牛顿曾说过：“如果说我比别人看得更远些，那是因为我站在巨人的肩膀上”。按照这种说法，他毫无疑问是撑起爱因斯坦的那个巨人。
1854年6月10日，迎来了数学史上最著名的一次就职演说：一位年轻讲师在台上直击两千年来几何体系的基础。当时，台下唯一意识到这次演说具有划时代意义的，是一位老者。他没有想到，眼前的年轻人仅用了两个月时间就对这个问题形成了如此深刻的见解。而这位年轻人甚至更进一步，誓要重新构筑几何学的基础。
这位老者就是年逾七旬的高斯，而台上的年轻人正是他的学生黎曼。
这是一篇很独特的数学论文《论作为几何基础的假设》，几乎没有复杂的计算，完全是深刻的思想探讨。
那么黎曼究竟说了什么？
这要从两千年前的《几何原本》说起，那是欧几里得几何的经典之作，它仅由五条不证自明的公设，可推出一系列定理结论。前四条公设很正常，唯独第五公设困扰着数学家。因为它的表述有点复杂（平行公设），数学家们怀疑它可由其他公设推出，但苦于没有证据。
而这次，黎曼给出了明确的结论：第五公设是独立的，它无法由其他四条公设推出。
第五公设，又叫平行公设：给定一条直线，通过此直线外的任何一点，有且只有一条直线与之平行。
遵循它可以构建出欧几里得几何——也就是平直空间内的几何。
但如果改变这条公设，同样能生成一套完全自洽的几何学。
黎曼的伟大之处在于，他发现了，只要放弃第五公设，就能得到更一般的几何学基础。这个新的几何被称为黎曼几何。
黎曼注意到，任何一种几何学中最重要的就是求无限接近的两点间距离的规则——度量（度量张量，Metric Tensor），物理学中又称为：度规张量。
为什么会这样？
黎曼提出了流形（Manifolds）的概念，就是要用曲面上的坐标系来研究曲面本身，然而这样就需要曲面坐标上每一点与平直坐标之间进行参数转换。
我们拿地图来举例，通常情况我们只需要根据地图上的比例尺，简单乘以图纸上的长度就能得到现实中两地的距离。
但事实上因为地球是一个二维曲面，没有一张平坦的地图能够通过单一比例绘制出真实地形。因为每一点的缩放比例都不相同，不仅如此，还会产生坐标系角度的偏转。
所以，每张地图，在每一点上都会有两个曲面坐标轴方向上的长度缩放和两个坐标轴的角度偏转，这4个分量就构成了黎曼度量（度量张量）。
只不过地球半径很大，对于一般的地图来说，这些参数偏差很小，因此可以通过近似成统一的比例来表示。但是如果扩大到整个地球范围，那就不能忽略了。
三十年前，高斯在测量大地时曾受地球球面的启发，提出了微分几何的研究方法，只不过高斯仅仅研究了二维曲面（二维流形），而黎曼这一次扩展到了“n维流形”。
在三维空间中，度量张量有9个分量（其中3个长度分量、6个角度分量），独立分量有6个。
而在四维时空里，度量张量有16个分量（其中4个长度分量、12个角度分量），独立分量有10个。
黎曼几何改变了人们千百年来认为理所当然的几何学基础。他通过研究流形中局部度量的微小差异，来判断流形的整体形状，而不再需要从更高维的外部空间来观察，因此这种几何又被称为“内蕴的几何”。
它带来的最直接思考就是：我们身处的宇宙是什么形状的？
我们无法跳脱到四维空间去观察，但可以沿着黎曼指明的方向来探索。现代科学家认为，我们身处的宇宙很可能是一个类似甜甜圈的有限无界的三维流形。
黎曼的深刻洞见，将几何学带入了一个新境地。
那次演说的最后，他提到：欧几里得几何很可能是物理空间的一种近似，天文学的观测将判定哪种几何更符合真实的空间。
他预感到：为了确定什么是物理空间的真理，需要把物质和空间结合起来。而这个思想恰恰就是六十年之后爱因斯坦提出的广义相对论的核心。
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