的（mutually external）单元组成的
327.芝诺与维尔斯特拉斯
328.二分法的论证（argument）
329.有害的（objectionable）与无害的（innocent）无限后退的种类
330.整体的外延式与内涵式定义
331.阿喀琉斯（Achilles）与乌龟
332.箭矢（arrow）
333.变化并不涉及变化的状态（state of change）
334.度量的论证
335.康托连续性学说的总结
336.连续统由元素组成
四十三、无穷的哲学
337.历史回顾
338.无穷的积极学说（positive doctrine）
339.存在无穷类的证明
340.特里斯舛·项狄悖论（paradox）
341.整体与部分有可能是相似的（similar）
342.整体与部分以及形式蕴涵
343.ω与α₀都没有直接前趋（immediate predecessor）
344.关于所有项、对象或命题的个数（number）的困难
345.康托关于不存在最大数的第一个证明
346.他的第二个证明
347.每个类都有比项更多的子类（sub-classes）
348.但在某些情况下这是不可能的
349.由此而产生矛盾
350.第五部分的总结
第六部分 空间
四十四、维与复数
351.回顾
352.几何学是二维或更高维序列的科学
353.非欧几何
354.维的定义
355.关于定义的说明
356.维的定义是纯粹逻辑的
357.复数与泛代数（universal algebra）
358.数的代数一般化（algebraical generalization）
359.复数的定义
360.关于定义的说明
四十五、射影几何
361.最近对于几何原则的三重审视（threefold scrutiny）
362.射影、画法与度量几何
363.射影点与直线
364.平面的定义
365.调和值域（点列）
366.对合（involutions）
367.次序的射影生成
368.莫比乌斯网
369.指定无理坐标时预设射影次序（projective coordinates）
370.非调和比
371.为空间中的任何点（any point）分配坐标
372.射影与欧式几何的比较（comparison）
373.二元性原则
四十六、画法几何
374.射影与画法几何之间的区别
375.帕施（Pasch）与皮亚诺的方法
376.使用序列关系的方法
377.公理的相互独立性
378.画法空间类的逻辑定义
379.直线的部分
380.平面的定义
381.立体几何（solid geometry）
382.画法几何适用于欧式与双曲线空间，但不适用于椭圆空间
383.理想元素
384.理想点
385.理想线
386.理想平面
387.适当选择点的移除使射影空间有画法性（descriptive）
四十七、度量几何
388.度量几何前提假定射影或画法几何
389.欧几里得的谬误
390.叠加不是一种有效的方法（valid method）
391.欧几里得的谬误（继续）
392.距离的公理
393.段
394.仅由距离产生的次序
395.从直线中推出距离的几何
396.在大多数空间中，可分性的量值都可以用来代替距离
397.可分性的量值的意义（meaning）
398.使得距离独立于段的困难
399.量度的理论意义（theoretical meaning）
400.角的定义
401.关于角的公理
402.角是射线段（stretch of rays），而不是点类
403.面积与体积
404.右与左
四十八、度量几何与射影与画法几何的关系
405.非定量几何没有度量前提（metrical presuppositions）
406.非定量几何的历史发展
407.距离的非定量理论（non-quantitative theory）
408.画法几何中的
409.以及射影几何中的
410.虚点对（imaginary point-pairs）的几何理论
411.距离的新射影理论
四十九、诸空间的定义
412.所有种类的空间都可以根据纯粹逻辑项来定义
413.三维射影空间的定义
414.三维欧氏空间的定义
415.二维克利福德空间的定义
五十、空间的连续性
416.射影空间的连续性
417.度量空间的连续性
418.连续性公理使得我们能够放弃圆的公设（postulate of the circle）
419.空间是（逻辑上）先于点的吗？
420.经验前提（premisses）与归纳
421.没有理由要求我们的前提是自明的（self-evident）
422.空间是一个点集，不是一个统一体
五十一、反驳点的逻辑论证
423.绝对与相对位置
424.洛采反驳绝对位置的论证
425.洛采的关系理论
426.命题的主谓理论
427.洛采的三种存是（being）
428.始于（from）不可区分的同一性的论证
429.点不是active
430.始于几何学的必要真理（necessary truths）的论证
431.诸点并不蕴涵彼此
五十二、康德的空间理论
432.现在的工作与康德的截然相反
433.康的理论的总结
434.数学推理无需逻辑之外的元素
435.康德的数学二律背反
436.第五部分的总结
第七部分 物质与运动
五十三、物质
物质之于时空的关系
441.通过逻辑常项（logical constants）的物质的定义
五十四、运动
442.运动的定义
443.没有变化的状态这种东西
444.变化涉及存在（existence）
445.一次占据一个位置
446.运动的定义
447.不存在运动的状态
五十五、因果关系（causality）
448.动力学的画法理论
449.Causation of particulars by particulars
450.原因与结果不是时间上相邻的（temporally contiguous）
451.存在任何causation of particulars by particulars吗?
452.因果关系的一般形式（generalized form）
五十六、动力学世界的定义
453.运动学运动（Kinematical motions）
454.运动学运动（Kinetic motions）
五十七、牛顿运动定律
455.力与加速度是虚构物
456.惯性定律
457.运动第二定律
458.第三定律
459.牛顿式原则的总结
460.动力学中的因果关系
461.由particulars（殊相） 引起的加速度
462.运动定律中没有任何部分是先验真理（à priori truth）
五十八、绝对与相对运动
463.牛顿与他的批评者
464.支持绝对运动的理由
465.诺伊曼的理论
466.斯特雷因茨的理论
467.麦考利先生的理论
468.绝对旋转仍是关系的变化（change of relation）
469.马赫对牛顿的回应
五十九、赫兹的动力学
470.赫兹系统的总结
471.从纯粹数学的角度来看，赫兹的创新不是根本性的
472.赫兹与牛顿共享的原则（principles）
473.因果相等（equality of cause and effect）原则
474.本书的总结
附录
List of Abbreviations
附录A
弗雷格的逻辑以及算术学说
475.弗雷格学说中的要点
476.意义与指示（indication）
477.真值与判断
478.批评
479.假设（assumptions）是真或假的专名吗？
480.函项（functions）
481.概念（Begriff）与事物（Gegenstand）
482.对命题函项理论的概述（recapitulation）
483.概念可以充当逻辑主词吗？
484.值域（ranges）
485.ε的定义与关系（relation）的定义
486.支持类的外延式观点的理由
487.只有一个成员的类不同于它的唯一成员
488.解释这一事实的可能理由
489.对已经讨论过的理论的概述
490.命题的主词可以是复数的（plural）
491.只有一个成员的类
492.类型理论（theory of types）
493.蕴涵与符号逻辑
494.基数的定义
495.弗雷格的序列理论
496.克里对弗雷格的批评（criticisms）
附录B
类型学说
497.陈述学说
498.作为类型的数与命题
499.命题概念是个体吗？
500.由命题的种类是否多于命题的问题产生的矛盾
索引
