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你知道吗？“数学王子”高斯（Carl Friedrich Gauss，1777年4月30日—1855年2月23日）一生真正花在纯数学研究上的时间并不算多。他虽然受布伦瑞克-吕讷堡公爵资助，21岁就完成数论著作《算术研究》（1798年），但这本书的价值直到出版二十年后才被认识到。为谋生计，高斯转向了更实际的天文学和大地测量工作。1818年至1826年间，高斯主持了对汉诺威全境的测量工作，正是在野外风餐露宿进行测量时，他发现：如果地面上一个三角形足够大，那么它的三内角之和将不再是180°。原来我们中小学接触的都是欧几里得几何，这是一种在平直空间内的几何。通俗理解就是，画在平坦白纸上的几何，所以三角形三内角和永远是180°。想象一下一只在球面上的蚂蚁，它无法跳脱到三维空间来观察，那么它该怎样测量纸面上两点间的距离呢？对，用球面上的坐标系，就像地球上的经纬线一样，我们可以称它为局部坐标系，而我们理想中的平直三维空间可以认为是世界坐标系。高斯做的就是在局部坐标系和世界坐标系之间搭建一座桥粱，知道彼此如何换算。更重要的是，如果这个球非常大，蚂蚁仿佛爬在巨大的纸面上一样，那么它能否知道这张纸是否平坦呢？答案是：可以，要通过线元的计算来了解所在几何体的特征。我们取极小的长度为ds，那么在欧式几何二维空间内，根据勾股定理就有：ds²=dx²+dy²，ds²就是线元，而线元决定了几何性质。如果用平直三维空间的世界坐标系角度来看（采用xyz三维坐标），线元依然满足勾股定理：ds²=dx²+dy²+dz²，没有变化。然而，别忘了，蚂蚁无法离开球面，它只能用球面上的局部坐标系来观察（采用球面上uv二维坐标），在蚂蚁眼中，线元变成了这样：其中E=xu²+yu²+zu²，F=xuxv+yuyv+zuzv，G=xv²+yv²+zv²就像换了刻度不同的尺子一样：曾经用的是三维空间中的平直坐标来度量，而现在换成了球面上经纬线来度量。这一转化不仅仅降维了，还反映出这把尺子本身的几何特性——总曲率。他通过一系列换算发现，无论采用怎样的局部（曲面上的）坐标系，曲面上某处的总曲率是不变的，总曲率又被称为高斯曲率。高斯还证明了他算出来的总曲率K，就等于欧拉曾经提出过的，曲面上一点最大曲率与最小曲率之积。![]()
更神奇的是，无论曲面在更高维空间中是否弯曲，高斯曲率都不会发生变化。我们拿出一张平坦的纸，上面任意一点的最大与最小曲率都是0，所以它的高斯曲率为0。然后我们将这张纸卷起来，形成一个圆柱体的侧面，这时纸面上一点的最大曲率为圆柱半径r的倒数，而最小曲率为0，所以卷起来的纸的高斯曲率依然为0。纸虽然在世界坐标系中（三维空间中）弯曲了，但是它的局部坐标系——“纸”上的网格线，没有拉伸，所以高斯曲率没有变化。高斯发现这个规律后也大呼神奇，将其取名为：高斯绝妙定理。并称这种研究局部坐标系的几何为内蕴的几何，顾名思义，它本身是否被拉伸与它在外部空间（世界坐标系）中如何变化没关系。
1827年，完成了汉诺威全境测量的高斯，将自己的研究成果汇成了《曲面的一般研究》一书，并出版，这标志着微分几何的诞生。这是一种将分析引入了几何中，通过见微知著的新视角，研究几何空间的数学分支。![]()
更重要的是，在此之前人们一直认为曲面只能放在三维空间中去研究，而高斯改变了这种观点：他认为可以将曲面本身看成一个空间，忘掉它身处三维空间之中，那么将突破欧式几何的限定，进入了非欧几何的世界。几何Geometry，原意为：大地测量，没想到在欧几里得写成几何原本两千年后，数学王子高斯又一次因为测量大地，开创出了新的分支，并且对接下来一百余年的现代数学与物理学产生了深远影响。原点阅读入驻小红书啦！
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