高斯的数学成就众多，而他年轻时最喜爱的数学领域毫无疑问是数论：一个以研究整数性质为主的，最纯粹的数学分支之一。
他在21岁时就完成了《算术研究》，该书让他成为当时欧洲最伟大的数论学家。
在书中他提出了同余符号和高斯符号（向下取整符号）。
我们都知道整数相除会出现无法整除而带有余数的情况，而同余符号和同余式，就是用来研究余数之间关系的。
设m是给定的一个正整数，a、b是整数，若a和b分别除以m所得的余数相同，则称a与b对模m同余，记为a≡b(mod m)。
可以认为它是加减乘除之外的另一种计算。
同余式也会产生方程，叫同余方程。
我国古代有一项重要的数学成就就是同余问题，被称为“物不知数”问题：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
也就是一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，问这个数是多少。这个问题等价于一个同余方程组：
x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)
这个方程可以通过辗转相除法或者“大衍求一术”得到答案。
这也就是著名的中国剩余定理（孙子定理）。
著名的中国剩余定理就是求解一次同余方程组问题。
而高斯在《算术研究》中最为得意的成果是证明了二次互反律，这是一个无比强大的武器，可以用来快速判断二次同余方程是否有解。
比如：x²≡3(mod 7)是否有解。
我们先来观察1，2，3，4，5，6除以7的余数，再观察它们的平方除以7的余数。
对于像7这样的奇素数作为除数，1次同余会出现所有的余数，但2次同余只会出现一半的余数，而且是呈对称分布的，这其中隐约有关于整数的内在联系。
勒让德对二次剩余问题提出一种符号，叫勒让德符号。假设p为任意奇素数，那么d对p的勒让德符号可以认为是一种关于d的函数，它只有三种结果：0，1和-1。
如果是0意味着d是p的倍数，属于特殊情况；
如果结果是1，意味着x²≡d（mod p）二次同余方程有解，此时d就是模p的二次剩余；
而如果结果是-1，则意味着二次同余方程无解，此时d是模p的二次非剩余。
至于是哪个结果可以通过欧拉判别法来判断：d对p的勒让德符号与d^(p-1)/2关于模p同余。
欧拉判别法
勒让德符号也有一定的运算法则，最重要的就是：“分子”可以拆分成素因数相乘的形式；“分子”也可以任意减去整数倍的“分母”，通过缩减“分子”来让判断变得容易。
比如要判断这个二次同余方程x²≡3(mod 7)是否有解。
由欧拉判别法得知：3对7的勒让德符号最后结果是-1，
a^(p-1)/2=3^3=27，而27≡-1(mod 7)，所以这个二次同余方程无解。
但是当“分母”p较大时，这个就非常难判断，比如p=227时，要算一个数的113次方，得算到地老天荒。
通过它，可以将很大的“分母”转变成“分子”，从而将p和q同时缩小，这样就能很快作出判断。
我们来检验一下这个二次同余方程x²≡137（mod 227）是否有解。
当5对227的勒让德符号比较困难时，可以运用二次互反律，得到它等于-1，最终137对227的勒让德符号结果等于-1，因此原二次同余方程无解。
这个定律十分强大，高斯对它青睐有加，将其称为“黄金定理”。如今数论和同余理论被广泛应用于计算机加密等领域。
高斯早在15岁时（1792年），就在数论上有过一个惊人的猜想，那就是后来的素数定理。
它表示素数在自然数中的分布规律。
等同于素数定理
随着数字x的增大，素数出现的总个数会接近x除以x的自然对数。
我们不知道高斯是如何得到这个公式的，一向谨慎的高斯，没有留下思考过程，仅仅只有最后的结果，而这个公式直到一百年之后（1896年）才被证明。
据说高斯以计算素数作为消遣，他计算每1000个数字段中的素数，大约只需要一刻钟。长年积累，他竟然已经计算了一百万以内的所有素数。很可能这是数学天才的大力出奇迹，如此多的数据，直接成为他提出素数分布规律的例证。
高斯曾说过：“数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。”（Mathematics is the queen of sciences and arithmetic the queen of mathematics. ）
显然，高斯从小就欣然接受了“数学女王”的邀请。（英语中，女王和皇后是同一个词“Queen”）
无论在哪一领域，好奇心、热爱与毅力才能最终决定一个人能走多远。
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